Definiția derivatei într-un punct limită
Definiție
Funcția \( \displaystyle f \) are derivată în \( \displaystyle x_0 \) dacă există limita
\( \displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \)
Dacă această limită este finită, spunem că funcția este derivabilă în \( \displaystyle x_0 \)
Exemplu rezolvat
Calculează \( \displaystyle f'(1) \) pentru \( \displaystyle f(x)=x^3 \)
\( \displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(1+\Delta x)^3-1^3}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1+3\Delta x+3\Delta x^2+\Delta x^3-1}{\Delta x} \)
\( \displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}(3+3\Delta x+\Delta x^2)=3 \)
Deci \( \displaystyle f'(1)=3 \)
Calculează \( \displaystyle f'(0) \) pentru \( \displaystyle f(x)=x^2 \) folosind definiția
\( \displaystyle 0 \)
\( \displaystyle f'(0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(\Delta x)^2-0}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\Delta x=0 \)
Calculează \( \displaystyle f'(2) \) pentru \( \displaystyle f(x)=x^2 \) folosind definiția
\( \displaystyle 4 \)
\( \displaystyle f'(2)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(2+\Delta x)^2-2^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(4+\Delta x)=4 \)
Calculează \( \displaystyle f'(1) \) pentru \( \displaystyle f(x)=x^2+1 \) folosind definiția
\( \displaystyle 2 \)
\( \displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(1+\Delta x)^2+1-(1^2+1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(2+\Delta x)=2 \)
Calculează \( \displaystyle f'(0) \) pentru \( \displaystyle f(x)=3x \) folosind definiția
\( \displaystyle 3 \)
\( \displaystyle f'(0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{3\Delta x-0}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}3=3 \)
Calculează \( \displaystyle f'(1) \) pentru \( \displaystyle f(x)=x^3 \) folosind definiția
\( \displaystyle 3 \)
\( \displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(1+\Delta x)^3-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(3+3\Delta x+\Delta x^2)=3 \)