Simetria centrală, axială și față de un plan izometrii

Simetria centrală față de punctul \( \displaystyle O \): punctul \( \displaystyle M' \) este imaginea lui \( \displaystyle M \) dacă \( \displaystyle O \) este mijlocul segmentului \( \displaystyle MM' \).
În coordonate (plan): dacă \( \displaystyle O(a,b) \), \( \displaystyle M(x,y) \), atunci \( \displaystyle M'(2a-x,\;2b-y) \).

Simetria axială față de o dreaptă \( \displaystyle d \): dreapta \( \displaystyle d \) este mediatoarea segmentului \( \displaystyle MM' \) (adică \( \displaystyle d \perp MM' \) și trece prin mijloc).
Caz simplu: față de \( \displaystyle x=c \) avem \( \displaystyle (x,y)\mapsto(2c-x,\;y) \).

Simetria față de un plan \( \displaystyle \alpha \): planul \( \displaystyle \alpha \) este mediatoare pentru segmentul \( \displaystyle MM' \).
Caz simplu în spațiu: față de planul \( \displaystyle z=0 \) avem \( \displaystyle (x,y,z)\mapsto(x,y,-z) \).

Exemplu rezolvat (simetrie centrală în coordonate)

Determină imaginea punctului \( \displaystyle A(5,3) \) la simetria centrală față de \( \displaystyle O(2,-1) \)

\( \displaystyle A'(2\cdot2-5,\;2\cdot(-1)-3) \)

Aplicăm formula: \( \displaystyle x'=4-5=-1 \), \( \displaystyle y'=-2-3=-5 \).
Deci \( \displaystyle A'(-1,-5) \). Verificare: \( \displaystyle O \) este mijloc: \( \displaystyle \frac{5+(-1)}2=2 \), \( \displaystyle \frac{3+(-5)}2=-1 \)

Schiță: simetria centrală = „oglindire” printr-un punct (mijloc)

Exerciții

Răspuns: \( \displaystyle A'(4,-7) \)

Răspuns: \( \displaystyle B'(-1,-3) \)

Răspuns: \( \displaystyle M'(1,2,-3) \)

Răspuns: \( \displaystyle \overrightarrow{OA'}=-\overrightarrow{OA} \)

Răspuns: \( \displaystyle \text{dist}(A,d)=\text{dist}(A',d) \)