Cilindrul
1. Definiție
Cilindrul este definit prin următoarele elemente:
- Două baze circulare congruente și paralele.
- O suprafață laterală care leagă cele două baze.
- Înălțimea cilindrului \(h\) este distanța dintre bazele sale.
2. Formule importante
2.1. Aria laterală
Aria laterală a cilindrului este dată de produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea cilindrului:
\[ A_{lat} = 2 \pi r h \]
Unde \(r\) este raza bazei, iar \(h\) este înălțimea cilindrului.
2.2. Aria totală
Aria totală a cilindrului este suma ariei laterale și a ariilor celor două baze:
\[ A_{tot} = A_{lat} + 2 \cdot A_{b} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \]
2.3. Volumul
Volumul cilindrului este dat de produsul dintre aria bazei și înălțime:
\[ V = A_{b} \cdot h = \pi r^2 h \]
4. Exemplu rezolvat
Exemplu: Fie un cilindru cu raza bazei \(r = 5 \;\text{cm}\) și înălțimea \(h = 10 \;\text{cm}\). Calculați aria laterală, aria totală și volumul cilindrului.
4.1. Aria laterală
Perimetrul bazei este:
\[ P_{b} = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 5 = 10 \pi \;\text{cm} \]
Aria laterală este:
\[ A_{lat} = P_{b} \cdot h = 10 \pi \cdot 10 = 100 \pi \;\text{cm}^2 \]
4.2. Aria totală
Aria bazei este:
\[ A_{b} = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25 \pi \;\text{cm}^2 \]
Aria totală este:
\[ A_{tot} = A_{lat} + 2 \cdot A_{b} = 100 \pi + 2 \cdot 25 \pi = 150 \pi \;\text{cm}^2 \]
4.3. Volumul
Volumul este:
\[ V = A_{b} \cdot h = 25 \pi \cdot 10 = 250 \pi \;\text{cm}^3 \]
Exerciții
1
Să se afle volumul unui cilindru, dacă suma razei bazei și înălțimii lui este egală cu 30 cm, iar raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor lui este \( \frac{7}{3} \).
2
Să se afle înălțimea unui cilindru, știind că ea este cu 4 cm mai mare decât diametrul bazei și că aria laterală a cilindrului este de 32π cm².
3
Aria bazei unui cilindru circular drept este egală cu aria laterală și este egală cu 16π cm². Determinați volumul cilindrului.