“Pui una în alta” și rămâne continuă
Ideea principală
Dacă \( \displaystyle g \) este continuă în \( \displaystyle x_0 \) și \( \displaystyle f \) este continuă în \( \displaystyle g(x_0) \),
atunci \( \displaystyle h(x)=f(g(x)) \) este continuă în \( \displaystyle x_0 \)
Consecință utilă: \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(g(x))=f\Big(\lim_{x\to x_0} g(x)\Big) \) când \( \displaystyle f \) este continuă
Exemplu rezolvat
Problemă Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\sin(e^x) \)
\( \displaystyle \lim_{x\to 0} e^x = e^0=1 \)
Funcția \( \displaystyle \sin \) este continuă, deci “comută” cu limita
\( \displaystyle \lim_{x\to 0}\sin(e^x)=\sin(1) \)
Exerciții
1
Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\cos(2x) \)
Răspuns: \( \displaystyle 1 \)
2
Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 1}\sqrt{3x-2} \)
Răspuns: \( \displaystyle 1 \)
3
Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to \pi}\sin(x) \)
Răspuns: \( \displaystyle 0 \)
4
Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 2}(e^{x^2}) \)
Răspuns: \( \displaystyle e^4 \)
5
Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\ln(1+x) \)
Răspuns: \( \displaystyle 0 \)
Răspunsuri
4
\( \displaystyle e^4 \)
Rezolvări
1
\( \displaystyle \lim_{x\to 0}2x=0 \)
2
În interior \( \displaystyle 3x-2 \to 1 \)
3
\( \displaystyle \sin \) este continuă
4
\( \displaystyle x^2\to 4 \)
5
\( \displaystyle 1+x\to 1 \)