Ecuații în modul
O ecuație în modul este o ecuație care implică funcția modul, notată cu \( |x| \), care returnează valoarea absolută a unui număr. Modulul unui număr \( x \) este definit astfel:
- \( |x| = x \), dacă \( x \geq 0 \)
- \( |x| = -x \), dacă \( x < 0 \)
Pasii pentru rezolvarea ecuațiilor în modul
Pentru a rezolva o ecuație de forma \( |f(x)| = a \), urmează acești pași:
- Asigură-te că \( a \geq 0 \). Dacă \( a < 0 \), ecuația nu are soluții deoarece modulul unui număr nu poate fi negativ.
- Scrie ecuația echivalentă eliminând modulul: \[ |f(x)| = a \implies f(x) = a \, \text{sau} \, f(x) = -a \]
- Rezolvă separat fiecare ecuație rezultată.
- Verifică soluțiile în ecuația inițială.
Exemple de ecuații în modul
Exemplul 1
Rezolvă ecuația: \[ |x| = 5 \]
Rezolvare:
Ecuația se descompune în două cazuri: \[ x = 5 \quad \text{și} \quad x = -5 \] Soluțiile sunt: \[ x \in \{-5, 5\} \]
Exemplul 2
Rezolvă ecuația: \[ |x - 3| = 7 \]
Rezolvare:
Ecuația se descompune în două cazuri: \[ x - 3 = 7 \quad \text{și} \quad x - 3 = -7 \] Rezolvând fiecare caz: \[ x = 10 \quad \text{și} \quad x = -4 \] Soluțiile sunt: \[ x \in \{-4, 10\} \]
Exemplul 3
Rezolvă ecuația: \[ |2x + 1| = 3 \]
Rezolvare:
Ecuația se descompune în două cazuri: \[ 2x + 1 = 3 \quad \text{și} \quad 2x + 1 = -3 \] Rezolvând fiecare caz: \[ 2x = 2 \implies x = 1 \] \[ 2x = -4 \implies x = -2 \] Soluțiile sunt: \[ x \in \{-2, 1\} \]