O ecuație în modul este o ecuație care implică funcția modul, notată cu \( |x| \), care returnează valoarea absolută a unui număr. Modulul unui număr \( x \) este definit astfel:
\( |x| = x \), dacă \( x \geq 0 \)
\( |x| = -x \), dacă \( x < 0 \)
Pasii pentru rezolvarea ecuațiilor în modul
Pentru a rezolva o ecuație de forma \( |f(x)| = a \), urmează acești pași:
Asigură-te că \( a \geq 0 \). Dacă \( a < 0 \), ecuația nu are soluții deoarece modulul unui număr nu poate fi negativ.
Scrie ecuația echivalentă eliminând modulul: \[ |f(x)| = a \implies f(x) = a \, \text{sau} \, f(x) = -a \]
Rezolvă separat fiecare ecuație rezultată.
Verifică soluțiile în ecuația inițială.
Exemple de ecuații în modul
Exemplul 1
Rezolvă ecuația: \[ |x| = 5 \]
Rezolvare:
Ecuația se descompune în două cazuri: \[ x = 5 \quad \text{și} \quad x = -5 \] Soluțiile sunt: \[ x \in \{-5, 5\} \]
Exemplul 2
Rezolvă ecuația: \[ |x - 3| = 7 \]
Rezolvare:
Ecuația se descompune în două cazuri: \[ x - 3 = 7 \quad \text{și} \quad x - 3 = -7 \] Rezolvând fiecare caz: \[ x = 10 \quad \text{și} \quad x = -4 \] Soluțiile sunt: \[ x \in \{-4, 10\} \]
Exemplul 3
Rezolvă ecuația: \[ |2x + 1| = 3 \]
Rezolvare:
Ecuația se descompune în două cazuri: \[ 2x + 1 = 3 \quad \text{și} \quad 2x + 1 = -3 \] Rezolvând fiecare caz: \[ 2x = 2 \implies x = 1 \] \[ 2x = -4 \implies x = -2 \] Soluțiile sunt: \[ x \in \{-2, 1\} \]
Exerciții
1
Rezolvă ecuația: \( \displaystyle |x + 4| = 6 \)
Răspuns: \( \displaystyle x \in \{-10, 2\} \)
2
Rezolvă ecuația: \( \displaystyle |3x - 2| = 9 \)
Răspuns: \( \displaystyle x \in \{-\frac{7}{3}, \frac{11}{3}\} \)
Răspuns: \( \displaystyle x \in \{-\sqrt{7}, -1, 1, \sqrt{7}\} \)
Răspunsuri
1
\( \displaystyle x \in \{-10, 2\} \)
2
\( \displaystyle x \in \{-\frac{7}{3}, \frac{11}{3}\} \)
3
\( \displaystyle x = 0 \)
4
\( \displaystyle x \in \{-6, \frac{4}{3}\} \)
5
\( \displaystyle x = 4 \)
6
\( \displaystyle x \in \{-\sqrt{7}, -1, 1, \sqrt{7}\} \)
Rezolvări
1
1. Modulul egal cu un număr pozitiv înseamnă că expresia din interior poate fi ori numărul respectiv, ori negativul lui. 2. Cazul 1: \( \displaystyle x + 4 = 6 \). Scădem 4 din ambele părți: \( \displaystyle x = 6 - 4 \implies x = 2 \). 3. Cazul 2: \( \displaystyle x + 4 = -6 \). Scădem 4 din ambele părți: \( \displaystyle x = -6 - 4 \implies x = -10 \). 4. Ambele valori sunt soluții corecte. Răspuns: \( \displaystyle x \in \{-10, 2\} \)
2
1. Avem două posibilități pentru ce se află în modul: 2. Cazul 1: \( \displaystyle 3x - 2 = 9 \). Adunăm 2: \( \displaystyle 3x = 11 \). Împărțim la 3: \( \displaystyle x = \frac{11}{3} \). 3. Cazul 2: \( \displaystyle 3x - 2 = -9 \). Adunăm 2: \( \displaystyle 3x = -7 \). Împărțim la 3: \( \displaystyle x = -\frac{7}{3} \). Răspuns: \( \displaystyle x \in \{-\frac{7}{3}, \frac{11}{3}\} \)
3
1. Modulul unui număr reprezintă distanța față de zero pe axa numerelor. 2. Singurul număr care se află la distanța 0 de punctul zero este chiar numărul zero. 3. Așadar, singura posibilitate este \( \displaystyle x = 0 \). Răspuns: \( \displaystyle x = 0 \)
4
1. Când avem două module egale, înseamnă că expresiile din interior sunt ori egale, ori opuse. 2. Cazul 1 (Egale): \( \displaystyle x - 5 = 2x + 1 \). Mutăm termenii: \( \displaystyle x - 2x = 1 + 5 \implies -x = 6 \implies x = -6 \). 3. Cazul 2 (Opuse): \( \displaystyle x - 5 = -(2x + 1) \). Desfacem paranteza: \( \displaystyle x - 5 = -2x - 1 \). Mutăm termenii: \( \displaystyle x + 2x = -1 + 5 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} \). Răspuns: \( \displaystyle x \in \{-6, \frac{4}{3}\} \)
5
1. Atenție! Partea dreaptă ( \( \displaystyle 4x - 5 \) ) trebuie să fie mai mare sau egală cu zero, pentru că un modul nu poate fi negativ. Condiție: \( \displaystyle 4x - 5 \geq 0 \implies 4x \geq 5 \implies x \geq 1.25 \). 2. Rezolvăm cele două cazuri: 3. Cazul 1: \( \displaystyle 2x + 3 = 4x - 5 \). Mutăm termenii: \( \displaystyle 3 + 5 = 4x - 2x \implies 8 = 2x \implies x = 4 \). (4 este mai mare decât 1.25, deci e corect). 4. Cazul 2: \( \displaystyle 2x + 3 = -(4x - 5) \). \( \displaystyle 2x + 3 = -4x + 5 \implies 6x = 2 \implies x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). ( \( \displaystyle \frac{1}{3} \approx 0.33 \) , care este mai mic decât 1.25, deci această soluție nu este validă). Răspuns: \( \displaystyle x = 4 \)
6
1. Descompunem în două cazuri de gradul al doilea: 2. Cazul 1: \( \displaystyle x^2 - 4 = 3 \). \( \displaystyle x^2 = 7 \implies x = \sqrt{7} \) sau \( \displaystyle x = -\sqrt{7} \). 3. Cazul 2: \( \displaystyle x^2 - 4 = -3 \). \( \displaystyle x^2 = 1 \implies x = 1 \) sau \( \displaystyle x = -1 \). 4. Toate cele patru valori găsite sunt soluții valide. Răspuns: \( \displaystyle x \in \{-\sqrt{7}, -1, 1, \sqrt{7}\} \)