Asemănarea Triunghiurilor
Asemănarea triunghiurilor este o relație geometrică între două triunghiuri care au aceeași formă, dar dimensiuni diferite. Aceasta înseamnă că unghiurile corespunzătoare sunt congruente, iar laturile corespunzătoare sunt proporționale.
1. Teorema fundamentală a asemănării
Două triunghiuri sunt asemănătoare dacă îndeplinesc oricare dintre următoarele criterii:
- Unghi-Unghi (AA): Două triunghiuri sunt asemănătoare dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale celuilalt triunghi.
- Latură-Unghi-Latură (SAS): Două triunghiuri sunt asemănătoare dacă un unghi al unui triunghi este egal cu un unghi al celuilalt triunghi, iar laturile care formează acest unghi sunt proporționale.
- Latură-Latură-Latură (SSS): Două triunghiuri sunt asemănătoare dacă toate cele trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu cele trei laturi ale celuilalt triunghi.
Formularea proporțiilor
Dacă triunghiurile \( \triangle ABC \) și \( \triangle EBF \) sunt asemănătoare (\( \triangle ABC \sim \triangle EBF \)), atunci relațiile sunt:
- \(\displaystyle \frac{AB}{EB} = \frac{BC}{BF} = \frac{CA}{EF} \)
- Unghiurile corespunzătoare sunt egale: \( \angle A = \angle E, \angle B = \angle B, \angle C = \angle F \).
2. Linia mijlocie
Linia mijlocie este segmentul care are exetremitatile pe mijlocurile a doua laturi a unui triunghi, si este paralela cu a treia latura.
3. Teorema lui Thales
Teorema lui Thales este un caz special al teoremei asemănării și afirmă că:
Dacă o dreaptă paralelă unei laturi a unui triunghi intersectează celelalte două laturi, atunci împarte aceste laturi în segmente proporționale.În triunghiul \( \triangle ABC \), dacă \( EF \parallel AC \), atunci:
- \(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)