Item 9 - exercitii de exersare

Exerciții

Se consideră o progresie aritmetică cu rația \(4\) și \(a_6 = -10\). Calculați \(a_8\).

Determinați rația progresiei geometrice \( (b_n)_{n \geq 1} \), dacă \(\displaystyle b_2 = -\frac{1}{2} \) și \(\displaystyle b_7 = \frac{1}{64} \).

Studiați monotonia șirului \(\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}, \, a_n = \frac{2n-1}{3n+2} \).

Studiați mărginirea șirului \(\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}, a_n = \frac{2n - 2}{n + 1} \).

Studiați paritatea funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1} \)

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f: R^{* *} \rightarrow R, f(x)=\frac{\sqrt{3}-5}{x} \)

Determinați mulțimea de valori ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=2+3 \sin x \).

Studiați monotonia șirului \(\displaystyle (x_n)_{n \geq 1}, \, x_n = \frac{2n+3}{3n+2}\)

Într-o progresie aritmetică cu \(a_1 = 7\), avem \(a_3 = 25\). Determinați rația progresiei:

Studiati marginea șirului \(\displaystyle x_n = \frac{2n + 3}{8n - 11}\)

Se consideră o progresie aritmetică cu rația \(3\) și \(a_1 = 2\). Calculați \(a_6\).

Studiați mărginirea șirului \(\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n \geq 1}, a_{n} = \frac{3n+5}{n+1} \)

Determinați mulțimea \( E(f) \) a valorilor funcției \( f : [-2; 2] \to \mathbb{R}, \, f(x) = -2x^2 + 5 \).

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f: R \backslash\{3\} \rightarrow R, f(x)=\frac{8-\sqrt{2}}{x-3} \).

Studiați paritatea funcției \( \displaystyle f: R \backslash\{-1 ; 0 ; 1\} \rightarrow R, f(x)=\frac{x^{4}}{x^{3}-x} \).

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f:(-2 ;+\infty) \rightarrow R, f(x)=\log _{\frac{3}{\pi}}(x+2) \).

Determinați mulțimea de valori ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=4-2 \cos x \).

Numerele \( 4, \, 12, \, 36, \, 108 \) sunt primii patru termeni ai unei progresii geometrice. Determinați termenul al șaselea.

Studiați mărginirea șirului \( \displaystyle (a_n)_{n \geq 1}, a_n = \frac{2n}{n + 3} \).

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f:(0 ;+\infty) \rightarrow R, f(x)=\log _{\frac{1}{2-\sqrt{3}}} x \)

Se consideră o progresie geometrică în care \(b_1 = 7\) și \(b_2 = 14\). Calculați \(b_5\).

Determinați mulțimea \(E(f)\) a valorilor funcției \(f : [-4; 4] \to \mathbb{R}, f(x) = 3|x| - 2\).

Determinați termenul \( a_{10} \) al progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), dacă \( a_3 = 7 \) și \( a_5 = 23 \).

Fie progresia aritmetică \((a_n)_{n \geq 1}\), în care \(a_3 = 5\) și \(a_6 = 11\). Calculați \(a_9\).

Fie funcția \(\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 1 - \frac{1}{2}\cos(2x) \). Determinați mulțimea \( E(f) \) a valorilor funcției \( f \).

Determinați mulțimea de valori ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=2 x^{2}-6 x+1 \).

Studiați paritatea funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=\pi^{x^{2}+4} \)

Se consideră șirul \( (a_n)_{n \geq 1}, a_{n+1} = a_n^2 + 2, a_1 = 1 \). Determinați diferența \( a_4 - a_2 \).

Studiați paritatea funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=e^{|x|-3} \).

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=(3-\sqrt{7})^{x} \).

Studiați paritatea funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=x^{3}-x \).

Studiați monotonia șirului \(\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}, \, a_n = \frac{5n - 3}{n + 2}.\)

Determinați mulțimea de valori ale funcției \( \displaystyle f:[-2 ; 4] \rightarrow R, f(x)=x^2 \)

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = 2^x - 3 \). Determinați mulțimea \( E(f) \) a valorilor funcției \( f \).

Calculați primul termen al unei progresii geometrice cu rația \(2\), iar al treilea termen egal cu \(56\).

Studiați monotonia șirului \((a_n)_{n \geq 1}\), \(a_n = \displaystyle \frac{4n}{n+3}\).

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=\left(\frac{9}{\pi}\right)^{x} \).

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=\left(\frac{2}{3-\sqrt{5}}\right)^{x} \).

Studiați monotonia șirului \(\displaystyle (x_n)_{n \geq 1}, \, x_n = \frac{2-3n}{5n+3}\)

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f:(0 ;+\infty) \rightarrow R, f(x)=\log _{\frac{1}{4-\sqrt{2}}} x \)

Studiați monotonia șirului \(\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n \geq 1}, a_{n}=\frac{n+3}{n+2} \)

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left(\frac{2e}{7}\right)^x \). Stabiliți monotonia funcției \( f \).

Studiati marginea șirului \(\displaystyle x_n = \frac{n + 9}{2n + 1}\)

Determinați mulțimea de valori ale funcției \( \displaystyle f:[-3 ; 3] \rightarrow R, f(x)=|x|+5 \).

Studiați paritatea funcției \( \displaystyle f: R^{*} \rightarrow R, f(x)=x^{3}+\frac{1}{x} \)

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=(4-\sqrt{7})^{x} \).

Numerele \( \displaystyle 4 ;-2 ; 1 \) sunt primii trei termeni ai unei progresii geometrice. Determinati termenul al șaselea al progresiei geometrice.

Studiati paritatea funcției \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x - x^3}{\cos x + 3} \).

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f:(0 ;+\infty) \rightarrow R, f(x)=\log _{\frac{3}{2+\sqrt{3}}} x \).

Determinați mulțimea de valori ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=2-\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \).

Studiati marginea șirului \(\displaystyle x_n = \frac{5n - 2}{n}\)

Studiați paritatea funcției \( \displaystyle f: R^{*} \rightarrow R, f(x)=x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \)

Studiați monotonia șirului \(\displaystyle (x_n)_{n \geq 1}, \, x_n = \frac{2n-5}{n}\)

Studiati marginea șirului \(\displaystyle x_n = \frac{4n}{2n - 1}\)

Determinați rația progresiei geometrice \( (b_n)_{n \geq 1} \), dacă \( b_3 = -9 \) și \( b_8 = -\frac{1}{27} \).

Cercetați paritatea funcției \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = e^{x^2} \).

Se consideră șirul \( \displaystyle (a_n)_{n \geq 1} \), \( \displaystyle a_{n+1} = 3 - 2a_n \), \( \displaystyle a_1 = 0,5 \). Determinați suma \( \displaystyle a_3 + a_4 \).

Studiați paritatea funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=x \cos (3 x) \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = 14e^{x^6} \). Determinați dacă funcția este „pară”, „impară” sau „nici pară, nici impară”.

Fie funcția \( f : [0; \infty) \to \mathbb{R}, \, f(x) = 5 - \sqrt{x} \). Determinați mulțimea \( E(f) \) a valorilor funcției \( f \).

Calculați \(b_8\), dacă se știe că \(b_7=49\) și \(b_9=81\) sunt termenii unei progresii geometrice cu termeni pozitivi.

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=\left(\frac{2}{3+\sqrt{5}}\right)^{x} \).

Studiați paritatea funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=5 x^{2}+2|x| \).

Determinați termenul \( a_{50} \) al progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), dacă \( a_6 = 26 \) și \( r = -2 \).

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f:(-\infty ; 3) \rightarrow R, f(x)=\log _{\pi+3}(3-x) \).

Studiați monotonia șirului \(\displaystyle (x_n)_{n \geq 1}, \, x_n = \frac{n+4}{2n+1}\)

Se consideră șirul \( (a_n)_{n \geq 1} \), \( a_{n+1} = 5a_n + 2 \), \( a_1 = -1 \). Determinați suma primilor patru termeni ai șirului.

Determinați termenul \( a_7 \) al progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), dacă \( a_3 = 13 \) și \( a_{10} = 41 \).

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f:(-\infty ; 2) \rightarrow R, f(x)=\log _{\pi-3}(2-x) \).

Determinați mulțimea de valori ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=5^{x}-3 \).

Aflați termenul \( \displaystyle a_{10} \) al progresiei aritmetice \( \displaystyle \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} \), dacă \( \displaystyle a_{n+1}=a_{n}-3 \) și \( \displaystyle a_{1}=5 \).

Studiați monotonia șirului \(\displaystyle (x_n)_{n \geq 1}, \, x_n = \frac{5n-2}{2n-1}\)

Studiați monotonia funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=\left(\frac{1}{\pi}\right)^{x} \).

Studiați paritatea funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=x \sin (5 x) \)

Se consideră o progresie aritmetică cu \(a_1 = 7\) și \(a_7 = 25\). Calculați rația.

Determinați suma primilor 4 termeni ai progresiei geometrice: \( \frac{3}{8}, \frac{3}{4}, \dots \)

În progresia aritmetică \( \displaystyle \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} \) suma dintre termenul al doilea și al cincilea este -4 , iar suma dintre termenul al patrulea și al nouălea este -16 . Aflați primul termen și rația progresiei.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2\sin x + 1 \). Determinați mulțimea \( E(f) \) a valorilor funcției \( f \).

Determinați mulțimea de valori ale funcției \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=4-2|\cos x| \).

Răspunsuri

Rezolvări

\( \displaystyle f(-x)=\frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=\frac{\frac{1}{2^{x}}-1}{\frac{1}{2^{x}}+1}=\frac{1-2^{x}}{1+2^{x}}=-\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=-f(x) \), deci funcția este impară

care din intervalele \( \displaystyle (-\infty ; 0) ;(0 ;+\infty) \)
Rezolvare:
Deoarece \( \sqrt{3} - 5 < 0 \), funcția \( \displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{3} - 5}{x} \) este strict crescătoare pe fiecare dintre intervalele \( \displaystyle (-\infty, 0) \) și \( \displaystyle (0, +\infty) \).

Rezolvare:
Funcția \( \displaystyle \sin x \) ia toate valorile între -1 și 1.
Prin urmare, \( \displaystyle 3 \sin x \) ia toate valorile între -3 și 3.
Deci, \( \displaystyle 2 + 3 \sin x \) ia toate valorile între \( \displaystyle 2 - 3 = -1 \) și \( \displaystyle 2 + 3 = 5 \).

Rezolvare:
Deoarece \( \displaystyle 8 - \sqrt{2} > 0 \), funcția \( \displaystyle f(x) = \frac{8 - \sqrt{2}}{x - 3} \) este strict descrescătoare pe fiecare din intervalele \( \displaystyle (-\infty, 3) \) și \( \displaystyle (3, +\infty) \).

\( \displaystyle f(-x)=\frac{(-x)^{4}}{(-x)^{3}-(-x)}=\frac{x^{4}}{-x^{3}+x}=-\frac{x^{4}}{x^{3}-x}=-f(x) \), deci funcția este impară

Rezolvare:
Deoarece \( \displaystyle \frac{3}{\pi} < 1 \), funcția \( \displaystyle \log_{\frac{3}{\pi}} u \) este descrescătoare.
Funcția \( \displaystyle x + 2 \) este crescătoare.
Compunerea unei funcții descrescătoare cu una crescătoare este descrescătoare.

Rezolvare:
Funcția \( \displaystyle \cos x \) ia toate valorile între -1 și 1.
Prin urmare, \( \displaystyle -2 \cos x \) ia toate valorile între -2 și 2.
Deci, \( \displaystyle 4 - 2 \cos x \) ia toate valorile între \( \displaystyle 4 - 2 = 2 \) și \( \displaystyle 4 + 2 = 6 \).

Rezolvare:
Raționalizăm baza: \( \displaystyle \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3} \).
Deoarece \( \displaystyle 2 + \sqrt{3} > 1 \), funcția \( \displaystyle \log_{2 + \sqrt{3}} x \) este crescătoare.

Rezolvare:
Funcția \( \displaystyle f(x) = 2x^2 - 6x + 1 \) este o funcție de gradul II cu \( \displaystyle a = 2 > 0 \), deci are un minim.
Minimul este atins în \( \displaystyle x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(2)} = \frac{3}{2} \).
Valoarea minimă este \( \displaystyle f\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{3}{2}\right) + 1 = \frac{9}{2} - 9 + 1 = \frac{9 - 18 + 2}{2} = -\frac{7}{2} \).

\( \displaystyle f(-x)=e^{|-x|-3}=e^{|x|-3}=f(x) \), deci funcția este pară

Rezolvare:
Deoarece \( \displaystyle 3 - \sqrt{7} \approx 3 - 2.65 = 0.35 \), avem \( \displaystyle 3 - \sqrt{7} \in (0, 1) \).
O funcție exponențială cu baza între 0 și 1 este strict descrescătoare.

\( \displaystyle f(-x)=-x^{3}+x=-\left(x^{3}-x\right)=-f(x) \), deci funcția este impară.

Pentru \( \displaystyle f(x) = x^2 \) pe intervalul \( \displaystyle [-2, 4] \), minimul este atins în \( \displaystyle x = 0 \) cu valoarea \( \displaystyle f(0) = 0 \), iar maximul este atins în \( \displaystyle x = 4 \) cu valoarea \( \displaystyle f(4) = 16 \). Astfel, \( \displaystyle E(f) = [0, 16] \).

Rezolvare:
Deoarece \( \displaystyle \frac{9}{\pi} \approx \frac{9}{3.14} > 1 \), avem \( \displaystyle \frac{9}{\pi} \in (1, +\infty) \).
O funcție exponențială cu baza mai mare decât 1 este strict crescătoare.

Rezolvare:
Raționalizăm numitorul: \( \displaystyle \frac{2}{3 - \sqrt{5}} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \).
Deoarece \( \displaystyle \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 + 2.24}{2} = 2.62 > 1 \), avem \( \displaystyle \frac{2}{3 - \sqrt{5}} \in (1, +\infty) \).
O funcție exponențială cu baza mai mare decât 1 este strict crescătoare.

Rezolvare:
Raționalizăm baza: \( \displaystyle \frac{1}{4 - \sqrt{2}} = \frac{4 + \sqrt{2}}{(4 - \sqrt{2})(4 + \sqrt{2})} = \frac{4 + \sqrt{2}}{16 - 2} = \frac{4 + \sqrt{2}}{14} \).
Deoarece \( \displaystyle \frac{4 + \sqrt{2}}{14} \approx \frac{4 + 1.4}{14} = \frac{5.4}{14} < 1 \), funcția \( \displaystyle \log_{\frac{1}{4 - \sqrt{2}}} x \) este descrescătoare.

Rezolvare:
Pentru \( \displaystyle x \in [-3, 3] \), \( \displaystyle |x| \) variază între 0 și 3.
Prin urmare, \( \displaystyle |x| + 5 \) variază între \( \displaystyle 0 + 5 = 5 \) și \( \displaystyle 3 + 5 = 8 \).

Rezolvare:
Deoarece \( \displaystyle 4-\sqrt{7} \approx 4 - 2.65 = 1.35 \), avem \( \displaystyle 4-\sqrt{7} > 1 \).
O funcție exponențială cu baza mai mare decât 1 este strict crescătoare.

Rezolvare:
Rația progresiei geometrice este \( \displaystyle q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \).
Termenul al șaselea este \( \displaystyle b_6 = b_1 \cdot q^5 = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = 4 \cdot \left(-\frac{1}{32}\right) = -\frac{1}{8} \).

Rezolvare:
Raționalizăm baza: \( \displaystyle \frac{3}{2 + \sqrt{3}} = \frac{3(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{3(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 3(2 - \sqrt{3}) = 6 - 3\sqrt{3} \).
Deoarece \( \displaystyle 6 - 3\sqrt{3} \approx 6 - 3(1.73) = 6 - 5.19 = 0.81 < 1 \), funcția \( \displaystyle \log_{\frac{3}{2 + \sqrt{3}}} x \) este descrescătoare.

Rezolvare:
Funcția exponențială \( \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^x \) ia toate valorile pozitive.
Prin urmare, \( \displaystyle -\left(\frac{1}{3}\right)^x \) ia toate valorile negative.
Deci, \( \displaystyle 2 - \left(\frac{1}{3}\right)^x \) ia toate valorile mai mici decât \( \displaystyle 2 \).

\( \displaystyle f(-x)=(-x) \cos (-3 x)=-x \cos (3 x)=-f(x) \), deci funcția este impară.

Rezolvare:
Raționalizăm baza: \( \displaystyle \frac{2}{3 + \sqrt{5}} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \).
Deoarece \( \displaystyle \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 - 2.24}{2} = \frac{0.76}{2} < 1 \), avem \( \displaystyle \frac{2}{3 + \sqrt{5}} \in (0, 1) \).
O funcție exponențială cu baza între 0 și 1 este strict descrescătoare.

\( \displaystyle f(-x)=5(-x)^{2}+2|-x|=5 x^{2}+2|x|=f(x) \), deci funcția este pară

Rezolvare:
Deoarece \( \displaystyle \pi + 3 > 1 \), funcția \( \displaystyle \log_{\pi + 3} u \) este crescătoare.
Funcția \( \displaystyle 3 - x \) este descrescătoare.
Compunerea unei funcții crescătoare cu una descrescătoare este descrescătoare.

Rezolvare:
Deoarece \( \displaystyle \pi - 3 < 1 \), funcția \( \displaystyle \log_{\pi - 3} u \) este descrescătoare.
Funcția \( \displaystyle 2 - x \) este descrescătoare.
Compunerea a două funcții descrescătoare este crescătoare.

Rezolvare:
Funcția exponențială \( \displaystyle 5^x \) ia toate valorile pozitive.
Prin urmare, \( \displaystyle 5^x - 3 \) ia toate valorile mai mari decât \( \displaystyle -3 \).

Rezolvare:
Rația progresiei aritmetice este \( \displaystyle r = a_2 - a_1 = (a_1 - 3) - a_1 = -3 \).
Termenul al zecelea este \( \displaystyle a_{10} = a_1 + 9r = 5 + 9(-3) = 5 - 27 = -22 \).

Rezolvare:
Deoarece \( \displaystyle \frac{1}{\pi} \approx \frac{1}{3.14} < 1 \), avem \( \displaystyle \frac{1}{\pi} \in (0, 1) \).
O funcție exponențială cu baza între 0 și 1 este strict descrescătoare.

Rezolvare:
Scriem ecuațiile:
\( \displaystyle a_2 + a_5 = -4 \Rightarrow a_1 + r + a_1 + 4r = -4 \Rightarrow 2a_1 + 5r = -4 \)
\( \displaystyle a_4 + a_9 = -16 \Rightarrow a_1 + 3r + a_1 + 8r = -16 \Rightarrow 2a_1 + 11r = -16 \)
Scădem prima ecuație din a doua: \( \displaystyle 6r = -12 \Rightarrow r = -2 \).
Înlocuim în prima ecuație: \( \displaystyle 2a_1 + 5(-2) = -4 \Rightarrow 2a_1 = 6 \Rightarrow a_1 = 3 \).

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări