Creșterea argumentului și creșterea funcției noțiuni de bază

Ideea (pe scurt)

Când argumentul \( \displaystyle x \) se schimbă puțin, se schimbă și valoarea funcției \( \displaystyle f(x) \)

Creșterea argumentului: \( \displaystyle \Delta x = x - x_0 \)

Creșterea funcției: \( \displaystyle \Delta f(x_0)= f(x_0+\Delta x)-f(x_0) \)

Raportul creșterilor (cota de variație medie): \( \displaystyle \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \)

Interpretare simplă: „cât se schimbă \( \displaystyle f \)” pentru o schimbare de 1 unitate la \( \displaystyle x \), dar pe un pas finit \( \displaystyle \Delta x \)

Exemplu rezolvat (practic)

Fie \( \displaystyle f(x)=x^2 \), \( \displaystyle x_0=1 \), \( \displaystyle x=1,3 \)

\( \displaystyle \Delta x = x-x_0 = 1,3-1 = 0,3 \)

\( \displaystyle \Delta f(x_0)=f(1,3)-f(1)=1,3^2-1^2=1,69-1=0,69 \)

\( \displaystyle \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}=\frac{0,69}{0,3}=2,3 \)

Deci pe intervalul mic de la 1 la 1,3, funcția „crește în medie” cu 2,3 pe fiecare unitate de \( \displaystyle x \)

Calculează \( \displaystyle \Delta x \), \( \displaystyle \Delta f(x_0) \) și \( \displaystyle \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} \) pentru \( \displaystyle f(x)=2x+1 \), \( \displaystyle x_0=3 \), \( \displaystyle x=5 \) \( \displaystyle \Delta x=2,\ \Delta f(x_0)=4,\ \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}=2 \) Calculează \( \displaystyle \Delta x \), \( \displaystyle \Delta f(x_0) \) pentru \( \displaystyle f(x)=x^2 \), \( \displaystyle x_0=2 \), \( \displaystyle x=1,5 \) \( \displaystyle \Delta x=-0,5,\ \Delta f(x_0)=-1,75 \) Determină \( \displaystyle \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} \) pentru \( \displaystyle f(x)=x^2 \), \( \displaystyle x_0=4 \), \( \displaystyle x=4,2 \) \( \displaystyle 8,2 \) Pentru \( \displaystyle f(x)=5x-3 \), \( \displaystyle x_0=-1 \), \( \displaystyle x=2 \), calculează \( \displaystyle \Delta f(x_0) \) \( \displaystyle 15 \) Pentru \( \displaystyle f(x)=x^3 \), \( \displaystyle x_0=1 \), \( \displaystyle x=1,1 \), calculează \( \displaystyle \Delta f(x_0) \) \( \displaystyle 0,331 \)