Noțiunea de progresie geometrică

Definiție (formal)

Un șir \( \displaystyle (b_n)_{n\ge 1}\) este progresie geometrică dacă \( \displaystyle b_1\ne 0\) și există \( \displaystyle q\ne 0\) astfel încât

\( \displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}\) pentru orice \( \displaystyle n\ge 1\)

\( \displaystyle q\) se numește rația progresiei geometrice

Explicație simplă

Într-o progresie geometrică înmulțești mereu cu același număr

Ex.: dacă înmulțești cu 2: \( \displaystyle 3,6,12,24,\dots\)

Exemplu rezolvat

Problemă

Fie PG cu \( \displaystyle b_1=3\) și \( \displaystyle q=4\)

Scrie primii 5 termeni și calculează \( \displaystyle b_5\)

Înmulțim mereu cu 4: \( \displaystyle 3,12,48,192,768\)

Deci \( \displaystyle b_5=768\)

Exerciții

Verifică dacă \( \displaystyle 2,6,18,54\) este progresie geometrică și găsește \( \displaystyle q\)

Într-o PG \( \displaystyle b_1=5\), \( \displaystyle q=2\) calculează \( \displaystyle b_6\)

Găsește \( \displaystyle q\) dacă într-o PG \( \displaystyle b_2=12\) și \( \displaystyle b_3=36\)

Completează PG \( \displaystyle 81,\_,\_,3\) cu termeni consecutivi

Se consideră șirul (b_n)_{n ≥ 1}definit prin:

b₁ = 3, b_n+1 = 2 · b_n, pentru orice n ≥ 1.

Calculează valoarea lui b₆

Răspunsuri

Rezolvări

Raporturile consecutive sunt \( \displaystyle 6/2=3\), \( \displaystyle 18/6=3\), \( \displaystyle 54/18=3\). Raport constant, deci PG cu \( \displaystyle q=3\)

Înmulțești de 5 ori cu 2: \( \displaystyle b_6=5\cdot 2^5=5\cdot 32=160\)

În PG \( \displaystyle b_3=b_2\cdot q\). Deci \( \displaystyle 36=12q\) și \( \displaystyle q=3\)

În PG rația e constantă. Dacă ultimul este 3 și înaintea lui este 9, rația ar fi \( \displaystyle 1/3\). Verificăm: \( \displaystyle 81\cdot\frac13=27\), \( \displaystyle 27\cdot\frac13=9\), \( \displaystyle 9\cdot\frac13=3\)

Raporturile consecutive sunt \( \displaystyle \frac{6}{3}=2\), \( \displaystyle \frac{12}{6}=2\), \( \displaystyle \frac{24}{12}=2\). Raport constant, deci PG cu \( \displaystyle q=2\).

Înmulțești de 3 ori cu 2: \( \displaystyle b_6=3\cdot 2^5=3\cdot 32=96\)

Cuprins

Explicație
Exerciții