Trigonometrie: ecuatii

Formule Generale pentru Ecuatii Trigonometrice

  • \( \sin x = a \), cu \( a \in [-1, 1] \):
    • \( x = (-1)^k \arcsin a + k \pi, \, k \in \mathbb{Z} \)
  • \( \cos x = a \), cu \( a \in [-1, 1] \):
    • \( x = \pm \arccos a + 2k \pi, \, k \in \mathbb{Z} \)
  • \( tg x = a \):
    • \( x = arctg a + k \pi, \, k \in \mathbb{Z} \)
  • \( ctg x = a \):
    • \( x = \operatorname{arcctg} a + k \pi, \, k \in \mathbb{Z} \)

Exemplu Rezolvat

Să rezolvăm în \(\mathbb{R}\) ecuația:

\( \sin x + \cos x = 0 \)

1) Determinarea Domeniului de Definiție (D.V.A.)

  • Divizăm ecuația prin \(\cos x\):
    • \( tg x + 1 = 0 \)
  • Obținem: \( tg x = -1 \)

2) Soluția Generală

  • Folosim formula pentru \(tg x = a\):
    • \( x = \operatorname{arctg}(-1) + k \pi, k \in \mathbb{Z} \)
  • Calculăm: \( \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} \)

3) Soluții în Domeniul D.V.A.

  • În funcție de \( k \), soluțiile sunt:
    • \( x = -\frac{\pi}{4} + k \pi \)

Exerciții

1
Determinați soluțiile reale ale ecuației \(\sqrt{3} \cos x - \sin(2x) = 0\), pentru care \(|x| < 2\).
2
Determinați soluțiile reale ale ecuației \(\sin(2x) + \cos x = 0\), pentru care \(\cos x > 0\).
3
Determinați valorile lui \(\beta \in \left(\displaystyle \frac{\pi}{2}, \pi\right)\), pentru care \(tg(\alpha + \beta) = 2\) și \(tg \alpha = -3\).
Înapoi Următor