Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice

Suma primilor \( \displaystyle n\) termeni ai progresiei aritmetice

Formule

Dacă \( \displaystyle S_n=a_1+a_2+\dots+a_n\), atunci

\( \displaystyle S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)

Și cum \( \displaystyle a_n=a_1+(n-1)r\), mai avem

\( \displaystyle S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)r\bigr)\)

Explicație simplă (de ce funcționează)

Într-o PA, \( \displaystyle a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\dots\). Se formează perechi cu aceeași sumă

Ai \( \displaystyle \frac{n}{2}\) perechi dacă \( \displaystyle n\) e par, sau \( \displaystyle \frac{n-1}{2}\) perechi plus termenul din mijloc dacă \( \displaystyle n\) e impar

Exemplu rezolvat (practic)

Problemă

Calculează suma primilor 100 de termeni ai PA cu \( \displaystyle a_1=10\) și \( \displaystyle a_{100}=150\)

Aplicăm \( \displaystyle S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)

\( \displaystyle S_{100}=\frac{100}{2}(10+150)=50\cdot 160=8000\)

Exerciții

Într-o PA \( \displaystyle a_1=3\), \( \displaystyle r=2\) calculează \( \displaystyle S_{20}\)

Calculează \( \displaystyle S_{15}\) pentru PA cu \( \displaystyle a_1=7\) și \( \displaystyle a_{15}=35\)

Găsește \( \displaystyle n\) dacă într-o PA \( \displaystyle a_1=2\), \( \displaystyle r=3\) și \( \displaystyle S_n=110\)

Într-o PA \( \displaystyle a_1=5\), \( \displaystyle r=1\) calculează suma numerelor \( \displaystyle 5+6+\dots+50\)

Calculează suma \( \displaystyle 1+3+5+\dots+(2n-1)\)

Răspunsuri

Rezolvări

\( \displaystyle S_{20}=\frac{20}{2}\bigl(2\cdot 3+(20-1)\cdot 2\bigr)=10(6+38)=10\cdot 44=440\)

\( \displaystyle S_{15}=\frac{15}{2}(7+35)=\frac{15}{2}\cdot 42=15\cdot 21=315\)

\( \displaystyle S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)r\bigr)=\frac{n}{2}(4+3n-3)=\frac{n}{2}(3n+1)\). Impunem \( \displaystyle \frac{n(3n+1)}{2}=110\) deci \( \displaystyle 3n^2+n-220=0\). Se verifică \( \displaystyle n=8\) deoarece \( \displaystyle 3\cdot 64+8-220=0\)

Șirul este PA cu \( \displaystyle a_1=5\), \( \displaystyle a_n=50\), \( \displaystyle r=1\). Numărul de termeni este \( \displaystyle n=50-5+1=46\). Suma \( \displaystyle S_{46}=\frac{46}{2}(5+50)=23\cdot 55=1265\)

Este PA cu \( \displaystyle a_1=1\), \( \displaystyle r=2\), \( \displaystyle a_n=2n-1\). Suma \( \displaystyle S_n=\frac{n}{2}(1+2n-1)=\frac{n}{2}\cdot 2n=n^2\)

Cuprins

Explicație
Exerciții