Șiruri monotone. Șiruri mărginite

Definiții (monotonie)

Șirul \( \displaystyle (x_n)_{n\ge 1}\) este crescător dacă \( \displaystyle x_n\le x_{n+1}\) pentru orice \( \displaystyle n\)

Este descrescător dacă \( \displaystyle x_n\ge x_{n+1}\) pentru orice \( \displaystyle n\)

Este strict crescător dacă \( \displaystyle x_n< x_{n+1}\), respectiv strict descrescător dacă \( \displaystyle x_n> x_{n+1}\)

Explicație simplă

Crescător înseamnă că termenii „nu scad” când mergi înainte, iar descrescător că „nu cresc”

Strict crescător înseamnă că fiecare pas chiar crește, nu rămâne egal

Cum verifici monotonia (două metode utile)

Metoda diferenței: studiezi semnul lui \( \displaystyle x_{n+1}-x_n\)

Dacă \( \displaystyle x_{n+1}-x_n\ge 0\) pentru orice \( \displaystyle n\), șirul e crescător

Dacă \( \displaystyle x_{n+1}-x_n\le 0\) pentru orice \( \displaystyle n\), șirul e descrescător

Metoda raportului (când \( \displaystyle x_n>0\)): studiezi \( \displaystyle \frac{x_{n+1}}{x_n}\) comparat cu 1

Definiții (mărginire)

Șirul e mărginit superior dacă există \( \displaystyle a\in\mathbb{R}\) cu \( \displaystyle x_n\le a\) pentru orice \( \displaystyle n\)

Șirul e mărginit inferior dacă există \( \displaystyle b\in\mathbb{R}\) cu \( \displaystyle x_n\ge b\) pentru orice \( \displaystyle n\)

Șirul e mărginit dacă există \( \displaystyle a,b\) cu \( \displaystyle a\le x_n\le b\) pentru orice \( \displaystyle n\)

Nemărginit înseamnă: pentru orice \( \displaystyle M>0\) găsești un termen cu \( \displaystyle |x_n|>M\)

Exemplu rezolvat (practic)

Problemă

Studiază monotonia și mărginirea șirului \( \displaystyle x_n=\frac{n+1}{n+2}\)

1) Monotonie

Calculăm diferența: \( \displaystyle x_{n+1}-x_n=\frac{n+2}{n+3}-\frac{n+1}{n+2}\)

Aducem la același numitor: \( \displaystyle x_{n+1}-x_n=\frac{(n+2)^2-(n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}\)

Numărător: \( \displaystyle (n+2)^2-(n+1)(n+3)=n^2+4n+4-(n^2+4n+3)=1\)

Deci \( \displaystyle x_{n+1}-x_n=\frac{1}{(n+2)(n+3)}>0\), astfel șirul este strict crescător

2) Mărginire

Pentru \( \displaystyle n\ge 1\), avem \( \displaystyle 0<\frac{n+1}{n+2}<1\)

Așadar șirul este mărginit inferior de 0 și superior de 1

Exerciții

Studiază monotonia șirului \( \displaystyle x_n=\frac{1}{n}\)

Studiază monotonia șirului \( \displaystyle x_n=3n-5\)

Arată că șirul \( \displaystyle x_n=\frac{2n}{2n+1}\) este mărginit

Verifică dacă șirul \( \displaystyle x_n=(-1)^n\) este monotonic

Arată că șirul \( \displaystyle x_n=n^2\) este nemărginit

Răspunsuri

\( \displaystyle \) descrescător

\( \displaystyle \) crescător

\( \displaystyle 0

\( \displaystyle \) nu este monoton

\( \displaystyle \) nemărginit superior

Rezolvări

Calculăm \( \displaystyle x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=-\frac{1}{n(n+1)}<0\), deci șirul este strict descrescător

Diferența \( \displaystyle x_{n+1}-x_n=[3(n+1)-5]-(3n-5)=3>0\), deci șirul este strict crescător

Pentru \( \displaystyle n\ge 1\), numărătorul și numitorul sunt pozitivi, deci \( \displaystyle x_n>0\). Cum \( \displaystyle 2n<2n+1\), rezultă \( \displaystyle x_n<1\)

Termenii alternează \( \displaystyle -1,1,-1,1,\dots\). Uneori crește, uneori scade, deci nu poate fi nici crescător, nici descrescător

Fie \( \displaystyle M>0\). Alegem \( \displaystyle n>\sqrt{M}\). Atunci \( \displaystyle x_n=n^2>M\), deci pentru orice \( \displaystyle M\) găsim termen mai mare, șirul este nemărginit superior

Cuprins

Explicație
Exerciții