Regula lui l’Hospital

Regula lui l’Hospital pentru cazul \( \displaystyle \frac{0}{0} \)

Ideea simplă: cînd ai \( \displaystyle \frac{0}{0} \), compari „vitezele” cu care tind la 0, adică derivatele

Regula lui l’Hospital (0/0)

Dacă \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=0 \) și \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=0 \), iar \( \displaystyle f,g \) sunt derivabile în jurul lui \( \displaystyle x_0 \) și \( \displaystyle g'(x)\ne 0 \)
atunci, dacă există \( \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \), există și
\( \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \)

Verifică întîi că forma e chiar \( \displaystyle 0/0 \) și că poți deriva

Exemplu rezolvat

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} \)

La \( \displaystyle x\to 0 \): \( \displaystyle e^x-1\to 0 \) și \( \displaystyle x\to 0 \) deci \( \displaystyle 0/0 \)

Derivăm: \( \displaystyle (e^x-1)'=e^x \), \( \displaystyle (x)'=1 \)

\( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x}{1}=e^0=1 \)

Regula lui l’Hospital pentru cazul \( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \)

Cînd apare: de exemplu \( \displaystyle \frac{x^2}{x} \), \( \displaystyle \frac{\ln x}{1/x} \), \( \displaystyle \frac{e^x}{x^5} \) la \( \displaystyle x\to\infty \)

Regula lui l’Hospital (\(\displaystyle \infty/\infty\))

Dacă \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=\infty \) și \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=\infty \) și condițiile de derivare sunt îndeplinite
atunci, dacă există \( \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \), avem

\( \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \)

Uneori aplici de mai multe ori, pînă iese o limită clară

Exemplu rezolvat

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3x}{x^2-1} \)

Forma \( \displaystyle \infty/\infty \)

l’Hospital: \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(2x^2+3x)'}{(x^2-1)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{4x+3}{2x} \)

\( \displaystyle \frac{4x+3}{2x}=2+\frac{3}{2x}\to 2 \)

Alte forme nedeterminate și reducerea lor

Forme frecvente: \( \displaystyle 0\cdot\infty \), \( \displaystyle \infty-\infty \), \( \displaystyle 0^0 \), \( \displaystyle 1^\infty \), \( \displaystyle \infty^0 \)

Truc simplu: transformă în \( \displaystyle \frac{0}{0} \) sau \( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \)

Exemple de transformări
\( \displaystyle 0\cdot\infty \Rightarrow \frac{0}{0} \) prin \( \displaystyle f\cdot g=\frac{f}{1/g} \)
\( \displaystyle \infty-\infty \Rightarrow \frac{0}{0} \) prin aducere la același numitor sau raționalizare
Puteri \( \displaystyle f(x)^{g(x)} \): notezi \( \displaystyle y=f(x)^{g(x)} \Rightarrow \ln y=g(x)\ln f(x) \), calculezi limita lui \( \displaystyle \ln y \), apoi \( \displaystyle y=e^{\lim \ln y} \)

Exemplu rezolvat

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0^+} x\ln x \)

Este formă \( \displaystyle 0\cdot(-\infty) \)

Scriem \( \displaystyle x\ln x=\frac{\ln x}{1/x} \) care este \( \displaystyle \infty/\infty \)

l’Hospital: \( \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to 0^+}(-x)=0 \)

Exerciții

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x} \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3} \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5x^3-x}{x^3+2} \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x} \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/x} \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+x}-x}{1} \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right) \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x} \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0^+}x^x \)

Calculează \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x} \)

Răspunsuri

\( \displaystyle 3 \)

\( \displaystyle \frac{1}{2} \)

\( \displaystyle 1 \)

\( \displaystyle \frac{1}{6} \)

\( \displaystyle 5 \)

\( \displaystyle 0 \)

\( \displaystyle \frac{1}{2} \)

\( \displaystyle 0 \)

\( \displaystyle 1 \)

\( \displaystyle e \)

\( \displaystyle 1 \)

\( \displaystyle 0 \)

Rezolvări

Forma \( \displaystyle 0/0 \)
Aplicăm l’Hospital: \(\displaystyle \frac{(\sin 3x)'}{(x)'}=\frac{3\cos 3x}{1}\)
La 0: \( \displaystyle 3\cos 0=3 \)

Forma \( \displaystyle 0/0 \)
Derivăm de două ori sau aplicăm l’Hospital de 2 ori
\( \displaystyle \frac{(1-\cos x)'}{(x^2)'}=\frac{\sin x}{2x} \) iar apoi \( \displaystyle \frac{\cos x}{2} \to \frac{1}{2} \)

Forma \( \displaystyle 0/0 \)
\( \displaystyle (\ln(1+x))'=\frac{1}{1+x} \), \( \displaystyle (x)'=1 \)
Limita \( \displaystyle \frac{1}{1+x}\to 1 \)

Forma \( \displaystyle 0/0 \)
\( \displaystyle (\tan x)'=\sec^2 x \), \( \displaystyle (x)'=1 \)
\( \displaystyle \sec^2 0=1 \)

Forma \( \displaystyle 0/0 \), aplicăm l’Hospital de 3 ori
1: \( \displaystyle \frac{1-\cos x}{3x^2} \)
2: \( \displaystyle \frac{\sin x}{6x} \)
3: \( \displaystyle \frac{\cos x}{6}\to \frac{1}{6} \)

Forma \( \displaystyle \infty/\infty \)
Derivăm: \( \displaystyle \frac{15x^2-1}{3x^2} = 5-\frac{1}{3x^2}\to 5 \)

Forma \( \displaystyle \infty/\infty \)
l’Hospital: \( \displaystyle \frac{( \ln x)'}{(x)'}=\frac{1/x}{1}=\frac{1}{x}\to 0 \)

Forma \( \displaystyle \infty/\infty \)
l’Hospital: \( \displaystyle \frac{1}{e^x}\to 0 \)

Cînd \( \displaystyle x\to 0^+ \), \( \displaystyle \ln x\to -\infty \) și \( \displaystyle 1/x\to\infty \) deci formă \( \displaystyle \infty/\infty \)
l’Hospital: \( \displaystyle \frac{( \ln x)'}{(1/x)'}=\frac{1/x}{-1/x^2}=-x\to 0 \)

Transformăm: \( \displaystyle \sqrt{x^2+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{x\sqrt{1+1/x}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}\to \frac{1}{2} \)

Formă \( \displaystyle \infty-\infty \)
Raționalizăm: \( \displaystyle \sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0 \)

Formă \( \displaystyle 0/0 \)
l’Hospital: \( \displaystyle \frac{\cos x}{1}\to 1 \)

Notăm \( \displaystyle y=(1+x)^{1/x} \)
\( \displaystyle \ln y=\frac{\ln(1+x)}{x} \to 1 \) prin l’Hospital
Deci \( \displaystyle y\to e^1=e \)

Notăm \( \displaystyle y=x^x \), atunci \( \displaystyle \ln y=x\ln x \to 0 \) (ca în exemplu)
Deci \( \displaystyle y\to e^0=1 \)

Aducem la același numitor: \( \displaystyle \frac{\sin x-x}{x\sin x} \)
Numărătorul \( \displaystyle \sin x-x\sim -\frac{x^3}{6} \), numitorul \(\displaystyle \sim x^2 \)
Raportul \(\displaystyle \sim -\frac{x}{6}\to 0 \)

Cuprins

Explicație
Exerciții