Formula termenului general al progresiei geometrice

Formula

Dacă \( \displaystyle (b_n)\) este progresie geometrică cu \( \displaystyle b_1\) și rația \( \displaystyle q\), atunci

\( \displaystyle b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}\)

Explicație simplă

De la \( \displaystyle b_1\) până la \( \displaystyle b_n\) înmulțești cu \( \displaystyle q\) de \( \displaystyle n-1\) ori

De aceea apare puterea \( \displaystyle q^{n-1}\)

Exemplu rezolvat (practic)

Problemă

Într-o PG \( \displaystyle b_1=2\) și \( \displaystyle q=-3\)

Calculează \( \displaystyle b_5\)

\( \displaystyle b_5=b_1\cdot q^{4}=2\cdot (-3)^4=2\cdot 81=162\)

Exerciții

Într-o PG \( \displaystyle b_1=3\), \( \displaystyle q=4\) găsește \( \displaystyle b_{8}\)

Găsește \( \displaystyle q\) dacă \( \displaystyle b_1=5\) și \( \displaystyle b_4=40\)

Găsește \( \displaystyle b_1\) dacă \( \displaystyle b_3=18\) și \( \displaystyle q=3\)

Determină \( \displaystyle n\) dacă într-o PG \( \displaystyle b_1=2\), \( \displaystyle q=2\) și \( \displaystyle b_n=256\)

În PG \( \displaystyle b_n=7\cdot 5^{n-1}\) identifică \( \displaystyle b_1\) și \( \displaystyle q\)

Răspunsuri

Rezolvări

\( \displaystyle b_8=3\cdot 4^{7}=3\cdot 16384=49152\)

\( \displaystyle b_4=b_1q^3\). Deci \( \displaystyle 40=5q^3\), \( \displaystyle q^3=8\), rezultă \( \displaystyle q=2\)

\( \displaystyle b_3=b_1q^2\). Deci \( \displaystyle 18=b_1\cdot 9\), rezultă \( \displaystyle b_1=2\)

\( \displaystyle b_n=2\cdot 2^{n-1}=2^{n}=256=2^8\). Deci \( \displaystyle n=8\), dar atenție: \( \displaystyle 2^n=256\Rightarrow n=8\). Cum \( \displaystyle b_n=2^n\), rezultă \( \displaystyle b_8=256\), deci \( \displaystyle n=8\)

Compari cu \( \displaystyle b_n=b_1q^{n-1}\). Se vede \( \displaystyle b_1=7\) și \( \displaystyle q=5\)

Cuprins

Explicație
Exerciții