Marginile inferioare și superioare ale mulțimilor de numere reale
Ideea de bază
Majorant: un număr \( \displaystyle M\) este majorant pentru \( \displaystyle X\subset\mathbb{R}\) dacă \( \displaystyle x\le M\) pentru orice \( \displaystyle x\in X\) Minorant: un număr \( \displaystyle m\) este minorant pentru \( \displaystyle X\) dacă \( \displaystyle m\le x\) pentru orice \( \displaystyle x\in X\)
Suprem \( \displaystyle \sup X\): cel mai mic dintre majoranți Infim \( \displaystyle \inf X\): cel mai mare dintre minoranți
Explicație simplă: supremul este „cel mai mic plafon” peste mulțime, iar infimul este „cea mai mare podea” sub mulțime
Convenție utilă: dacă mulțimea nu este mărginită superior, scriem \( \displaystyle \sup X=+\infty\), iar dacă nu este mărginită inferior, scriem \( \displaystyle \inf X=-\infty\)
Observație: dacă \( \displaystyle \alpha=\inf X\) și \( \displaystyle \beta=\sup X\), iar \( \displaystyle Y=\{-x\mid x\in X\}\), atunci \( \displaystyle \inf Y=-\beta\) și \( \displaystyle \sup Y=-\alpha\)
Exemplu rezolvat și explicat
Fie mulțimea \( \displaystyle A=\left\{1-\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N},\ n\ge 1\right\}\)
Scriem câțiva termeni: \( \displaystyle 0,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\dots\)
Se vede că toate valorile sunt sub 1, deci \( \displaystyle 1\) este majorant
și este „cel mai mic plafon”, deoarece valorile se apropie de 1 din stânga
Deci \( \displaystyle \sup A=1\)
Cel mai mic element este \( \displaystyle 0\) (apare la \( \displaystyle n=1\))
deci \( \displaystyle \inf A=0\)
Aici \( \displaystyle \inf A\in A\), dar \( \displaystyle \sup A\notin A\)
De reținut
Dacă \( \displaystyle \max X\) există, atunci \( \displaystyle \max X=\sup X\) și \( \displaystyle \max X\in X\)
Dacă \( \displaystyle \min X\) există, atunci \( \displaystyle \min X=\inf X\) și \( \displaystyle \min X\in X\)
Exerciții
1
Determină \( \displaystyle \sup A\) și \( \displaystyle \inf A\) pentru \( \displaystyle A=(2,7]\)
Răspuns: \( \displaystyle \sup A=7,\ \inf A=2\)
2
Determină \( \displaystyle \sup A\) și \( \displaystyle \inf A\) pentru \( \displaystyle A=[-1,4)\)
Răspuns: \( \displaystyle \sup A=4,\ \inf A=-1\)
3
Determină \( \displaystyle \sup A\) și \( \displaystyle \inf A\) pentru \( \displaystyle A=\{x\in\mathbb{R}\mid |x|\le 5\}\)
Răspuns: \( \displaystyle \sup A=5,\ \inf A=-5\)
4
Determină \( \displaystyle \sup A\) și \( \displaystyle \inf A\) pentru \( \displaystyle A=\left\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N},\ n\ge 1\right\}\)
Răspuns: \( \displaystyle \sup A=1,\ \inf A=0\)
5
Fie \( \displaystyle X\subset\mathbb{R}\) cu \( \displaystyle \inf X=-3\) și \( \displaystyle \sup X=10\). Pentru \( \displaystyle Y=\{-x\mid x\in X\}\) determină \( \displaystyle \inf Y\) și \( \displaystyle \sup Y\)
Răspuns: \( \displaystyle \inf Y=-10,\ \sup Y=3\)
Răspunsuri
1
\( \displaystyle \sup A=7,\ \inf A=2\)
2
\( \displaystyle \sup A=4,\ \inf A=-1\)
3
\( \displaystyle \sup A=5,\ \inf A=-5\)
4
\( \displaystyle \sup A=1,\ \inf A=0\)
5
\( \displaystyle \inf Y=-10,\ \sup Y=3\)
Rezolvări
1
În \( \displaystyle (2,7]\), numărul \( \displaystyle 7\) aparține mulțimii și este cel mai mare element, deci este și majorantul cel mai mic, adică \( \displaystyle \sup A=7\). Partea stângă este deschisă, deci \( \displaystyle 2\notin A\), dar orice element din \( \displaystyle A\) este mai mare decât 2 și putem alege valori oricât de aproape de 2, deci \( \displaystyle \inf A=2\)
2
Capătul din stânga este inclus, deci \( \displaystyle -1\in A\) și este cel mai mic element, astfel \( \displaystyle \inf A=-1\). Capătul din dreapta este exclus, deci \( \displaystyle 4\notin A\), dar este plafonul cel mai mic pentru mulțime, deci \( \displaystyle \sup A=4\)
3
Condiția \( \displaystyle |x|\le 5\) înseamnă \( \displaystyle -5\le x\le 5\). Deci mulțimea este intervalul \( \displaystyle [-5,5]\). Cel mai mare element este 5 și cel mai mic este -5, deci \( \displaystyle \sup A=5\) și \( \displaystyle \inf A=-5\)
4
Termenii sunt \( \displaystyle 1,\frac12,\frac13,\dots\). Cel mai mare este \( \displaystyle 1\), deci \( \displaystyle \sup A=1\). Valorile sunt pozitive și se apropie de 0 fără să ajungă la 0, deci \( \displaystyle \inf A=0\)
5
Dacă întoarcem semnul tuturor elementelor, „plafonul” devine „podea” cu semn schimbat și invers. Din \( \displaystyle \sup X=10\) rezultă \( \displaystyle \inf Y=-10\). Din \( \displaystyle \inf X=-3\) rezultă \( \displaystyle \sup Y=3\)