Polinom: Restul Împărțirii
1. Teorema lui Bézout
Restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( X - a \) este dat de valoarea \( P(a) \).
- Dacă împărțim la \( X + 1 \), atunci \( R(X) = P(-1) \).
- Dacă împărțim la \( X - 5 \), atunci \( R(X) = P(5) \).
2. Diviziunea
Daca un polinom se divide (sau este divizibil) prin alt binom, atunci restul impartirii \( R(X) = 0 \)
3. Exemplu Rezolvat
Fie polinomul \( P(X) = m X^3 + 11 X^2 + 7X + m \). Determinați \( m \in \mathbb{R} \), astfel încât \( P(X) \) se divide prin \( Q(X) = X - 1 \).
Rezolvare:
- \( P(X) \) se divide prin \( Q(X) \Rightarrow R(X) = 0 \)
\( \Rightarrow P(1) = 0 \)
\( \Rightarrow m \cdot 1^3 + 11 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 + m = 0 \)
\( \Rightarrow m + 11 + 7 + m = 0 \)
\( \Rightarrow 2m + 18 = 0 \)
\( \Rightarrow 2m = -18 \)
\( \Rightarrow m = \frac{-18}{2} \)
\( \Rightarrow m = -9 \).
Răspuns: \( m = -9 \).
4. Limitări ale Teoremei lui Bézout
Dacă binomul la care se împarte polinomul este de gradul 2 sau mai mare, atunci teorema lui Bézout nu se poate folosi.
Deci, daca se imparte un polinom la \(X^2 - 1\), atunci nu se poate folosi metoda de mai sus pentru a calcula restul.
Pentru a calcula restul in asa caz, trebuie de impartit in colonita polinoamele
Exerciții
1
Determinați valorile reale ale lui \(a\), știind că \(X=-2\) este rădăcină a polinomului \(P(X) = 2X^3 + 4X + a\).
2
Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care \( X = -1 \) este rădăcină a polinomului \( P(X) = X^3 - X^2 + (a - 2)X + 1 \).
3
Să se afle valoarea parametrului real \( a \) pentru care \( X = \displaystyle \frac{1}{2} \) este rădăcină a polinomului \( P(X) = 4X^3 - 22X^2 + aX - 14 \).
4
Determinați valorile reale ale lui \( a \) pentru care \( X = -3 \) este rădăcină a polinomului \( P(X) = X^3 + (a - 1)X^2 - 5X + 3 \).
5
Fie polinomul \( P(X)=4 X^{4}+4 m X^{3}+\left(m^{2}+7\right) X^{2}+4 m X+4 \), unde \( m \in \mathbb{R} \). Determinați \( m \in \mathbb{R} \), știind că \( X=1 \) este o rădăcină a polinomului \( P(X) \).
6
Aflați restul împărțirii \(\displaystyle P(X)=3 X^{3}-4 X^{2}+5 X-1 \) la \( Q(X)=X^{2}-2 \)
7
Împărţind polinomul \( P(X)=X^{3}+a X^{2}+b X+3 \) la binomul \( X-1 \) și la binomul \( X+2 \), se obţin resturile 5 , respectiv 17. Aflaţi restul împărţirii polinomului \( P(X) \) la \( X-2 \).
8
Aflați restul împărțirii polinomului \( P(X) = 3X^3 + aX^2 - 2aX + 7 \) la binomul \( X - 2 \), știind că \( X = -1 \) este rădăcină a acestui polinom.
9
Împărţind polinomul \( P(X)=X^{3}+a X^{2}+b X+3 \) la binomul \( X+2 \), se obţine restul 1, iar la binomul \( X+3 \), se obţine restul -3 . Determinați \( a, b \in R \).
10
Să se afle valorile parametrului real \( m \) pentru care polinomul \( P(X) = 2X^5 + 5X^2 - m \) se divide cu binomul \( X+2 \).
11
Fie \(\displaystyle \bar{z}=(1+i)(2+i)-2-5i \), unde \(\bar{z}\) este conjugatul numărului complex \(z\). Determinați numărul complex \( z \).
12
Fie matricea \( A = \begin{pmatrix} \displaystyle iz & 5i - 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \). Determinați numerele complexe \( z \), pentru care matricea \( A \) nu este inversabilă.
13
Determinați numarul complex \(z\): \(28z - 3 - 5i = 29z - 2 - 4i\)
14
\(\displaystyle z=\frac{5-15 i}{3-4 i}, \operatorname{Re} z \cdot \operatorname{Im} z-?\)
15
Știind că \(\displaystyle \frac{z}{1+i}=\frac{1}{1-i} \), arătați că numărul \(z\) este imaginar.