Rădăcinile unui număr complex

Cea mai importantă idee: un număr complex nenul are exact \( \displaystyle n\) rădăcini de ordin \( \displaystyle n\), cu argumente „egal distanțate”

Dacă \( \displaystyle z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\) și \( \displaystyle n\in\mathbb N,\,n\ge 2\), atunci rădăcinile de ordin \( \displaystyle n\) ale lui \( \displaystyle z\) sunt
\( \displaystyle u_k=r^{1/n}\Big(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\Big)\), unde \( \displaystyle k=0,1,\dots,n-1\)

Imagine mentală
Punctele \( \displaystyle u_0,u_1,\dots,u_{n-1}\) sunt vârfurile unui poligon regulat înscris într-un cerc de rază \( \displaystyle r^{1/n}\)

Exemplu rezolvat
Determină rădăcinile cubice ale lui \( \displaystyle 8i\)

Scriem \( \displaystyle 8i=8\Big(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\Big)\)
Modulul rădăcinii: \( \displaystyle 8^{1/3}=2\)
Argumentele: \( \displaystyle \psi_k=\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3}\), pentru \( \displaystyle k=0,1,2\)
\( \displaystyle \psi_0=\frac{\pi}{6}\), \( \displaystyle \psi_1=\frac{5\pi}{6}\), \( \displaystyle \psi_2=\frac{3\pi}{2}\)
Deci
\( \displaystyle u_0=2\Big(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\Big)\), \( \displaystyle u_1=2\Big(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\Big)\), \( \displaystyle u_2=2\Big(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\Big)\)

Ecuații de forma \( \displaystyle z^n=w\) în \( \displaystyle \mathbb C\) soluții prin rădăcini

Strategia este mereu aceeași: scrii \( \displaystyle w\) trigonometric, apoi iei rădăcini de ordin \( \displaystyle n\)

Pentru \( \displaystyle z^n=w\), cu \( \displaystyle w\neq 0\), scriem \( \displaystyle w=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\)
Soluțiile sunt \( \displaystyle z_k=r^{1/n}\Big(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\Big)\), \( \displaystyle k=0,1,\dots,n-1\)

Dacă \( \displaystyle w=0\), atunci singura soluție este \( \displaystyle z=0\)

Exemplu rezolvat
Rezolvă \( \displaystyle z^4=16\)

Scriem \( \displaystyle 16=16(\cos 0+i\sin 0)\)
Modulul rădăcinii: \( \displaystyle 16^{1/4}=2\)
Argumentele: \( \displaystyle \psi_k=\frac{0+2\pi k}{4}=\frac{\pi k}{2}\), \( \displaystyle k=0,1,2,3\)
Soluții: \( \displaystyle z_0=2\), \( \displaystyle z_1=2i\), \( \displaystyle z_2=-2\), \( \displaystyle z_3=-2i\)

Exerciții

Determină rădăcinile pătrate ale lui \( \displaystyle 9\)

Determină rădăcinile pătrate ale lui \( \displaystyle -4\)

Determină rădăcinile de ordin \( \displaystyle 4\) ale lui \( \displaystyle 16i\)

Află câte rădăcini distincte de ordin \( \displaystyle 7\) are un număr complex nenul

Pentru \( \displaystyle z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\), arată forma lui \( \displaystyle u_0\) (rădăcina cu \( \displaystyle k=0\)) de ordin \( \displaystyle n\)

Rezolvă \( \displaystyle z^3=8\)

Rezolvă \( \displaystyle z^2=2i\)

Rezolvă \( \displaystyle z^6=1\)

Rezolvă \( \displaystyle z^4=-16\)

Rezolvă \( \displaystyle z^5=0\)

Răspunsuri

\( \displaystyle 3\) și \( \displaystyle -3\)

\( \displaystyle 2i\) și \( \displaystyle -2i\)

\( \displaystyle 2\Big(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\Big)\), \( \displaystyle 2\Big(\cos\frac{5\pi}{8}+i\sin\frac{5\pi}{8}\Big)\), \( \displaystyle 2\Big(\cos\frac{9\pi}{8}+i\sin\frac{9\pi}{8}\Big)\), \( \displaystyle 2\Big(\cos\frac{13\pi}{8}+i\sin\frac{13\pi}{8}\Big)\)

\( \displaystyle 7\)

\( \displaystyle u_0=r^{1/n}\Big(\cos\frac{\varphi}{n}+i\sin\frac{\varphi}{n}\Big)\)

\( \displaystyle 2\), \( \displaystyle 2\Big(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Big)\), \( \displaystyle 2\Big(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\Big)\)

\( \displaystyle \sqrt2\Big(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Big)\) și \( \displaystyle \sqrt2\Big(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Big)\)

\( \displaystyle \cos\frac{\pi k}{3}+i\sin\frac{\pi k}{3}\) pentru \( \displaystyle k=0,1,2,3,4,5\)

\( \displaystyle 2\Big(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Big)\), \( \displaystyle 2\Big(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Big)\), \( \displaystyle 2\Big(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Big)\), \( \displaystyle 2\Big(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\Big)\)

\( \displaystyle 0\)

Rezolvări

Scrii \( \displaystyle 9=9(\cos 0+i\sin 0)\) apoi \( \displaystyle u_k=3(\cos\frac{0+2\pi k}{2}+i\sin\frac{0+2\pi k}{2})\) pentru \( \displaystyle k=0,1\)

Scrii \( \displaystyle -4=4(\cos\pi+i\sin\pi)\) apoi \( \displaystyle u_k=2(\cos\frac{\pi+2\pi k}{2}+i\sin\frac{\pi+2\pi k}{2})\)

Scrii \( \displaystyle 16i=16(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})\) apoi \( \displaystyle r^{1/4}=2\) și \( \displaystyle \psi_k=\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{4}\)

Teorema spune că există exact \( \displaystyle n\) rădăcini distincte pentru ordinul \( \displaystyle n\)

Pui \( \displaystyle k=0\) în formula generală \( \displaystyle u_k=r^{1/n}\Big(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\Big)\)

Scrii \( \displaystyle 8=8(\cos 0+i\sin 0)\) apoi \( \displaystyle r^{1/3}=2\) și \( \displaystyle \psi_k=\frac{2\pi k}{3}\)

Scrii \( \displaystyle 2i=2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})\) apoi \( \displaystyle r^{1/2}=\sqrt2\) și \( \displaystyle \psi_k=\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{2}\)

Ai \( \displaystyle 1=\cos 0+i\sin 0\) și \( \displaystyle r^{1/6}=1\) apoi unghiurile sunt \( \displaystyle \frac{2\pi k}{6}=\frac{\pi k}{3}\)

Scrii \( \displaystyle -16=16(\cos\pi+i\sin\pi)\) apoi \( \displaystyle r^{1/4}=2\) și \( \displaystyle \psi_k=\frac{\pi+2\pi k}{4}\)

Dacă \( \displaystyle w=0\), din \( \displaystyle z^n=0\) rezultă direct \( \displaystyle z=0\)

Cuprins

Explicație
Exerciții