Noțiunea de șir numeric. Șiruri finite, infinite. Subșiruri

Definiție (formal)

Fie \( \displaystyle E\subset \mathbb{R}\). Un șir de numere reale este o funcție \( \displaystyle f:\mathbb{N}^*\to E\)

Termenul de rang \( \displaystyle n\) se notează \( \displaystyle x_n=f(n)\), iar șirul se scrie \( \displaystyle (x_n)_{n\ge 1}\)

Explicație simplă

Un șir e ca o „mașină” care, pentru fiecare \( \displaystyle n=1,2,3,\dots\), îți dă un număr \( \displaystyle x_n\)

De exemplu: \( \displaystyle x_n=\frac{1}{n}\) dă \( \displaystyle 1,\frac12,\frac13,\frac14,\dots\)

Șir finit vs șir infinit

Dacă funcția e definită doar pentru un număr finit de valori consecutive ale lui \( \displaystyle n\), ai un șir finit

Dacă e definită pentru toate \( \displaystyle n\in\mathbb{N}^*\), ai un șir infinit

Uneori șirul începe de la \( \displaystyle n=0\): \( \displaystyle (x_n)_{n\ge 0}\)

Cum se poate defini un șir

Analitic: prin formula termenului general, ex. \( \displaystyle x_n=\frac{1}{n}\)

Prin descriere: ex. șirul numerelor prime: \( \displaystyle 2,3,5,7,11,\dots\)

Prin recurență: dai unul sau câțiva termeni și o regulă, ex. \( \displaystyle x_{n+1}=x_n+2\)

Subșir (idee)

Alegi doar anumiți termeni ai șirului, păstrând ordinea lor

De exemplu, din \( \displaystyle (x_n)\) iei termenii cu indici \( \displaystyle n_k\) unde \( \displaystyle n_1

Ex.: din \( \displaystyle x_n=n\) alegi doar indicii pari \( \displaystyle n_k=2k\) și obții \( \displaystyle 2,4,6,\dots\)

Exemplu rezolvat (practic)

Problemă

Fie \( \displaystyle x_1=2\) și \( \displaystyle x_{n+1}=x_n+2\) pentru orice \( \displaystyle n\ge 1\)

a) Scrie primii 5 termeni

b) Găsește formula lui \( \displaystyle x_n\)

c) Calculează \( \displaystyle x_{10}\)

a) \( \displaystyle x_1=2\), \( \displaystyle x_2=4\), \( \displaystyle x_3=6\), \( \displaystyle x_4=8\), \( \displaystyle x_5=10\)

b) Se adaugă mereu 2, deci e ca o progresie aritmetică

După \( \displaystyle n-1\) pași ai adăugat \( \displaystyle 2(n-1)\), astfel \( \displaystyle x_n=2+2(n-1)=2n\)

c) \( \displaystyle x_{10}=2\cdot 10=20\)

Exerciții

Răspuns: \( \displaystyle 1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2}\)

Răspuns: \( \displaystyle 2,-1,-4\)

Răspuns: \( \displaystyle x_n=2^n\)

Răspuns: \( \displaystyle 4,16,36,64\)

Răspuns: \( \displaystyle 0,1,0,1,0,1\)