Item 7 - exercitii de exersare

Exerciții

Să se afle lungimea laturii \( [BC] \) a triunghiului \( ABC \), știind că \( AB = 6\,\mathrm{cm} \), \( AC = 10\,\mathrm{cm} \) și că aria triunghiului \( ABC \) este egală cu \( 15\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2 \).

Fie \( ABCD \) un paralelogram, în care \( m(\angle ABC) = 135^\circ \) și \( AB = 6 \, \text{cm} \). Determinați aria paralelogramului, dacă \( BD = 5 \sqrt{2} \, \text{cm} \).

Se consideră rombul \( ABCD \) cu \( m(\angle ABC) = 120^\circ \), \( AC \cap BD = \{O\} \). Fie punctul \( M \) mijlocul laturii \( [BC] \), \( AM \cap BD = \{E\} \) și \( OE = 2\ \mathrm{cm} \). Să se afle aria rombului \( ABCD \).

Într-un trapez isoscel latura laterală este de \(30~\mathrm{cm}\), iar diagonala este de \(40~\mathrm{cm}\) şi este perpendiculară pe latura laterală. Determinați lungimea bazei mici a trapezului.

Un triunghi dreptunghic are perimetrul egal cu \(30~\mathrm{cm}\). În triunghi este înscris un cerc. Punctul de tangenţă al cercului cu o catetă împarte această catetă în două segmente, raportul lungimilor cărora este \(2:3\), socotind de la vârful unghiului drept. Aflaţi lungimile laturilor triunghiului.

Fie dreptunghiul \( ABCD \), în care \( AD = 24 \, \text{cm} \). Punctul \( M \) aparține laturii \( AB \), astfel încât \( AM : MB = 4 : 3 \), iar \( m(\angle ADM) = 30^\circ \). Determinați aria patrulaterului \( MBCD \).

În desenul alăturat bisectoarea AD împarte cateta BC a triunghiului dreptunghic ABC în segmentele de lungime 5 cm și 3 cm. Utilizând datele problemei și desenul, determinați lungimea catetei AC.

Fie ABC un triunghi dreptunghic, în care m(∠ABC) = 90°, AB = 9 cm, AC = 15 cm. Pe laturile AC și BC se consideră respectiv punctele M și N, astfel încât MN ∥ AB și BN:NC = 1:2. Determinați aria trapezului ABNM.

Baza mare a unui trapez isoscel este diametrul cercului circumscris trapezului. Latura laterală a trapezului este de \(15~\mathrm{cm}\), iar înălţimea de \(12~\mathrm{cm}\). Determinaţi lungimea razei cercului circumscris trapezului.

În triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A)=90^\circ\) avem \(AB=6\,\mathrm{cm}\), \(BC=10\,\mathrm{cm}\). Notăm cu \(D\) piciorul înălțimii din \(A\) pe ipotenuză. Paralela prin \(D\) la \(AB\) intersectează pe \(AC\) în punctul \(E\). Determinați \(BD\) și \(EC\).

Măsura unghiului ascuţit al unui romb este egală cu \(60^{\circ}\), iar aria rombului este egală cu \(18\sqrt{3}~\mathrm{cm}^2\). Să se afle lungimea diagonalei mai mari a rombului.

Se consideră triunghiul \(ABC\), în care \(M \in (AB)\), \(AM=BM=6\,\mathrm{cm}\), \(BC=14\,\mathrm{cm}\) și \(N\) este mijlocul laturii \([BC]\). Dacă \(MN=5\,\mathrm{cm}\), să se afle perimetrul triunghiului \(ABC\).

Fie \( ABC \) un triunghi oarecare cu înălţimea \( AD = 3\sqrt{3}\,\mathrm{cm},\, D \in (BC) \), mediana \( AM = 6\,\mathrm{cm},\, M \in (BD) \) şi \( m(\angle B) = 30^\circ \). Să se afle perimetrul triunghiului \( ABC \).

Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu \( m(\angle A) = 90^\circ, AB = 20\,\mathrm{cm}, AD \perp BC, D \in (BC) \), astfel încât \( BD = 16\,\mathrm{cm} \). Să se afle aria triunghiului \( ABC \).

Fie dat trapezul isoscel \( ABCD \) cu bazele \( AB = 4 \, \text{cm} \) și \( CD = 16 \, \text{cm} \). Dreptele suport ale laturilor laterale se intersectează într-un punct \( M \). Determinați distanța de la punctul \( M \) până la baza mare a trapezului, dacă se știe că trapezul poate fi circumscris unui cerc.

Într-un triunghi dreptunghic bisectoarea unui unghi ascuțit împarte cateta opusă în două segmente cu lungimile de \( 4\,\mathrm{cm} \) și \( 5\,\mathrm{cm} \). Să se afle aria triunghiului.

Într-un cerc cu raza de \(6~\mathrm{cm}\), unghiul înscris \(ABC\) se sprijină pe un arc de \(120^\circ\). Determinați lungimile coardelor \([AB]\) și \([BC]\), dacă \(\displaystyle \frac{AB}{BC} = \displaystyle \frac{1}{2}\).

Bisectoarea unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic împarte cateta opusă în două segmente cu lungimile de \(10\,\mathrm{cm}\) și \(26\,\mathrm{cm}\). Să se afle lungimea ipotenuzei triunghiului.

Fie trapezul dreptunghic ABCD, în care AD ∥ BC, m(∠B) = 90°, iar diagonala AC și latura CD sunt perpendiculare și au lungimile egale cu \(4\sqrt{2}\) cm. Determinați aria trapezului.

Diagonalele unui paralelogram au lungimile de \(16~\mathrm{cm}\) şi \(12~\mathrm{cm}\), iar măsura unghiului dintre ele este de \(30^\circ\). Să se afle aria paralelogramului.

Un triunghi are două laturi de lungimi 8 cm şi \( 4 \sqrt{7} \) cm, iar măsura unghiului opus laturii mai mari dintre cele două laturi are măsura de \( 60^{\circ} \). Să se afle lungimea laturii a treia a triunghiului.

Fie triunghiul \( A B C \) cu \( A C = 10 \, \text{cm} \) și \( m(\measuredangle A B C) = 45^\circ \). Un cerc cu diametrul \( A C \) intersectează latura \( A B \) în punctul \( K \), astfel încât \( A K = 6 \, \text{cm} \). Calculați cosinusul unghiului \( B C A \).

Într-un triunghi dreptunghic isoscel, mediana corespunzătoare ipotenuzei este de \(2\sqrt{2}\;\mathrm{cm}\). Determinaţi lungimea medianei corespunzătoare unei catete.

Fie dreptunghiul \(ABCD\) în care \(DE \perp AC\), \(E \in (AC)\), \(AE = 4~\mathrm{cm}\), \(CE = 12~\mathrm{cm}\). Să se afle perimetrul dreptunghiului \(ABCD\).

Se consideră triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu \( m(\angle A) = 90^\circ \) în care \( AB = AC + 6 \) și \( BC = 30\,\mathrm{cm} \). Să se afle lungimea segmentului \( [CD] \), unde \( [CD] \) este bisectoarea unghiului \( ACB, D \in (AB) \).

Fie cercul \( C(O, r) \) și punctele \( A, C, B, D \) în această ordine sunt situate pe cerc, astfel încât măsura arcului mare \( m( \overparen{DB} ) = 240^\circ \). Coardele \( AB = CD = 40 \, \text{cm} \) se intersectează în punctul \( M \), astfel încât \(\displaystyle \frac{CM}{MD} = \frac{AM}{MB} = \frac{3}{7} \). Determinați aria discului mărginit de acest cerc.

În trapezul isoscel \(ABCD\) latura laterală \([AB]\) şi baza mică \([BC]\) au lungimile de cîte \(2\,\mathrm{cm}\), iar \(BD \perp AB\). Să se afle aria trapezului.

În triunghiul isoscel \(ABC\) cu baza \([BC]\) este înscris un cerc de rază \(2\sqrt{3}~\mathrm{cm}\). Înălțimea \([AD]\) a triunghiului este împărțită de punctul de intersecție cu cercul în două segmente, raportul lungimilor cărora este \(1:2\), socotind de la vîrful \(A\). Să se afle perimetrul triunghiului \(ABC\).

Într-un triunghi dreptunghic isoscel, mediana corespunzătoare ipotenuzei este de \(2\sqrt{2}~\mathrm{cm}\). Determinaţi lungimea medianei corespunzătoare unei catete.

Fie \( ABCD \) un paralelogram, în care \( m(\angle BAD) = 60^\circ \), înălțimea \( BT = 5\sqrt{3} \, \text{cm}, T \in AD \) și diagonala \( BD = 14 \, \text{cm} \). Determinați aria paralelogramului \( ABCD \).

Se consideră triunghiul \(ABC\) în care \([MN]\) este linie mijlocie, \(M \in (AB)\), \(N \in (BC)\) şi \(MN = 5~\mathrm{cm}\). Dacă perimetrul triunghiului \(ABC\) este egal cu \(24~\mathrm{cm}\) şi \(AB\) este cu \(2~\mathrm{cm}\) mai mare decât \(BC\), să se afle lungimea bisectoarei \(AD\), \(D \in (BC)\).

Pe planul triunghiului \( ABC \), dreptunghic în \( A \), se ridică perpendiculara \( AM \). Știind că \( AB = 4 \, \text{cm} \), \( AM = 6 \, \text{cm} \) și \( m(\angle ACB) = 60^\circ \), calculați sinusul unghiului diedru format de planurile \( (MBC) \) și \( (ABC) \).

Fie triunghiul \( \displaystyle ABC \), în care \( \displaystyle AB = 4 \, \text{cm}, AC = 2 \, \text{cm}, BC = 3 \, \text{cm} \), iar \( \displaystyle BD \) este mediană. Aflați raza cercului circumscris triunghiului \( \displaystyle ADB \).

Punctele \( A, B, C \) aparțin unui cerc cu raza de \( 7 \, \text{cm} \), astfel încât \( m(\angle ABC) = 60^\circ \) și \(\displaystyle \frac{BC}{AB} = \frac{1}{3} \). Determinați aria triunghiului \( ABC \).

Într-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi ascuţit este egală cu \(30^\circ\), iar aria discului mărginit de cercul circumscris triunghiului este egală cu \(25\pi\,\mathrm{cm}^2\). Să se afle aria triunghiului.

Fie \(ABC\) un triunghi, în care \(m(\angle A) = 60^\circ\), \(m(\angle C) = 45^\circ\), iar înălţimea \(BH\) are lungimea de \(2\sqrt{3}~\mathrm{cm}\), \(H \in (AC)\). Determinaţi aria triunghiului \(ABC\).

Latura \([AB]\) a triunghiului isoscel \(ABC\) cu \(AB = BC\) este diametru al cercului care intersectează latura \([BC]\) în punctul \(D\), astfel încât \(\displaystyle \frac{BD}{DC} = 4\) şi \(AC = \sqrt{5}~\mathrm{cm}\). Să se afle aria triunghiului \(ABC\).

Perimetrul unui triunghi dreptunghic este egal cu \(60~\mathrm{cm}\), iar raportul lungimilor catetelor este \(3:4\). Să se afle lungimea razei cercului circumscris triunghiului.

În triunghiul \( ABC \) mediana \( BD \) are lungimea de \( 8 \, \text{cm} \), iar latura \( AC \) are lungimea de \( 14 \, \text{cm} \). Determinați aria triunghiului \( ABC \), dacă \( m(\angle ABD) = 60^\circ \), iar lungimea laturii \( AB \) este mai mare decât \( 3 \, \text{cm} \).

Aria unui paralelogram este egală cu \( 120\,\mathrm{cm}^2 \), iar două laturi ale lui au lungimile de \( 15\,\mathrm{cm} \) și \( 10\,\mathrm{cm} \). Să se afle lungimea diagonalei mai mici a paralelogramului.

Într-un trapez isoscel lungimile bazelor sunt de \(8\,\mathrm{cm}\) și \(14\,\mathrm{cm}\), iar aria trapezului este egală cu \(44\,\mathrm{cm}^2\). Să se afle lungimea laturii laterale a trapezului.

Fie trapezul isoscel \(ABCD\), în care \(AD \parallel BC\), \(AD=6~\mathrm{cm}\), \(CD=2~\mathrm{cm}\) şi \(BC=5~\mathrm{cm}\). Dreptele suport ale laturilor \(AB\) şi \(CD\) ale trapezului se intersectează în punctul \(M\). Determinaţi lungimea înălţimii triunghiului \(AMD\), corespunzătoare laturii \(AD\).

Într-un trapez isoscel lungimile bazelor sunt de \(8 \, \text{cm}\) și \(14 \, \text{cm}\), iar aria trapezului este egală cu \(44 \, \text{cm}^2\). Să se afle lungimea laturii laterale a trapezului.

Fie ABCD un paralelogram, în care AB ⟂ BD și \(\displaystyle \frac{AB}{BD} = \frac{3}{4}\). Determinați aria paralelogramului ABCD, dacă AD = 20 cm.

Două laturi ale unui triunghi au lungimile 13 cm și 14 cm, iar aria triunghiului este egală cu \( 84\ \mathrm{cm}^2 \). Să se afle lungimea laturii a treia a triunghiului.

Determinați aria triunghiului \( ABC \), ştiind că \( AC = 3\,\mathrm{cm} \), \( BC = 4\,\mathrm{cm} \), iar medianele \( AM \) și \( BN \) sunt reciproc perpendiculare.

În triunghiul ABC, avem AB = 5, AC = 7 și BC = \(\sqrt{39}\). Calculați măsura unghiului A.

În paralelogramul \(ABCD\), punctul \(K \in AD\), astfel încât \(BK\) este bisectoare a unghiului \(ABC\). Determinați lungimea segmentului \(BK\), dacă \(AB = 5 \, \text{cm}\), iar înălțimea corespunzătoare laturii \(AD\) este de \(3 \, \text{cm}\).

Fie triunghiul \( \text{ascuțitunghic} \, ABC \), în care \( m(\angle BAC) = 45^\circ \). Piciorul \( K \) al înălțimii \( BK \) împarte latura \( AC \) în segmentele \( AK = 8 \, \text{cm} \) și \( CK = 6 \, \text{cm} \). Determinați perimetrul triunghiului \( ABC \).

În triunghiul \(ABC\), mediana \(BD\) are lungimea de \(8 \, \text{cm}\), iar latura \(AC\) are lungimea de \(14 \, \text{cm}\). Determinați aria triunghiului \(ABC\), dacă \(m(\angle ABD) = 60^\circ\), iar lungimea laturii \(AB\) este mai mare decât \(3 \, \text{cm}\).

În triunghiul \( \displaystyle ABC \), medianele \( \displaystyle AM \) și \( \displaystyle BN \) se intersectează în punctul \( \displaystyle O \). Dacă \( \displaystyle AB = 10 \, \text{cm} \), \( \displaystyle AM = 12 \, \text{cm} \), \( \displaystyle BN = 9 \, \text{cm} \), calculați cosinusul unghiului \( \displaystyle BCA \).

Fie triunghiul \(ABC\) cu \(AB = 18~\mathrm{cm}\), \(BC = 15~\mathrm{cm}\) şi \(AC = 12~\mathrm{cm}\). Printr-un punct \(D \in (AC)\) se duce \(DE \parallel AB\), \(E \in (BC)\), astfel încât \(AD = DE\). Calculaţi perimetrul triunghiului \(CDE\).

Fie ABC un triunghi, în care m(∠A) = 60°, m(∠C) = 45°, iar înălțimea BH are lungimea de \(2\sqrt{3}\) cm. Determinați aria triunghiului ABC.

Fie triunghiul \(ABC\). Un cerc, cu diametrul \(AC\), intersectează latura \(AB\) în punctul \(D\). Să se calculeze aria triunghiului \(ABC\), dacă \(AC = 20 \, \text{cm}, AD = 12 \, \text{cm}\) iar \(m(\angle ABC) = 45^\circ\).

Fie trapezul \(ABCD\), în care \(AD \parallel BC\), \(BC = 4 \, \text{cm}\), \(m(\angle A) = 60^\circ\), \(m(\angle D) = 45^\circ\). Determinați lungimea bazei \(AD\), dacă se cunoaște că înălțimea trapezului este de \(3\sqrt{3} \, \text{cm}\).

Într-un triunghi dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\) şi \(m(\angle B) = 60^\circ\), înălțimea \([AD]\) are lungimea egală cu \(6\sqrt{3}~\mathrm{cm}\), \(D \in (BC)\).

Fie triunghiul \( ABC \) cu \( m(\angle C) = 90^\circ, m(\angle A) = 60^\circ \) și \( AC = 18 \, \text{cm} \). Din punctul \( C \) pe planul triunghiului \( ABC \) este dusă perpendiculara \( MC \) cu lungimea de \( 12 \, \text{cm} \). Aflați distanța de la punctul \( M \) la dreapta \( AB \).

În triunghiul ABC, avem AB = \(4\sqrt{2}\), AC = 6 și m(∠C) = 45°. Calculați sin B.

Fie \(ABCD\) un paralelogram, în care \(AB = 12 \, \text{cm}\), \(m(\angle BAD) = 60^\circ\) și \(BK\) este înălțime. Determinați aria paralelogramului, dacă \(\frac{AK}{KD} = \frac{2}{3}\).

Într-un triunghi dreptunghic distanța de la mijlocul ipotenuzei la o catetă este de \( 5\,\mathrm{cm} \), iar distanța de la mijlocul acestei catete la ipotenuză este de \( 4\,\mathrm{cm} \). Să se afle aria triunghiului \( ABC \).

Raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este de \(15~\mathrm{cm}\), iar raza cercului înscris în triunghi este de \(6~\mathrm{cm}\). Să se afle lungimile laturilor triunghiului.

În triunghiul \(ABC\), isoscel, \(AB = AC = 5 \, \text{cm}\) și \(BC = 6 \, \text{cm}\). Din punctul \(A\), perpendicular la planul triunghiului \(ABC\), este construit segmentul \(AM\) de lungime egală cu \(3 \, \text{cm}\). Să se afle distanța de la punctul \(M\) la dreapta \(BC\).

În trapezul dreptunghic \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\) şi \(m(\angle A)=90^\circ\), se dă: \(AD=2\sqrt{3}~\mathrm{cm}\), \(BC=6~\mathrm{cm}\) şi \(AB=3 \cdot CD\). Să se afle lungimile diagonalelor şi aria trapezului \(ABCD\).

Bisectoarea unui unghi al unui triunghi împarte latura opusă în două segmente cu lungimile de \(8~\mathrm{cm}\) şi \(10~\mathrm{cm}\). Să se afle lungimile laturilor triunghiului, ştiind că centrul cercului înscris în triunghi împarte această bisectoare în raportul \(3:2\), socotind de la vîrful triunghiului.

Într-un triunghi dreptunghic distanța de la mijlocul ipotenuzei la o catetă este \( 5\,\mathrm{cm} \), iar distanța de la mijlocul acestei catete la ipotenuză este de \( 4\,\mathrm{cm} \). Să se afle aria triunghiului.

Într-un cerc două coarde au lungimile de \( 6 \, \text{cm} \) și sunt reciproc perpendiculare, iar în punctul lor de intersecție fiecare dintre ele se împarte în segmente ale căror lungimi se raportează ca \( 2 : 1 \). Determinați lungimea razei cercului.

Se consideră triunghiul ABC, în care AB = 6, AC = 8 și m(∠A) = 120°. Calculați lungimea laturii BC.

Într-un triunghi dreptunghic care are perimetrul de \(36~\mathrm{cm}\), este înscris un cerc. Punctul de tangentă împarte ipotenuza în două segmente, raportul lungimilor cărora este \(2:3\). Să se afle lungimile laturilor triunghiului.

În triunghiul ascuțitunghic \(ABC\), \(AB = 4\sqrt{2}\ \text{cm}\), \(BC = 5\ \text{cm}\), iar \(m(\angle A) = 45^\circ\). Determinați lungimea laturii \(AC\).

Să se afle aria unui triunghi isoscel în care înălțimea corespunzătoare bazei are lungimea \(10\,\mathrm{cm}\), iar înălțimea corespunzătoare laturii laterale are \(12\,\mathrm{cm}\).

Fie paralelogramul \( ABCD \), în care \( AB = 26 \, \text{cm} \), \( BD = 32 \, \text{cm} \). Determinați perimetrul paralelogramului \( ABCD \), dacă \( m(\angle BOC) = 120^\circ \). \( O \) este punctul de intersecție al diagonalelor.

În triunghiul ascuțitunghic ABC avem AB = \(2\sqrt{2}\) cm, BC = 3 cm. Aria triunghiului ABC este egală cu 3 cm². Calculați lungimea laturii AC.

În triunghiul \(ABC\) medianele \((AE)\) şi \((CD)\) se intersectează în punctul \(\{O\}\), \(E \in (BC)\), \(D \in (AB)\). Dacă \(AE = 9~\mathrm{cm}\), \(CD = 12~\mathrm{cm}\) şi \(AC = 10~\mathrm{cm}\), să se afle aria triunghiului \(ABC\).

În triunghiul \( ABC \), \( m(\angle A) = 60^\circ \), iar bisectoarea \( AD \) determină pe latura \( BC \) segmentele \( BD = 1 \, \text{cm} \) și \( DC = 2 \, \text{cm} \). Determinați măsura unghiului \( BCA \).

Se consideră triunghiul \(ABC\) cu lungimile laturilor \(AB = 9~\mathrm{cm}\), \(BC = 12~\mathrm{cm}\), \(AC = 15~\mathrm{cm}\). Dacă \([AD]\) este mediana corespunzătoare laturii \([BC]\), \(D \in (BC)\), să se afle aria triunghiului \(ABD\).

Fie paralelogramul \( ABCD \), în care \( m(\angle BAD) = 60^\circ \). Bisectoarea unghiului \( A \) intersectează diagonala \( BD \) în punctul \( K \), astfel încât \( BK = 4 \, \text{cm} \) și \( KD = 5 \, \text{cm} \). Determinați aria paralelogramului \( ABCD \).

Fie ABC un triunghi dreptunghic, în care m(∠A) = 90°, iar bisectoarea BK împarte cateta AC în segmentele AK = 8 cm și KC = 10 cm. Determinați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC.

Dintr-un punct al cercului \(C(O; R)\) sunt construite două coarde cu lungimile de \(10\,\mathrm{cm}\) şi \(12\,\mathrm{cm}\). Să se afle lungimea razei cercului, ştiind că distanţa de la mijlocul coardei mai mici la coarda mai mare este de \(4\,\mathrm{cm}\).

Fie paralelogramul \( ABCD \), în care \( m(\angle A) = 60^\circ \), iar bisectoarea \( AK \) determină pe diagonala \( BD \) segmentele \( BK = 3 \, \text{cm} \) și \( KD = 6 \, \text{cm} \). Determinați măsura unghiului \( \angle ADB \).

Fie cercul \( C(O, R) \) și punctele \( A, B, C \in C(O, R) \), astfel încât \( AC \) este diametrul cercului. În triunghiul \( ABC \), \( BD \perp AC \), \( D \in [AC] \), \( BD = 2\sqrt{3} \, \text{cm} \) și \( DC = 2AD \). Determinați aria discului mărginit de cerc.

În triunghiul \(ABC\) avem \(m(\angle ABC) = 60^\circ\), mediana \(AM = 4\sqrt{3}~\mathrm{cm}\), iar înălțimea \(AD = 2\sqrt{3}~\mathrm{cm}\). Să se afle perimetrul şi aria triunghiului \(ABC\).

Fie triunghiul ascuțitunghic \(ABC\), în care \(BC = 8\ \text{cm}\). Lungimea medianei \(AM\) este egală cu \(5\ \text{cm}\), iar lungimea înălțimii \(AP\) este egală cu \(4\ \text{cm}\). Determinați lungimea laturii \(AB\).

Fie triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle C)=90^\circ\), \(CD \perp AB\), \(D \in (AB)\), \(AC = 30~\mathrm{cm}\), \(CD = 24~\mathrm{cm}\). Să se afle aria triunghiului \(ABC\).

Fie trapezul dreptunghic ABCD, cu AB ∥ CD și m(∠BAD) = 90°. Se cunoaște că AB = 4 cm, BC = 5 cm și m(∠ADB) = m(∠BDC). Să se calculeze aria acestui trapez.

Fie ABCD un trapez isoscel, în care AD ∥ BC, AD = 6 cm, BC = 4 cm și m(∠CAD) = 45°. Calculați aria trapezului ABCD.

Determinați lungimea bisectoarei unghiului drept al unui triunghi dreptunghic cu catetele de \( 10 \, \text{cm} \) și \( 40 \, \text{cm} \).

În desenul alăturat, \(ABCD\) este un romb în care \(BD = 30 \, \text{cm}\), iar \(O\) este punctul de intersecție a diagonalelor. Distanța de la punctul \(O\) la latura \(AB\) este egală cu \(12 \, \text{cm}\). Aflați aria rombului.

Un triunghi dreptunghic are catetele de \(6\,\mathrm{cm}\) şi \(8\,\mathrm{cm}\). Înălţimea din vîrful unghiului drept împarte triunghiul în două triunghiuri. Să se afle ariile triunghiurilor nou formate.

Să se afle lungimea diagonalei și a laturii laterale ale unui trapez isoscel, care are bazele de lungimi \(12\,\mathrm{cm}\) și \(20\,\mathrm{cm}\), iar centrul cercului circumscris trapezului se află pe baza mare.

În triunghiul ascuțitunghic \( ABC \) avem \( AB = 2.2 \, \text{cm}, \, BC = 3 \, \text{cm} \). Aria triunghiului \( ABC \) este egală cu \( 3 \, \text{cm}^2 \). Calculați lungimea laturii \( AC \).

Să se afle lungimea liniei mijlocii a unui trapez dreptunghic circumscris unui cerc, ştiind că distanţele de la centrul cercului la extremităţile laturii laterale mai mari sunt egale cu \(6~\mathrm{cm}\) şi \(8~\mathrm{cm}\).

Într-un romb diagonala mică este de \(30~\mathrm{cm}\), iar înălţimea este de \(24~\mathrm{cm}\). Determinați perimetrul rombului.

În trapezul \(ABCD\), \(AB \parallel CD\), \([AC] = [DB]\), \(m(\angle B) = 60^\circ\), \(BC = 6 \, \text{cm}\), iar \(AC \perp BC\). Calculați aria trapezului \(ABCD\).

Diagonalele rombului \(ABCD\) au lungimile de \(3~\mathrm{cm}\) şi \(4~\mathrm{cm}\). Din vârful unghiului obtuz \(B\) al rombului sunt duse înălţimile \(BE\) şi \(BF\), \(E \in (CD)\), \(F \in (AD)\). Să se afle aria patrulaterului \(BEDF\).

Un triunghi are perimetrul egal cu \(48~\mathrm{cm}\), iar lungimile laturilor triunghiului sunt direct proporționale cu numerele \(3, 4\) şi \(5\). Să se afle lungimea medianei corespunzătoare laturii mai mari a triunghiului.

În triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\) şi \(m(\angle B) = 30^\circ\), lungimea razei cercului înscris în triunghi este de \(\sqrt{3}~\mathrm{cm}\). Să se afle distanţa de la vîrful \(C\) al triunghiului pînă la punctul de tangenţă al cercului înscris cu cateta \([AB]\).

Perimetrul rombului \( ABCD \) este egal cu \( 36\sqrt{2}\ \mathrm{cm} \), iar diagonala \( AC = 12\sqrt{3}\ \mathrm{cm} \). Să se afle lungimea diagonalei \( [BD] \) și distanța de la centrul rombului la latura \( AB \).

Aflați raza cercului circumscris unui trapez isoscel circumscriptibil cu bazele de \( 16 \, \text{cm} \) și \( 36 \, \text{cm.}\)

Fie \( ABCD \) un paralelogram, în care \( m(\angle BAD) = 30^\circ \), iar înălțimea \( BK \) este de \( 3\sqrt{3} \, \text{cm} \) și împarte latura \( AD \) în două segmente congruente. Determinați aria paralelogramului \( ABCD \).

100

Fie \(ABC\) un triunghi ascuțitunghic isoscel, în care \(AB=BC\) şi înălțimea \(AD\) este de \(6~\mathrm{cm}\), \(D \in (BC)\). Determinaţi perimetrul triunghiului \(ABC\), dacă aria lui este egală cu \(30~\mathrm{cm}^2\).

101

Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \) în care \( m(\angle B) = 90^\circ \), iar \( CM \) este bisectoare. Determinați lungimea bisectoarei \( CM \), dacă se cunoaște că \( BC = 3 \, \text{cm} \) și \( AC = 5 \, \text{cm} \).

102

Se consideră rombul \( ABCD \) cu \( m(\angle ABC) = 120^\circ, AC \cap BD = \{O\} \). Fie punctul \( M \) mijlocul laturii \( [BC], AM \cap BD = \{E\} \) și \( OE = 2\,\mathrm{cm} \). Să se afle aria rombului \( ABCD \).

103

Lungimea liniei mijlocii a unui trapez este egală cu \(4~\mathrm{cm}\), unghiurile de la baza mare a trapezului au măsurile de \(40^\circ\) şi \(50^\circ\). Să se afle lungimile bazelor trapezului, ştiind că segmentul care uneşte mijloacele bazelor trapezului are lungimea \(1~\mathrm{cm}\).

104

Într-un trapez isoscel latura laterală este congruentă cu linia mijlocie, iar măsura unghiului ascuțit este egală cu \( 60^\circ \). Determinați aria trapezului, dacă se știe că raza cercului circumscris trapezului este de \( 3\sqrt{7} \, \text{cm} \).

105

Fie triunghiul \( ABC \), în care \( AB = 12 \, \text{cm}, AC = 18 \, \text{cm} \), iar \( AD \) este bisectoare cu lungimea de \( 9\sqrt{2} \, \text{cm} \). Determinați lungimea laturii \( BC \).

106

În triunghiul \( ABC \), lungimile a două laturi sunt egale cu \( 6 \, \text{cm} \) și \( 8 \, \text{cm} \), iar lungimea medianei \( CM \) corespunzătoare laturii a treia este de \( \sqrt{14} \, \text{cm} \). Calculați lungimea laturii a treia.

107

Un cerc înscris într-un triunghi dreptunghic avînd catetele de 6 cm şi 8 cm este tangent la ipotenuza triunghiului în punctul \( M \). Calculaţi distanţa de la punctul \( M \) la vîrful unghiului drept la triunghiului.

108

În triunghiul \( ABC \), dreptunghic în \( B \), este dusă înălțimea \( BM \). Determinați raportul dintre aria triunghiului \( AMB \) și aria triunghiului \( MBC \), dacă \( AB = 5 \, \text{cm} \) și \( BC = 12 \, \text{cm} \).

109

În trapezul isoscel \(ABCD\) latura laterală \([AB]\) și baza mică \([BC]\) au lungimile de câte \(2\,\mathrm{cm}\), iar \(BD \perp AB\). Să se afle aria trapezului.

110

Într-un triunghi dreptunghic bisectoarea unui unghi ascuțit împarte cateta opusă în două segmente de lungimi \( 4\,\mathrm{cm} \) și \( 5\,\mathrm{cm} \). Să se afle aria triunghiului.

111

Fie \(ABC\) un triunghi dreptunghic, în care \(m(\angle A) = 90^\circ\), iar bisectoarea \([BM]\) împarte cateta \([AC]\) în segmentele \(AM = 8~\mathrm{cm}\) şi \(MC = 10~\mathrm{cm}\). Determinaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului \(ABC\).

Răspunsuri

Rezolvări

În triunghiul isoscel \( ABC \) cu \( m(\angle ABC) = 120^\circ \), \( O \) este mijlocul laturii \( [AC] \), \( M \) este mijlocul laturii \( [BC] \), deci \( [BO] \) și \( [AM] \) sunt mediane, rezultă că punctul \( E \) este centrul de greutate al triunghiului \( ABC \), atunci \( BE = 2 \cdot OE = 2 \cdot 2 = 4\ \mathrm{cm} \).
Obținem \( OB = OE + BE = 2 + 4 = 6\ \mathrm{cm} \), atunci \( BD = 2 \cdot OB = 2 \cdot 6 = 12\ \mathrm{cm} \).
În triunghiul \( BAD \) avem \( m(\angle BAD) = 60^\circ \), și deoarece este isoscel, rezultă că este echilateral cu latura de 12 cm.
Aria triunghiului \( ABD \) este \( A_{ABD} = \dfrac{12^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \dfrac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \).
Aria rombului \( ABCD \) este \( A_{ABCD} = 2 \cdot 36\sqrt{3} = 72\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2 \).

Din triunghiul dreptunghic \( ADB \), care are \( m(\angle B) = 30^\circ \), rezultă că \( AB = 2AD = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \).
Conform teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( ADB \) avem \( BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{108 - 27} = \sqrt{81} = 9\,\mathrm{cm} \).
Din triunghiul dreptunghic \( ADM \), conform teoremei lui Pitagora avem \( DM = \sqrt{AM^2 - AD^2} = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 - 27} = \sqrt{9} = 3\,\mathrm{cm} \).
Atunci \( BM = BD - DM = 9 - 3 = 6\,\mathrm{cm} \) şi \( BC = 2BM = 2 \cdot 6 = 12\,\mathrm{cm} \). \( CD = MC - MD = 6 - 3 = 3\,\mathrm{cm} \).
Conform teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( ADC \) avem \( AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6\,\mathrm{cm} \).
Perimetrul triunghiului \( ABC \) este \( P = AB + BC + AC = 6\sqrt{3} + 12 + 6 = 18 + 6\sqrt{3} = 6(3 + \sqrt{3})\,\mathrm{cm} \).

Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu \( m(\angle A)=90^\circ \) în care \( [BM] \) este bisectoarea unghiului \( ABC, M \in (AC) \) și \( AM=4\,\mathrm{cm}, CM=5\,\mathrm{cm} \Rightarrow AC = AM + MC = 4+5=9\,\mathrm{cm} \).
Conform teoremei bisectoarei în triunghiul \( ABC \) avem \( \displaystyle \frac{AB}{AM} = \displaystyle \frac{BC}{MC} \Rightarrow \displaystyle \frac{AB}{4} = \displaystyle \frac{BC}{5} \Rightarrow AB = 4k, BC=5k, k \in \mathbb{R}_+^* \)
Conform teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( ABC \) avem \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow (5k)^2 = (4k)^2 + 9^2 \Rightarrow 25k^2 = 16k^2 + 81 \Rightarrow 9k^2 = 81 \Rightarrow k^2 = 9 \Rightarrow k = 3 \)
Atunci \( AB = 4k = 12\,\mathrm{cm} \).
Aria triunghiului \( ABC \) este \( A_{ABC} = \displaystyle \frac{AB \cdot AC}{2} = \displaystyle \frac{12 \cdot 9}{2} = 54\,\mathrm{cm}^2 \)

Fie triunghiul \( ABC \) cu \( AB = 8\,\mathrm{cm},\, BC = 4\sqrt{7}\,\mathrm{cm} \) şi \( m(\angle A) = 60^{\circ} \). Fie \( AC = x \). Conform teoremei cosinusurilor în triunghiul \( ABC \) avem: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^{\circ} \] \[ (4\sqrt{7})^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \displaystyle \frac{1}{2} \] \[ 112 = 64 + x^2 - 8x \Longleftrightarrow x^2 - 8x - 48 = 0 \] Ultima ecuație are soluțiile \( x_1 = -4 \) (nu convine), \( x_2 = 12 \). Aşadar, \[ AC = 12\,\mathrm{cm} \]

Fie trapezul isoscel \(ABCD\) cu \(AB=BC=CD=2\,\mathrm{cm}\), în care \(BD \perp AB\). Construim \(BM \perp AD\) şi \(CN \perp AD, M, N \in (AD)\), deci \([BM]\) şi \([CN]\) sunt înălţimi ale trapezului. Patrulaterul \(MBCN\) este dreptunghi \(\Rightarrow MN=BC=2\,\mathrm{cm}\).
Fie \(AM=ND=x\), atunci \(MD=x+2\). Din triunghiul dreptunghic \(ABM\), conform teoremei lui Pitagora avem \(BM^2=AB^2-AM^2=4-x^2\). Deci \(BM^2=4-x^2\) (1). Din triunghiul dreptunghic \(ABD\), conform teoremei înălţimii avem \(BM^2=AM \cdot MD = x(x+2)=x^2+2x\) (2).
Din (1) şi (2) rezultă \(x^2+2x=4-x^2\) \(\Leftrightarrow 2x^2+2x-4=0\) \(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\) cu soluţiile \(x_1=-2\) (nu convine) şi \(x_2=1\).
Aşadar, \(BC=2\,\mathrm{cm}, AD=4\,\mathrm{cm}\) şi înălţimea \(BM=\sqrt{3}\,\mathrm{cm}\).
Aria trapezului \( A_{tr} = \displaystyle \frac{BC+AD}{2} \cdot BM = \displaystyle \frac{2+4}{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \mathrm{~cm}^2 \)

Fie triunghiul \( ABC \) cu \( AB=13\ \mathrm{cm} \), \( BC=14\ \mathrm{cm} \) și considerăm \( m(\angle B)=\alpha \).
Atunci aria triunghiului \( ABC \) este \( A_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \alpha = \dfrac{1}{2} \cdot 13 \cdot 14 \cdot \sin \alpha = 91\sin\alpha \).
Obținem \( 91\sin\alpha = 84 \), de unde \( \sin\alpha = \dfrac{84}{91} \Rightarrow \sin\alpha = \dfrac{12}{13} \).
Atunci \( \cos\alpha = \pm\sqrt{1-\sin^2\alpha} = \pm\sqrt{1 - \left(\dfrac{12}{13}\right)^2} = \pm\dfrac{5}{13} \).
Dacă \( \cos\alpha = \dfrac{5}{13} \), atunci conform teoremei cosinusurilor în triunghiul \( ABC \) avem:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB \cdot BC \cdot \cos\alpha \)
\( AC^2 = 13^2 + 14^2 - 2 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \dfrac{5}{13} \)
\( AC^2 = 169 + 196 - 140 \Rightarrow AC^2 = 225 \), de unde \( AC = 15\ \mathrm{cm} \).
Dacă \( \cos\alpha = -\dfrac{5}{13} \), la fel conform teoremei cosinusurilor în triunghiul \( ABC \), obținem \( AC = \sqrt{505}\ \mathrm{cm} \).

Fie triunghiul \( ABC \), în care \( AC = 3\,\mathrm{cm} \), \( BC = 4\,\mathrm{cm} \), și \( AM, BN \) sunt mediane, \( M \in (BC), N \in (AC) \). Avem \( AM \perp BN \) şi fie \( AM \cap BN = \{ G \} \), \( G \) fiind centrul de greutate al triunghiului \( ABC \). Mai avem \( AN = NC = \displaystyle \displaystyle \frac{3}{2}\,\mathrm{cm} \), \( BM = MC = 2\,\mathrm{cm} \).
Fie \( AM = x \), atunci \( AG = \displaystyle \displaystyle \frac{2}{3}x \), \( GM = \displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}x \); şi \( BN = y \), atunci \( BG = \displaystyle \displaystyle \frac{2}{3}y \), \( GN = \displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}y \). Din triunghiul dreptunghic \( AGN \), conform teoremei lui Pitagora avem: \[ AG^2 + GN^2 = AN^2, \quad \text{adică} \quad \displaystyle \frac{4x^2}{9} + \displaystyle \frac{y^2}{9} = \displaystyle \frac{9}{4} \] iar din triunghiul dreptunghic \( BGM \), conform teoremei lui Pitagora avem: \[ GM^2 + BG^2 = BM^2, \quad \text{adică} \quad \displaystyle \frac{x^2}{9} + \displaystyle \frac{4y^2}{9} = 4 \] Obținem sistemul de ecuaţii: \[ \begin{cases} \displaystyle \displaystyle \frac{4x^2}{9} + \displaystyle \frac{y^2}{9} = \displaystyle \frac{9}{4} \\[1em] \displaystyle \displaystyle \frac{x^2}{9} + \displaystyle \frac{4y^2}{9} = 4 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 16x^2 + 4y^2 = 81 \\ x^2 + 4y^2 = 36 \end{cases} \] Scăzând cele două ecuaţii ale sistemului parte cu parte, obținem \( 15x^2 = 45 \), de unde \( x = \sqrt{3} \), apoi \( y = \displaystyle \displaystyle \frac{\sqrt{33}}{2} \). Atunci \( AG = \displaystyle \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{cm} \), \( GN = \displaystyle \displaystyle \frac{\sqrt{33}}{6}\,\mathrm{cm} \). Aria triunghiului \( AGN \) este: \[ A_{AGN} = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot AG \cdot GN = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{33}}{6} = \displaystyle \frac{\sqrt{11}}{6}\,\mathrm{cm}^2 \] Atunci \[ A_{ABC} = 6 \cdot A_{AGN} = 6 \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{11}}{6} = \sqrt{11}\,\mathrm{cm}^2 \]

a) Să se afle aria triunghiului \(ABC\).
b) Dacă \(DE \perp AC\), \(E \in (AC)\), determinați valoarea raportului ariilor triunghiurilor \(CDE\) şi \(ABC\).

Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu \( m(\angle A)=90^\circ \) și \( O \) mijlocul ipotenuzei \( [BC] \). Fie \( ON \perp AC, N \in (AC) \), rezultă că \( [ON] \) este distanța de la mijlocul ipotenuzei la cateta \( [AC] \Rightarrow ON=5\,\mathrm{cm} \).
Deoarece \( O \) este mijlocul lui \( [BC] \) și \( ON \parallel AB \), rezultă că \( [ON] \) este linie mijlocie în triunghiul \( ABC \Rightarrow AB=2\cdot ON=2\cdot5=10\,\mathrm{cm} \).
\( N \) este mijlocul catetei \( [AC] \) și fie \( NE \perp BC, E \in (BC) \), deci \( [NE] \) este distanța de la mijlocul catetei \( [AC] \) la ipotenuza \( [BC] \), atunci \( NE=4\,\mathrm{cm} \).
Din triunghiul dreptunghic \( OEN \), conform teoremei lui Pitagora avem \( OE = \sqrt{ON^2 - NE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\,\mathrm{cm} \).
Din triunghiul dreptunghic \( ONC \), conform teoremei înălțimii avem \( NE^2 = EC \cdot OE \Rightarrow 4^2 = EC \cdot 3 \Rightarrow EC = \displaystyle \frac{16}{3}\,\mathrm{cm} \).
Atunci \( OC = OE + EC = 3 + \displaystyle \frac{16}{3} = \displaystyle \frac{25}{3}\,\mathrm{cm} \Rightarrow BC = 2\cdot OC = 2 \cdot \displaystyle \frac{25}{3} = \displaystyle \frac{50}{3}\,\mathrm{cm} \).
Conform teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( ABC \) avem \( AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{\left(\displaystyle \frac{50}{3}\right)^2 - 10^2} = \displaystyle \frac{40}{3}\,\mathrm{cm} \).
Aria triunghiului \( ABC \) va fi \( A_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \displaystyle \frac{40}{3} = \displaystyle \frac{200}{3}\,\mathrm{cm}^2 \)

Fie rombul \( ABCD \) cu perimetrul \( P = 36\sqrt{2}\ \mathrm{cm} \), atunci lungimea laturii rombului este \( AB = 9\sqrt{2}\ \mathrm{cm} \).
Considerăm \( AC \cap BD = \{O\} \). Atunci \( AC \perp BD \) si \( AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\ \mathrm{cm} \).
Din triunghiul dreptunghic \( AOB \), conform teoremei lui Pitagora, avem: \( BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{162-108} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\ \mathrm{cm} \).
Atunci \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 3\sqrt{6} = 6\sqrt{6}\ \mathrm{cm} \).
Fie \( OM \perp AB \), deci \( [OM] \) este distanța de la punctul \( O \) la latura \( AB \), atunci: \( OM = \dfrac{AO \cdot BO}{AB} = \dfrac{6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{6}}{9\sqrt{2}} = 6\ \mathrm{cm} \).

107

Fie cercul \( C(O ; r) \) înscris în triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu \( m(\angle A) = 90^\circ \) şi catetele \( AB = 8\,\mathrm{cm},\, AC = 6\,\mathrm{cm} \).
Ipotenuza \( BC \) are lungimea \( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\,\mathrm{cm} \). Raza cercului înscris în triunghiul dreptunghic \( ABC \) are lungimea \( r = \displaystyle \frac{AB + AC - BC}{2} = \displaystyle \frac{8 + 6 - 10}{2} = 2\,\mathrm{cm} \).
Fie \( M \) punctul de tangență al cercului cu ipotenuza \( BC \), iar \( P \) și \( Q \) punctele de tangență ale cercului cu catetele \( [AC] \) și respectiv \( [AB] \). Atunci patrulaterul \( AQOP \) este pătrat cu lungimea laturii de 2 cm. Avem \( CP = AC - AP = 6 - 2 = 4\,\mathrm{cm} \).
Conform proprietății tangentelor duse la cerc dintr-un punct exterior cercului avem \( CM = CP = 4\,\mathrm{cm} \).
Din triunghiul dreptunghic \( ABC \) avem \( \sin C = \displaystyle \frac{AB}{BC} = \displaystyle \frac{8}{10} = \displaystyle \frac{4}{5} \). Deoarece unghiul \( C \) este ascuțit, obținem \( \cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \displaystyle \frac{3}{5} \). Segmentul \( [AM] \) este distanța dintre punctul \( M \) și vîrful unghiului drept \( A \) al triunghiului \( ABC \).
Conform teoremei cosinusurilor în triunghiul \( ACM \) avem \[ AM^2 = AC^2 + CM^2 - 2 \cdot AC \cdot CM \cdot \cos C \] \[ AM^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \displaystyle \frac{3}{5} = 36 + 16 - \displaystyle \frac{144}{5} = 52 - \displaystyle \frac{144}{5} = \displaystyle \frac{116}{5} \] \[ AM = \displaystyle \frac{2\sqrt{145}}{5}\,\mathrm{cm} \]

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări