Transformări geometrice. Noțiuni de bază și izometrii f: spațiu → spațiu

O transformare geometrică este o corespondență care asociază fiecărui punct \( \displaystyle M \) un punct \( \displaystyle M' \), numit imaginea lui \( \displaystyle M \). Notăm \( \displaystyle M' = f(M) \).

Termeni importanți (pe scurt):
figură imagine: \( \displaystyle f(F) \) (imaginea întregii figuri)
puncte invariante: \( \displaystyle f(M)=M \)
compoziție: \( \displaystyle (g\circ f)(M)=g(f(M)) \)

O transformare se numește izometrie dacă păstrează distanțele:

\( \displaystyle \forall A,B,\quad f(A)f(B)=AB \)

Consecințe rapide: păstrează și unghiurile, coliniaritatea, paralelismul, perpendicularitatea, ariile și volumele.

Exemplu rezolvat (verificare de izometrie pe o translație)

Considerăm translația cu vector \( \displaystyle \vec v=(p,q) \) în plan: \( \displaystyle f(x,y)=(x+p,\;y+q) \). Arată că \( \displaystyle f \) păstrează distanțele.

Luăm două puncte \( \displaystyle A(x_1,y_1) \), \( \displaystyle B(x_2,y_2) \). Atunci \( \displaystyle A'(x_1+p,y_1+q) \), \( \displaystyle B'(x_2+p,y_2+q) \).
Calculăm diferențele: \( \displaystyle x_{B'}-x_{A'}=(x_2+p)-(x_1+p)=x_2-x_1 \), la fel \( \displaystyle y_{B'}-y_{A'}=y_2-y_1 \).
Deci \( \displaystyle A'B'=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=AB \), deci translația este izometrie.

Schiță: punctele se deplasează cu același vector

Exerciții

Răspuns: \( \displaystyle A'(2,1) \)

Răspuns: \( \displaystyle 7 \)

Răspuns: \( \displaystyle f(A),f(B),f(C)\ \) sunt coliniare

Răspuns: \( \displaystyle f(A)f(B)\perp f(A)f(C) \)

Răspuns: \( \displaystyle (4,-2) \)