Domeniul de valori al funcției E(f)
Definiție
Domeniul de valori al unei funcții, notat cu \(E(f)\), reprezintă mulțimea tuturor valorilor pe care funcția \(f(x)\) le poate lua pentru toate valorile posibile ale lui \(x\) din domeniul de definiție \(D(f)\).
Metode de determinare a \(E(f)\)
De obicei, domeniul de definitie este dat in conditie, de forma: \( \left[ a; b \right] \)
- Calculam \( f(a) \)
- Calculam \( f(b) \)
- Scriem ca \( E(f) \) apartine intervalului valorilor obtinute mai sus, in ordine crescatoare.
Valoarea maxima a functiei este valoarea mai mare dintre \( f(a) \) si \( f(b) \), iar valoarea minima a functiei este valoarea mai mica dintre cele doua valori.
Exemple
1. Determinarea \(E(f)\) pentru funcția \(f(x) = x^2\)
Analizăm expresia funcției:
- \(f(x) = x^2\) este definită pentru toate valorile reale ale lui \(x\).
- \(x^2 \geq 0\) pentru orice \(x \in \mathbb{R}\).
Concluzie: Funcția \(f(x) = x^2\) are domeniul de valori: \[ E(f) = [0, \infty). \]
2. Determinarea \(E(f)\) pentru funcția \(f(x) = \sqrt{x - 2}\)
Analizăm expresia funcției:
- Radicalul este definit doar dacă \(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\).
- \(f(x) = \sqrt{x - 2}\) ia valori doar în intervalul \([0, \infty)\), deoarece radicalul nu poate fi negativ.
Concluzie: Funcția \(f(x) = \sqrt{x - 2}\) are domeniul de valori: \[ E(f) = [0, \infty). \]
3. Determinarea \(E(f)\) pentru funcția \(f(x) = \frac{1}{x}\)
Analizăm expresia funcției:
- Funcția este definită pentru \(x \neq 0\).
- \(f(x) = \frac{1}{x}\) poate lua orice valoare reală, mai puțin \(0\).
Concluzie: Funcția \(f(x) = \frac{1}{x}\) are domeniul de valori: \[ E(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}. \]
4. Determinarea \(E(f)\) pentru funcția \(f(x) = \sin(x)\)
Analizăm comportamentul funcției sinus:
- Funcția sinus este periodică, iar valorile sale oscilează între \(-1\) și \(1\).
Concluzie: Funcția \(f(x) = \sin(x)\) are domeniul de valori: \[ E(f) = [-1, 1]. \]
5. Determinarea \(E(f)\) pentru funcția \(f(x) = e^x\)
Analizăm comportamentul funcției exponențiale:
- \(e^x > 0\) pentru orice \(x \in \mathbb{R}\).
Concluzie: Funcția \(f(x) = e^x\) are domeniul de valori: \[ E(f) = (0, \infty). \]