Metoda lui Gauss

Ideea: transformăm matricea extinsă \( \displaystyle (A\,|\,B) \) într-o formă “în trepte” (eșalon), apoi rezolvăm de jos în sus

Pași practici

1) Scrii matricea extinsă

2) Faci zerouri sub “lideri” folosind transformări elementare

3) Ajungi la sistem triunghiular / trapezic

4) Faci substituție inversă (back-substitution)

Exemplu rezolvat

Rezolvă \( \displaystyle \begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y+3z=14 \end{cases} \)

Scădem \( \displaystyle 2\cdot L_1 \) din \( \displaystyle L_2 \): \( \displaystyle (0,-3,-1|-9) \)

Scădem \( \displaystyle 1\cdot L_1 \) din \( \displaystyle L_3 \): \( \displaystyle (0,1,2|8) \)

Acum eliminăm \( \displaystyle y \) din linia 3: \( \displaystyle L_3\leftarrow 3L_3+L_2 \Rightarrow (0,0,5|15) \)

Rezultă \( \displaystyle 5z=15\Rightarrow z=3 \)

Din \( \displaystyle -3y-z=-9 \Rightarrow -3y-3=-9 \Rightarrow y=2 \)

Din \( \displaystyle x+y+z=6 \Rightarrow x+2+3=6 \Rightarrow x=1 \)

Soluția: \( \displaystyle (x,y,z)=(1,2,3) \)

Exerciții

Rezolvă prin Gauss \( \displaystyle \begin{cases} x+y=5\\ 2x-y=1 \end{cases} \)

Rezolvă prin Gauss \( \displaystyle \begin{cases} x+2y-z=1\\ 2x+4y-2z=2\\ x-y+z=0 \end{cases} \)

Rezolvă prin Gauss \( \displaystyle \begin{cases} x+z=2\\ y+z=3\\ x+y+2z=7 \end{cases} \)

Rezolvă prin Gauss \( \displaystyle \begin{cases} x+y+z=3\\ x+y-z=1\\ 2x+2y=4 \end{cases} \)

Rezolvă prin Gauss \( \displaystyle \begin{cases} x-2y+z=0\\ 2x-4y+2z=1 \end{cases} \)

Răspunsuri

\( \displaystyle x=2,\; y=3 \)

\( \displaystyle x=1,\; y=0,\; z=1 \)

\( \displaystyle x=1,\; y=2,\; z=1 \)

\( \displaystyle x+y=2,\; z=1 \)

\( \displaystyle \text{Sistem incompatibil} \)

Rezolvări

Adunăm ecuațiile: \( \displaystyle 3x=6\Rightarrow x=2 \), apoi \( \displaystyle y=5-x=3 \)

A doua ecuație este \( \displaystyle 2\cdot \) prima, deci o eliminăm, rămâne \( \displaystyle \begin{cases} x+2y-z=1\\ x-y+z=0 \end{cases} \), adunăm: \( \displaystyle 2x+y=1 \), din a doua \( \displaystyle x=y-z \), alegem \( \displaystyle z=1 \Rightarrow x=y-1 \), în \( \displaystyle 2x+y=1 \Rightarrow 2(y-1)+y=1 \Rightarrow y=1 \Rightarrow x=0 \) apoi corectăm alegerea: dacă \( \displaystyle z=1 \Rightarrow x=y-1 \), în prima \( \displaystyle y-1+2y-1=1 \Rightarrow 3y=3 \Rightarrow y=1 \Rightarrow x=0 \), deci \( \displaystyle (0,1,1) \)

Din primele două: \( \displaystyle x=2-z \), \( \displaystyle y=3-z \), în a treia: \( \displaystyle (2-z)+(3-z)+2z=7\Rightarrow 5=7 \) fals, deci sistem incompatibil

Primele două: scădere \(\displaystyle 2z=2\Rightarrow z=1 \), apoi în prima \( \displaystyle x+y+1=3\Rightarrow x+y=2 \), a treia e aceeași condiție \( \displaystyle 2(x+y)=4 \)

A doua stângă este \( \displaystyle 2\cdot \) prima, dar termenul liber nu este \( \displaystyle 2\cdot 0 \), deci apare contradicția \( \displaystyle 0=1 \)

Cuprins

Explicație
Exerciții