1
La o loterie sunt puse în joc 100 de bilete, printre care 10 bilete cu câștig a câte 200 de lei, 20 de bilete cu câștig a câte 100 de lei, restul biletelor fiind fără câștig. Determinați probabilitatea câștigului sumei totale de 200 de lei, dacă se cumpără 2 bilete.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{89}{495}\)
2
Se aruncă un zar de 5 ori. Care este probabilitatea ca la 5 aruncări exact de 2 ori să apară fața cu 2 puncte?
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{625}{3888} \)
3
Cu cifrele \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\) se formează în mod aleatoriu un cod din \(6\) cifre care nu se repetă. Determinați probabilitatea ca în acest cod să se conțină secvența \(794\).
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{180} \)
4
Într-o lădiță se află mosorele cu ață. \( 40 \% \) din ele sunt cu ață albă, \( 20 \% \) - cu ață roșie, \( 25 \% \) - cu ață albastră şi \( 15 \% \) cu ață verde. Să se afle probabilitatea că un mosorel luat la întîmplare, va fi cu ață roşie sau verde.
Răspuns: \( \displaystyle \frac{7}{20} \)
5
Din 10 persoane (6 bărbaţi şi 4 femei) se formează o echipă din 4 persoane. Să se afle probabilitatea ca echipa să conțină și femei.
Răspuns: \( \displaystyle \frac{13}{14} \)
6
Într-un centru de tehnologii informaționale activează 4 programatori, 5 ingineri și 3 testeri. În luna iulie 8 angajați ai centrului, luați aleator, vor beneficia de concediu. Determinați probabilitatea că în luna iulie în centru va rămâne să activeze cel puțin câte un specialist de fiecare profil.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{6}{11} \)
7
La un concurs de talente, dintre \( 6 \) actori, \( 5 \) cântăreți și un dansator, urmează să fie aleasă o echipă din \( 5 \) jurați. Care este probabilitatea ca în echipa formată să fie cel puțin un actor, un cântăreț și un dansator?
Răspuns: \(\displaystyle \frac{155}{396}\)
8
Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca produsul numerelor de pe fețe să fie 6?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{9} \)
9
O uzină are în posesie 3 depozite pentru păstrarea utilajului produs. Probabilitatea că un utilaj din primul depozit este cu defect este egală cu \(\displaystyle \frac{1}{10}\), probabilitatea că un utilaj din al doilea depozit este cu defect este de \(\displaystyle \frac{1}{15}\), și probabilitatea că un utilaj din al treilea depozit este cu defect este de \(\displaystyle \frac{3}{40}\). Se scoate din evidență câte un utilaj din fiecare depozit. Calculați probabilitatea că două dintre aceste utilaje vor fi cu defect.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{53}{3000} \)
10
Pentru a ajunge în etapa finală a unui concurs de muzică, un candidat are de susținut cel puțin 2 probe din trei propuse. Probabilitatea susținerii unei probe este de \( 0.6 \). Care este probabilitatea ca respectivul candidat să treacă în etapa finală a concursului?
Răspuns: \( 0,648 \)
11
Într-o urnă sunt 10 bile albe, 8 bile roșii și 6 bile galbene. Să se afle probabilitatea ca extrăgînd la întîmplare două bile din urnă, ambele să fie de culoare roşie.
Răspuns: \( \displaystyle \frac{7}{69} \)
12
Într-o urnă sunt 10 bile identice, 3 bile albe și 7 bile roșii. Se extrag 2 bile. Care este probabilitatea ca ambele să fie albe?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{15} \)
13
Cu cifrele \( 1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 9 \) se formează toate numerele naturale distincte de cîte 6 cifre distincte. Să se afle probabilitatea ca alegînd la întîmplare un număr din cele formate, acesta să aibă primele două cifre împare, iar celelalte cifre pare.
Răspuns: \( p=\displaystyle \frac{1}{126} \).
14
Din 6 bilete, 4 sunt pe rândul întâi. Care este probabilitatea ca alegând 3 bilete, exact 2 să fie de pe rândul întâi?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{3}{5} \)
15
9 cărți sunt repartizate în 3 sertare de trei culori diferite. Care este probabilitatea ca în sertarul roșu să fie 4 cărți, în sertarul galben să fie 3 cărți și în sertarul albastru să fie 2 cărți?
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{140}{2187} \)
16
Formînd numărul de telefon, o persoană a uitat ultimele 2 cifre, amintindu-şi doar că ele sunt diferite. Să se afle probabilitatea că s-a format numărul dorit.
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{90} \)
17
Elevii înscriși la un Club de materii aprofundate vor studia următoarele 6 discipline școlare: Matematică, Fizică, Chimie, Biologie, Informatică, Limba Engleză. Care este probabilitatea ca în orarul lecțiilor, disciplinele Matematică, Fizică și Informatică să nu fie toate trei consecutive?
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{4}{5} \)
18
În ascensorul unui bloc cu 9 etaje, la primul etaj au urcat 4 persoane. Fiecare dintre ele poate ieși din ascensor aleatoriu la orice etaj, începând cu al doilea. Determinați probabilitatea ca la etajul 5 să coboare 2 persoane.
Răspuns: \(\displaystyle \frac{147}{2048}\)
19
La o tombolă sunt 30 de bilete, dintre care 3 câștigătoare. O persoană cumpără 4 bilete. Determinați probabilitatea că cel puțin un bilet dintre cele cumpărate este câștigător.
Răspuns: \(\displaystyle P = 1 - \displaystyle \frac{C_{27}^4}{C_{30}^4}\)
20
Pe 16 fișe sunt scrise numerele naturale de la 1 la 16. Se extrag la întâmplare 2 fișe. Care este probabilitatea ca suma numerelor apărute pe aceste 2 fișe să fie egală cu 14?
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{20} \)
21
Într-o urnă se află 3 bile roşii şi 2 bile albe, iar în altă urnă se affă 2 bile roșii și 3 bile albe, de aceeaşi mărime. Din fiecare urnă se extrage cîte o bilă. Să se afle probabilitatea ca ambele bile să fie de culoare roşie.
Răspuns: \( \displaystyle \frac{6}{25} \)
22
Într-o urnă sunt 12 bile, 8 de culoare albă şi 4 de culoare roşie. Se extrag la întîmplare 6 bile. Să se afle probabilitatea ca printre bilele extrase două să fie de culoare rosie.
Răspuns: \( \displaystyle \frac{5}{11} \)
23
Într-o cutie se află 6 creioane de culoare roşie și 4 creioane de culoare verde. Se extrag la întămplare 3 creioane. Să se afle probabilitatea ca dintre cele trei creioane scoase 2 vor fi de culoare roşie şi unul de culoare verde.
Răspuns: \( P=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2} \).
24
Pe un raft se află 12 cărți, dintre care 4 sunt de matematică. Se iau la întîmplare 6 cărți de pe raft. Să se afle probabilitatea că 3 dintre ele vor fi cărți de matematică.
Răspuns: \( P=\displaystyle \frac{8}{33} \).
25
Se aruncă 2 zaruri. Determinați probabilitatea că suma punctelor obținute va fi egală cu 7.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{6}\)
26
Trei țintași efectuează câte o tragere în țintă. Probabilitatea de atingere a țintei a primului țintaș este \( 0.7 \), celui de-al doilea țintaș \( 0.5 \), iar celui de-al treilea \( 0.6 \). Determinați probabilitatea că ținta va fi atinsă exact de 2 ori.
Răspuns: \(0,44\)
27
Cu cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se formează coduri de 10 cifre care nu se repetă. Determinați probabilitatea că un cod format la întâmplare conține secvența 123.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{90}\)
28
În sesiunea de iarnă sunt planificate două examene, care pot fi organizate în două moduri: cu prezență fizică în sală sau în format online. Probabilitatea că primul examen va fi organizat cu prezență fizică în sală este egală cu \( \displaystyle \frac{4}{5} \), iar probabilitatea că al doilea examen va fi organizat cu prezență fizică în sală este egală cu \( \displaystyle \frac{3}{4} \). Determinați probabilitatea că cel puțin un examen va fi organizat cu prezență fizică în sală.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{19}{20}\)
29
Într-o urnă sunt 7 bile albe și 3 bile negre. Din urnă se extrag la întâmplare concomitent 4 bile. Determinați probabilitatea că printre bilele extrase sunt cel puțin 2 bile negre.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}\)
30
O monedă de 25 de bani se aruncă de 6 ori. Care este probabilitatea ca stema de pe monedă să apară exact de 4 ori?
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{15}{64} \)
31
Probabilitatea că un strung care lucrează într-o oră nu va lucra este 0,15 , iar al altui strung este de 0,16 . Care este probabilitatea ca ambele strunguri vor lucra fără înreruperi?
Răspuns: \( 0,714 \)
32
Într-o urnă sunt 8 bile albe și 6 roșii. Se extrag 2 bile. Care este probabilitatea ca ambele să fie roșii?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{15}{91} \)
33
Într-o urnă sunt \(10\) bile roșii și \(5\) bile albastre. Se extrag la întâmplare \(3\) bile din urnă. Aflați probabilitatea că printre bilele extrase să fie o bilă roșie și \(2\) bile albastre.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{20}{91}\)
34
Pe 8 fișe sunt scrise literele \( B, O, M, B, O, A, N, E\). Fișele se amestecă, apoi se extrag consecutiv 3 fișe. Care este probabilitatea ca să se va forma cuvântul BAN?
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{168} \)
35
Determinaţi probabilitatea ca un număr natural de 5 cifre, luat la întîmplare, să aibă toate cifrele distincte şi prima cifră impară.
Răspuns: \( \displaystyle \frac{5}{9} \)
36
Un grup din 12 elevi, printre care Mihai, Ion și Doina, au venit la un cinematograf în aer liber. Într-un rând, sunt 10 scaune – unicele libere. Care este probabilitatea ca elevii să ocupe aceste scaune, astfel încât Mihai, Ion și Doina să se așeze alături?
Răspuns: \(\displaystyle \frac{2}{55}\)
37
Se aruncă un zar până la apariția feței cu 2 puncte de 3 ori consecutiv. Determinați probabilitatea că zarul se va arunca de 5 ori.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{5}{1296} \)
38
Într-o cutie se află 8 creioane de culoare roşie și 4 creioane de culoare albastră. Se extrag la întîmplare 5 creioane. Să se afle probabilitatea că printre creioanele extrase vor fi 3 de culoare roșie şi 2 de culoare albastră.
Răspuns: \( P=\displaystyle \frac{14}{33} \).
39
Din 10 persoane (6 bărbați și 4 femei) se formează o echipă de 4. Care este probabilitatea ca toți să fie bărbați?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{14} \)
40
În timpul unei victorine televizate, participanților li se propune să aleagă aleatoriu întrebări din trei domenii: Artă, Istorie, Științe. Probabilitatea ca un participant să aleagă o întrebare din domeniul Arte este de \( 0,3 \), din Istorie – de \( 0,2 \), iar din Științe – \( 0,5 \). Care este probabilitatea ca în trei runde un participant să extragă întrebări doar din două domenii?
Răspuns: \( 0.22 \)
41
Într-o urnă sunt 7 bile albe, 5 roșii și 3 albastre. Care este probabilitatea ca extrăgând 3 bile, acestea să fie de culori diferite?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{3}{13} \)
42
Într-o urnă sunt 3 bile albe și 2 bile negre. Se extrag 2 bile. Care este probabilitatea ca ele să fie una albă și una neagră?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{3}{5} \)
43
Pentru ziua de 31 decembrie 2017 un magazin a anunțat comercializarea a 8 televizoare la preț promoțional de 3000 de lei și 10 telefoane mobile la preț promoțional de 1500 de lei. Vânzătorul beneficiază de o primă, dacă volumul vânzărilor produselor promoționale depășește suma de 5000 de lei. Determinați probabilitatea că vânzătorul a obținut prima, dacă se cunoaște că el a vândut exact 3 unități de produse promoționale.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{29}{34}\)
44
Într-o urnă sunt 4 bile roșii, 4 bile verzi și o bilă albă. Din urnă se extrag la întâmplare concomitent 3 bile. Determinați probabilitatea ca bilele extrase să fie de două culori diferite.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{5}{7}\)
45
Colectivul de muncă al unei întreprinderi este format din \( 20 \) cupluri familiale. Pentru consiliul de administrație al întreprinderii sunt luate la întâmplare \( 2 \) persoane. Determinați probabilitatea că persoanele luate nu formează un cuplu familial.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{38}{39}\)
46
Într-o urnă sunt 7 bile albe, 5 roșii și 3 albastre. Se extrag 3 bile. Care este probabilitatea ca cel puțin două să fie roșii?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{22}{91} \)
47
Într-o urnă se află 15 bile identice ca mărime, dintre care 10 bile sunt roii şi 5 bile sunt albe. Se extrag la întîmplare 3 bile din urnă. Să se afle probabilitatea ca printre bilele extrase 2 să fie de culoare roşie şi una de culoare albă.
Răspuns: \( \displaystyle \frac{45}{91} \)
48
Se aruncă simultan 4 zaruri. Determinați probabilitatea că produsul numerelor de puncte apărute este egal cu 15.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{108} \)
49
Pe un raft sunt 15 cărți: 10 în română, 5 în engleză. Care este probabilitatea ca alegând 5 cărți, 2 să fie în română și 3 în engleză?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{150}{1001} \)
50
Cu ajutorul cifrelor \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \) se formează un cod de 5 cifre. Aflați probabilitatea că acest cod format conține nu mai puțin de 3 ori cifra \( 2 \).
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{23}{648} \)
51
La un institut de cercetări ştiinţifice lucrează 120 de oameni. 70 din ei cunosc limba engleză, 60 cunosc limba franceză, iar 50 cunosc ambele limbi. Să se afle probabilitatea ca un colaborator ales la întîmplare să nu cunoască nici o limbă.
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{3} \)
52
Într-o urnă sunt 20 de fișe numerotate de la 1 la 20. Se extrag 4 fișe. Care este probabilitatea ca fișa cu numărul 5 să fie extrasă?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{5} \)
53
Se aruncă concomitent patru zaruri. Determinați probabilitatea ca fața cu 5 puncte să apară pe cel puțin un zar.
Răspuns: \(\displaystyle \frac{671}{1296}\)
54
Se consideră aleator un număr de patru cifre. Determinați probabilitatea că cifrele nu se repetă și că doar prima cifră și ultima cifră ale acestui număr sunt pare.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{8}{225} \)
55
Într-o urnă se află 10 bile identice: 3 bile albe şi 7 bile roşii. Se extrag la întîmplare două bile. Care este probabilitatea ca cele două bile extrase să fie de culoare albă ?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{15} \)
56
Probabilitatea nerambursării la timp a creditului, acordat de către o bancă, este egală cu \( 0.1 \). Banca a acordat trei credite. Să se calculeze probabilitatea că unul dintre aceste credite nu va fi rambursat la timp.
Răspuns: \(0.243\)
57
Într-o clasă sunt 12 fete și 15 băieți. Se aleg la întâmplare 2 elevi. Calculați probabilitatea ca se aleg 2 fete.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{22}{117}\)
58
Din cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5 se formează toate numerele naturale de șase cifre distincte. Care este probabilitatea ca un număr ales aleator să înceapă cu cifra 3?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{5} \)
59
Din cifrele 1–9 se formează numere de 7 cifre distincte. Care este probabilitatea ca primele 3 cifre să fie impare, iar restul pare?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{126} \)
60
Într-o companie lucrează 120 de oameni. 70 cunosc engleza, 60 franceza, iar 50 ambele limbi. Care este probabilitatea ca un angajat ales la întâmplare să nu cunoască nicio limbă?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{3} \)
61
Se aruncă concomitent 3 zaruri. Determinați probabilitatea ca fața cu 5 puncte să apară exact pe 2 zaruri.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{5}{72} \)
62
Care este probabilitatea ca alegând un număr de două cifre, suma cifrelor să fie 8?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{4}{45} \)
63
Pentru a obține nota trecătoare la examen, un student trebuie să răspundă la 3 întrebări. Programa conține 30 de întrebări, dintre care studentul a pregătit doar 25. Să se afle probabilitatea că studentul va susţine examenul.
Răspuns: \( \displaystyle \frac{115}{203} \)
64
Într-o clasă sunt 15 fete și 10 băieţi. Pentru a efectua o lucrare se formează o echipă de 5 elevi. Să se afle probabilitatea că echipa va fi formată din 3 fete și 2 băieți.
Răspuns: \( p=\displaystyle \frac{195}{506} \).
65
Într-o vază se află 11 flori, dintre care 4 sunt de culoare roşie. Se iau la întîmplare 3 flori din vază. Să se afle probabilitatea că printre florile scoase cel puțin una va fi de culoare roşie.
Răspuns: \( P=\displaystyle \frac{26}{33} \).
66
10 bile numerotate cu numerele \( 1,2,3 \), . 10 se aşează într-un rînd una după alta. Să se afle probabilitatea ca bila cu numărul 2 să se afle după bila cu numărul 1.
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{2} \)
67
În două loturi de produse, \( 4\% \) și respectiv \( 5\% \) sunt cu defect ascuns. Se ia la întâmplare câte un produs din fiecare lot. Determinați probabilitatea că doar unul din cele două produse este cu defect.
Răspuns: \(0.086\)
68
Pentru anul următor de studii la un liceu se formează 3 clase I: I-a A, I-a B, I-a C. Părinții a 8 copii dintr-o grupă pregătitoare a unei grădinițe au depus actele pentru admitere în acest liceu. Care este probabilitatea ca 4 copii să fie înscriși în clasa I-a A, 2 copii – în clasa a I-a B și 2 – în clasa a I-a C?
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{140}{2187} \)
69
Dintre 10 elevi (6 băieți și 4 fete), profesorul dorește să formeze o echipă de 4 sportivi. Care este probabilitatea ca echipa să fie formată din 2 băieți și 2 fete?
Răspuns: \( \displaystyle \frac{3}{7} \)
70
Într-un lot de 10 piese, 7 sunt de calitate superioară. Să se afle probabilitatea ca din 6 piese luate la întîmplare, 4 vor fi de calitate superioară.
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{2} \)
71
Din 10 persoane (6 bărbați și 4 femei) se formează o echipă din 4 persoane. Să se afle probabilitatea ca echipa să fie formată din 2 bărbați şi 2 femei.
Răspuns: \( \displaystyle \frac{3}{7} \)
72
În timpul unui show televizat, unui participant i s-a propus să deschidă \( 2 \) cutii aleatoriu dintre \( 12 \) cutii identice. Care este probabilitatea ca participantul nominalizat va rămâne fără premiu, dacă se știe că cinci cutii dintre cele \( 12 \) conțin premiu?
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{7}{22}\)
73
Într-o cutie sunt 10 detalii identice dintre care careva dintre ele sunt rebut. Se știe că probabilitatea că s-au luat aleator 2 detalii și acestea vor fi rebut este egală cu \(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{15}\). Determinați câte procente dintre detaliile din cutie sunt rebut.
Răspuns: \( 30\% \)
74
Cu cifrele \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\) se formează aleator un număr natural de șapte cifre distincte două câte două. Determinați probabilitatea că primele patru cifre ale numărului să fie numere prime.
Răspuns: \(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{35}\)
75
Folosind cifrele \( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 \) se formează toate numerele naturale distincte de trei cifre cu cifre distincte. Să se afle probabilitatea ca alegînd la întîmplare un număr din cele formate, el să se dividă cu 4 .
Răspuns: \( p=\displaystyle \frac{1}{5} \).
76
Un automobil cu 4 locuri pentru pasageri transportă spre serviciu 4 persoane. Pe parcursul unei săptămâni un lucrător merge la serviciu cu acest automobil de 5 ori. Care este probabilitatea ca cel puțin de 2 ori el să ocupe locul de lângă șofer, dacă persoanele urcă în automobil în mod aleatoriu și nicio persoană nu a lipsit?
Răspuns: \(\displaystyle \frac{47}{128}\)
77
Alexandra și Vlad au decis să meargă la un concert împreună cu alți \( 8 \) colegi. După ce au cumpărat bilete într-un rând cu \( 10 \) locuri libere, locurile au fost alese prin tragere la sorți. Determinați probabilitatea ca Alexandra și Vlad să nu stea alături la concert.
Răspuns: \(\displaystyle \frac{4}{5} \)
1
\(\displaystyle \displaystyle \frac{89}{495}\)
2
\(\displaystyle \displaystyle \frac{625}{3888} \)
3
\(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{180} \)
4
\( \displaystyle \frac{7}{20} \)
5
\( \displaystyle \frac{13}{14} \)
6
\(\displaystyle \displaystyle \frac{6}{11} \)
7
\(\displaystyle \frac{155}{396}\)
8
\( \displaystyle \frac{1}{9} \)
9
\(\displaystyle \displaystyle \frac{53}{3000} \)
11
\( \displaystyle \frac{7}{69} \)
12
\( \displaystyle \frac{1}{15} \)
13
\( p=\displaystyle \frac{1}{126} \).
14
\( \displaystyle \frac{3}{5} \)
15
\(\displaystyle \displaystyle \frac{140}{2187} \)
16
\( \displaystyle \frac{1}{90} \)
17
\(\displaystyle \displaystyle \frac{4}{5} \)
18
\(\displaystyle \frac{147}{2048}\)
19
\(\displaystyle P = 1 - \displaystyle \frac{C_{27}^4}{C_{30}^4}\)
20
\(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{20} \)
21
\( \displaystyle \frac{6}{25} \)
22
\( \displaystyle \frac{5}{11} \)
23
\( P=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2} \).
24
\( P=\displaystyle \frac{8}{33} \).
25
\(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{6}\)
27
\(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{90}\)
28
\(\displaystyle \displaystyle \frac{19}{20}\)
29
\(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}\)
30
\(\displaystyle \displaystyle \frac{15}{64} \)
32
\( \displaystyle \frac{15}{91} \)
33
\(\displaystyle \displaystyle \frac{20}{91}\)
34
\(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{168} \)
35
\( \displaystyle \frac{5}{9} \)
36
\(\displaystyle \frac{2}{55}\)
37
\(\displaystyle \displaystyle \frac{5}{1296} \)
38
\( P=\displaystyle \frac{14}{33} \).
39
\( \displaystyle \frac{1}{14} \)
41
\( \displaystyle \frac{3}{13} \)
42
\( \displaystyle \frac{3}{5} \)
43
\(\displaystyle \displaystyle \frac{29}{34}\)
44
\(\displaystyle \displaystyle \frac{5}{7}\)
45
\(\displaystyle \displaystyle \frac{38}{39}\)
46
\( \displaystyle \frac{22}{91} \)
47
\( \displaystyle \frac{45}{91} \)
48
\(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{108} \)
49
\( \displaystyle \frac{150}{1001} \)
50
\(\displaystyle \displaystyle \frac{23}{648} \)
51
\( \displaystyle \frac{1}{3} \)
52
\( \displaystyle \frac{1}{5} \)
53
\(\displaystyle \frac{671}{1296}\)
54
\(\displaystyle \displaystyle \frac{8}{225} \)
55
\( \displaystyle \frac{1}{15} \)
57
\(\displaystyle \displaystyle \frac{22}{117}\)
58
\( \displaystyle \frac{1}{5} \)
59
\( \displaystyle \frac{1}{126} \)
60
\( \displaystyle \frac{1}{3} \)
61
\(\displaystyle \displaystyle \frac{5}{72} \)
62
\( \displaystyle \frac{4}{45} \)
63
\( \displaystyle \frac{115}{203} \)
64
\( p=\displaystyle \frac{195}{506} \).
65
\( P=\displaystyle \frac{26}{33} \).
66
\( \displaystyle \frac{1}{2} \)
68
\(\displaystyle \displaystyle \frac{140}{2187} \)
69
\( \displaystyle \frac{3}{7} \)
70
\( \displaystyle \frac{1}{2} \)
71
\( \displaystyle \frac{3}{7} \)
72
\(\displaystyle \displaystyle \frac{7}{22}\)
74
\(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{35}\)
75
\( p=\displaystyle \frac{1}{5} \).
76
\(\displaystyle \frac{47}{128}\)
77
\(\displaystyle \frac{4}{5} \)
1
La loterie sunt 100 de bilete, dintre care 10 cu câștig de 200 lei, 20 cu câștig de 100 lei, iar restul (70) fără câștig. Se cumpără 2 bilete.
Numărul total de moduri de a alege 2 bilete este $$ C_{100}^2 = \displaystyle \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950. $$
Pentru a obține o sumă totală de 200 lei se pot avea două situații:
– Un bilet de 200 lei și un bilet fără câștig.
Moduri: 10 bilete de 200 lei * 70 bilete fără câștig = 700.
– Două bilete de 100 lei (două câte 100 lei = 200 lei).
Moduri: $$ C_{20}^2 = \displaystyle \frac{20 \cdot 19}{2} = 190. $$
Numărul total favorabil este: 700 + 190 = 890.
Probabilitatea este: $$ P = \displaystyle \frac{890}{4950} = \displaystyle \frac{89}{495}. $$
2
Se aruncă un zar de 6 fețe de 5 ori. Se dorește ca fața cu 2 puncte să apară exact de 2 ori.
Probabilitatea unui succes (2 puncte): $$p = \displaystyle \frac{1}{6}$$, iar a nu apărea: $$1-p = \displaystyle \frac{5}{6}$$
Utilizăm formula binomială:
$$P = C_5^2 \cdot \left(\displaystyle \frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)^3$$
Notăm că: $$C_5^2 = \displaystyle \frac{5!}{2!\cdot3!} = 10$$
Astfel, $$P = 10 \cdot \displaystyle \frac{1}{36} \cdot \displaystyle \frac{125}{216} = \displaystyle \frac{1250}{7776}$$
Se simplifică: $$P = \displaystyle \frac{625}{3888}$$
3
Se formează un cod din 6 cifre (fără repetare) folosind cifrele 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Totalul codurilor posibile este
$$ P(10,6)=10\times9\times8\times7\times6\times5=151200 $$
Se cere ca în cod să apară secvența "794" (ca bloc consecutiv).
Blocul "794" poate fi plasat în 4 poziţii (într-un cod de 6 cifre, un bloc de 3 poate ocupa poziţiile 1–3, 2–4, 3–5 sau 4–6).
Celelalte 3 cifre se aleg din cele rămase (10-3=7 cifre), în ordine (fără repetare), deci se formează
$$ P(7,3)=7\times6\times5=210 $$ moduri.
Numărul favorabil este
$$ 4 \times 210 = 840 $$
Probabilitatea este
$$ P = \displaystyle \frac{840}{151200} = \displaystyle \frac{1}{180} $$
4
P(roșie sau verde) = P(roșie) + P(verde) = 20% + 15% = 35%
\(P = \displaystyle \frac{35}{100} = \frac{7}{20} \)
Explicație: Probabilitatea de a alege un mosorel cu ață roșie sau verde este suma probabilităților individuale.
5
Este mai ușor să calculăm probabilitatea complementară: ca echipa să nu conțină femei, adică să fie formată doar din bărbați.
P(doar bărbați) = \( \displaystyle \frac{C_6^4}{C_{10}^4} = \frac{15}{210} = \frac{1}{14} \)
P(cel puțin o femeie) = 1 - P(doar bărbați) = \( \displaystyle 1 - \frac{1}{14} = \frac{13}{14} \)
Explicație: Probabilitatea ca echipa să conțină și femei este 1 minus probabilitatea ca echipa să fie formată doar din bărbați.
6
Într-un centru sunt 4 programatori, 5 ingineri și 3 testeri (total 12 angajați).
Se aleg aleator 8 angajați pentru concediu, deci rămân 4 angajați care activează.
Dorim ca în rândul celor 4 să fie cel puțin un programator, un inginer și un tester.
Calculăm numărul total de grupuri de 4 angajați: $$ C_{12}^4 $$
Posibile distribuții care satisfac condiția (număr de specialiști: (1,1,2), (1,2,1) sau (2,1,1)):
(a) 1 programator, 1 inginer, 2 testeri:
$$ C_{4}^1 \cdot C_{5}^1 \cdot C_{3}^2 = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60 $$
(b) 1 programator, 2 ingineri, 1 tester:
$$ C_{4}^1 \cdot C_{5}^2 \cdot C_{3}^1 = 4 \cdot 10 \cdot 3 = 120 $$
(c) 2 programatori, 1 inginer, 1 tester:
$$ C_{4}^2 \cdot C_{5}^1 \cdot C_{3}^1 = 6 \cdot 5 \cdot 3 = 90 $$
Numărul total favorabil este:
$$ 60 + 120 + 90 = 270 $$
Numărul total de grupuri de 4 este:
$$ C_{12}^4 = 495 $$
Probabilitatea este:
$$ P = \displaystyle \frac{270}{495} = \displaystyle \frac{6}{11} $$
7
Avem: 6 actori, 5 cântăreți, 1 dansator.
Formăm o echipă de 5 jurați. Vrem cel puțin un actor, un cântăreț și un dansator în echipă.
Total combinații posibile:
$$ n = C_{12}^5 = 792 $$
Cazuri nefavorabile:
– Cazuri fără dansator: alegem 5 persoane din cei 11 (fără dansator):
$$ C_{11}^5 = 462 $$
– Cazuri fără actori: alegem 5 din cei 6 rămași (5 cântăreți + 1 dansator):
$$ C_6^5 = 6 $$
– Cazuri fără cântăreți: alegem 5 din cei 7 (6 actori + 1 dansator):
$$ C_7^5 = 21 $$
– Cazuri fără dansator și fără actori: doar cântăreți (5 din 5):
$$ C_5^5 = 1 $$
– Cazuri fără dansator și fără cântăreți: doar actori (5 din 6):
$$ C_6^5 = 6 $$
– Cazuri fără dansator și fără cântăreți și fără actori: imposibil → 0
Aplicăm principiul incluziunii-excluziunii:
$$ m = 792 - [462 + 6 + 21 - 1 - 6] = 792 - (489 - 7) = 792 - 482 = 310 $$
Probabilitatea este:
$$ P = \displaystyle \frac{310}{792} = \displaystyle \frac{155}{396} $$
8
n = 36
m = 4 (perechile: (1,6), (6,1), (2,3), (3,2))
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \)
Explicație: Se determină toate perechile (x, y) pentru care x \(\cdot\) y = 6, apoi se împarte la totalul de 36 de perechi posibile.
9
Se ia câte un utilaj din fiecare depozit. Probabilitățile de defect sunt:
$$ p_1=\displaystyle \frac{1}{10},\quad p_2=\displaystyle \frac{1}{15},\quad p_3=\displaystyle \frac{3}{40} $$
Se dorește ca exact 2 din cele 3 utilaje să fie cu defect.
Calculăm pentru fiecare caz:
(a) Utilajele din depozitul 1 şi 2 cu defect, iar cel din depozitul 3 fără defect:
$$ P_{12} = p_1 \cdot p_2 \cdot (1-p_3) = \displaystyle \frac{1}{10}\cdot\displaystyle \frac{1}{15}\cdot\displaystyle \frac{37}{40} = \displaystyle \frac{37}{6000} $$
(b) Utilajele din depozitul 1 şi 3 cu defect, iar cel din depozitul 2 fără defect:
$$ P_{13} = p_1 \cdot p_3 \cdot (1-p_2) = \displaystyle \frac{1}{10}\cdot\displaystyle \frac{3}{40}\cdot\displaystyle \frac{14}{15} = \displaystyle \frac{42}{6000} $$
(c) Utilajele din depozitul 2 şi 3 cu defect, iar cel din depozitul 1 fără defect:
$$ P_{23} = (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3 = \displaystyle \frac{9}{10}\cdot\displaystyle \frac{1}{15}\cdot\displaystyle \frac{3}{40} = \displaystyle \frac{27}{6000} $$
Probabilitatea totală este suma celor trei cazuri:
$$ P = \displaystyle \frac{37+42+27}{6000} = \displaystyle \frac{106}{6000} = \displaystyle \frac{53}{3000} $$
10
Pentru a ajunge în etapa finală a unui concurs de muzică, un candidat trebuie să susțină cel puțin 2 probe din 3, fiecare având probabilitatea de 0,6.
Fie X numărul de probe susținute: X urmează o lege binomială cu n = 3 și p = 0,6.
Cerința: $$P(X\ge2) = P(X=2)+P(X=3)$$
Calculăm:
$$P(X=2)= C_3^2 \cdot 0,6^2 \cdot 0,4 = 3 \cdot 0,36 \cdot 0,4 = 0,432$$
$$P(X=3)= C_3^3 \cdot 0,6^3 \cdot 0,4^0 = 1 \cdot 0,216 = 0,216$$
Deci, $$P(X\ge2)= 0,432 + 0,216 = 0,648$$
11
Numărul total de bile este 10 + 8 + 6 = 24.
n = \( C_{24}^2 = \frac{24 \cdot 23}{2} = 276 \)
m = \( C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28 \)
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{28}{276} = \frac{7}{69} \)
Explicație: Calculăm numărul total de moduri de a alege 2 bile și numărul de moduri de a alege 2 bile roșii.
12
n = \( C_{10}^2 = 45 \)
m = \( C_3^2 = 3 \)
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15} \)
Explicație: Alegem 2 bile din cele 10 colorate (identicele nu contează). Cazurile favorabile sunt cele cu 2 albe din cele 3 existente.
13
Avem \( n=A_{9}^{6}, m=A_{5}^{2} \cdot A_{4}^{4} \). Atunci probabilitatea va fi \( p=\displaystyle \frac{m}{n}=\displaystyle \frac{A_{5}^{2} \cdot A_{4}^{4}}{A_{9}^{6}}=\displaystyle \frac{1}{126} \).
Explicație: Numărul total de numere de 6 cifre cu cifre distincte formate din cele 9 cifre date este \(A_9^6\). Pentru a calcula numărul de numere care au primele două cifre impare și următoarele 4 cifre pare, calculăm numărul de moduri de a alege și aranja 2 cifre impare din cele 5 cifre impare (adică, \(A_5^2\)) și apoi calculăm numărul de moduri de a alege și aranja 4 cifre pare din cele 4 cifre pare (adică, \(A_4^4\)). Înmulțim aceste numere pentru a obține numărul total de numere cu această proprietate. Apoi împărțim acest număr la numărul total de numere de 6 cifre pentru a obține probabilitatea.
14
n = \( C_6^3 = 20 \)
m = \( C_4^2 \cdot C_2^1 = 6 \cdot 2 = 12 \)
Probabilitatea este: \(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \)
Explicație: Se aleg 2 bilete de pe rândul întâi și 1 bilet din celelalte 2 rămase. Cazurile favorabile sunt produsul acestor două alegeri.
15
9 cărți sunt repartizate aleator în 3 sertare de culori diferite: roșu, galben și albastru.
Se cere ca în sertarul roșu să fie 4 cărți, în galben 3 și în albastru 2.
Totalul modurilor de distribuire (fiecare carte are 3 opțiuni): $$3^9$$
Numărul favorabil este dat de alegerea a 4 cărți din 9 pentru sertarul roșu și apoi a 3 din cele 5 rămase pentru sertarul galben; ultimele 2 merg în albastru:
$$ m = C_9^4 \cdot C_5^3 $$
Calculăm:
$$C_9^4 = \displaystyle \frac{9!}{4!\cdot5!} = 126, \quad C_5^3 = \displaystyle \frac{5!}{3!\cdot2!} = 10$$
Deci, numărul favorabil: $$126\cdot10 = 1260$$
Probabilitatea este:
$$ P = \displaystyle \frac{1260}{3^9} = \displaystyle \frac{1260}{19683}$$
Se simplifică împărțind cu 9:
$$ P = \displaystyle \frac{140}{2187}$$
16
Numărul de moduri de a alege 2 cifre diferite din 10 este 10 \(\cdot\) 9 = 90.
n = 90
m = 1
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{1}{90} \)
Explicație: Există 90 de moduri de a alege 2 cifre diferite, și doar una este cea corectă.
17
Se consideră 6 discipline: Matematică, Fizică, Chimie, Biologie, Informatică, Limba Engleză.
Numărul total de aranjamente ale celor 6 discipline este
$$ 6! = 720 $$
Numărul de aranjamente în care disciplinele Matematică, Fizică și Informatică sunt consecutive:
Se tratează cele 3 discipline ca pe un bloc, iar în interiorul blocului ele pot fi permutate în
$$ 3! = 6 $$ moduri.
Alături de bloc, mai avem 3 entități (blocul și celelalte 3 discipline), deci aranjamentele sunt
$$ 4! = 24 $$
Deci, numărul de situații "nedorite" este
$$ 24 \times 6 = 144 $$
Numărul de situații în care cele 3 discipline NU sunt consecutive este
$$ 720 - 144 = 576 $$
Probabilitatea cerută este
$$ P = \displaystyle \frac{576}{720} = \displaystyle \frac{4}{5} $$
18
Într-un bloc cu 9 etaje, la primul etaj au urcat 4 persoane, care pot ieşi la orice etaj de la 2 la 9 (8 opţiuni pentru fiecare).
Totalul modalităţilor în care pot alege etajele este
$$ 8^4 $$
Se cere ca exact 2 persoane să coboare la etajul 5.
Se alege 2 persoane din 4 în
$$ C_4^2 = 6 $$ moduri; acestea ies la etajul 5; celelalte 2 au oricare dintre cele 7 opţiuni (oricare etaj diferit de 5), deci
$$ 7^2 $$ moduri.
Numărul favorabil este
$$ 6 \times 7^2 = 6 \times 49 = 294 $$
Probabilitatea este
$$ P = \displaystyle \frac{294}{8^4} = \displaystyle \frac{294}{4096} = \displaystyle \frac{147}{2048} $$
19
La o tombolă sunt 30 de bilete, dintre care 3 câștigătoare. O persoană cumpără 4 bilete.
Numărul total de moduri de a alege 4 bilete este: $$ C_{30}^4 $$
Numărul de moduri de a alege 4 bilete, fără niciun câștigător (adică din cele 27 non-câștigătoare) este: $$ C_{27}^4 $$
Probabilitatea ca niciun bilet să nu fie câștigător este: $$ \displaystyle \frac{C_{27}^4}{C_{30}^4} $$
Deci, probabilitatea ca cel puțin un bilet să fie câștigător este:
$$ P = 1 - \displaystyle \frac{C_{27}^4}{C_{30}^4} $$
20
Pe 16 fișe, scrise numerele de la 1 la 16, se extrag 2 fișe. Se cere ca suma numerelor să fie 14.
Totalul extragerilor (fără ordine) este: $$C_{16}^2 = \displaystyle \frac{16\cdot15}{2} = 120$$
Cautăm perechile (a, b) cu a+b=14.
Acestea sunt: (1,13), (2,12), (3,11), (4,10), (5,9), (6,8). Numărul total de perechi favorabile este: 6.
Deci, probabilitatea este: $$P = \displaystyle \frac{6}{120} = \displaystyle \frac{1}{20}$$
21
P(roșie din prima urnă) = \( \displaystyle \frac{3}{5} \)
P(roșie din a doua urnă) = \( \displaystyle \frac{2}{5} \)
P(ambele roșii) = \( \displaystyle \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{25} \)
Explicație: Probabilitatea ca ambele bile să fie roșii este produsul probabilităților individuale.
22
n = \( C_{12}^6 = 924 \)
m = \( C_4^2 \cdot C_8^4 = 6 \cdot 70 = 420 \)
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{420}{924} = \frac{5}{11} \)
Explicație: Calculăm numărul total de moduri de a alege 6 bile și numărul de moduri de a alege 2 bile roșii și 4 albe.
23
Numărul cazurilor posibile este \( n=C_{10}^{3}=120 \). Numărul cazurilor favorabile este \( m=C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{1}=60 \). Atunci probabilitatea este \( P=\displaystyle \displaystyle \frac{m}{n}=\displaystyle \displaystyle \frac{60}{120}=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2} \).
Explicație: Numărul total de moduri de a alege 3 creioane din 10 este \(C_{10}^3\). Pentru a calcula numărul de moduri în care 2 creioane sunt roșii și 1 este verde, trebuie să alegem 2 creioane din cele 6 roșii (adică, \(C_6^2\)) și apoi 1 creion din cele 4 verzi (adică, \(C_4^1\)). Înmulțim aceste numere pentru a obține numărul total de moduri în care 2 creioane sunt roșii și 1 este verde. Apoi împărțim acest număr la numărul total de moduri de a alege 3 creioane pentru a obține probabilitatea.
24
Numărul cazurilor posibile este \( n=C_{12}^{6}=\displaystyle \frac{12!}{6!\cdot 6!}=\displaystyle \frac{6!\cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{6!\cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}=924 \).
Numărul cazurilor favorabile este \( m=C_{4}^{3} \cdot C_{8}^{3}=224 \). Atunci probabilitatea va fi \( P=\displaystyle \frac{m}{n}=\displaystyle \frac{224}{924}=\displaystyle \frac{8}{33} \).
Explicație: Numărul total de moduri de a alege 6 cărți din 12 este \(C_{12}^6\). Pentru a calcula numărul de moduri în care 3 cărți sunt de matematică, trebuie să alegem 3 cărți din cele 4 de matematică (adică, \(C_4^3\)) și apoi 3 cărți din cele 8 care nu sunt de matematică (adică, \(C_8^3\)). Înmulțim aceste numere pentru a obține numărul total de moduri în care 3 cărți sunt de matematică. Apoi împărțim acest număr la numărul total de moduri de a alege 6 cărți pentru a obține probabilitatea.
25
Se aruncă 2 zaruri. Numărul total de rezultate este: $$ 6^2 = 36 $$
Favorable, suma egală cu 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 cazuri.
Deci, probabilitatea este:
$$ P = \displaystyle \frac{6}{36} = \displaystyle \frac{1}{6} $$
26
Primul: 0.7, al doilea: 0.5, al treilea: 0.6.
Probabilitatea ca ținta să fie atinsă exact de 2 ori se obține din cele 3 configurații:
(a) Primul și al doilea ating, al treilea ratat: $$ 0.7 \cdot 0.5 \cdot (1-0.6) = 0.7 \cdot 0.5 \cdot 0.4 = 0.14 $$
(b) Primul și al treilea ating, al doilea ratat: $$ 0.7 \cdot (1-0.5) \cdot 0.6 = 0.7 \cdot 0.5 \cdot 0.6 = 0.21 $$
(c) Al doilea și al treilea ating, primul ratat: $$ (1-0.7) \cdot 0.5 \cdot 0.6 = 0.3 \cdot 0.5 \cdot 0.6 = 0.09 $$
Total: $$ P = 0.14 + 0.21 + 0.09 = 0.44 $$
Deci, probabilitatea este 0.44.
27
Se formează coduri de 10 cifre, fără repetare, cu cifrele 0,1,2,...,9. Totalul codurilor este:
$$ 10! $$
Pentru ca un cod să conțină secvența "123", tratăm "123" ca un bloc. Atunci avem 8 elemente (blocul + cele 7 cifre rămase), deci numărul favorabil este:
$$ 8! $$
Astfel, probabilitatea este:
$$ P = \displaystyle \frac{8!}{10!} = \displaystyle \frac{1}{10\cdot9} = \displaystyle \frac{1}{90} $$
28
Două examene pot fi organizate fie în sală (prezență fizică), fie online.
Probabilitatea ca primul examen să fie în sală: $$ \displaystyle \frac{4}{5} $$, deci online: $$ 1 - \displaystyle \frac{4}{5} = \displaystyle \frac{1}{5} $$.
Probabilitatea ca al doilea examen să fie în sală: $$ \displaystyle \frac{3}{4} $$, deci online: $$ 1 - \displaystyle \frac{3}{4} = \displaystyle \frac{1}{4} $$.
Probabilitatea ca ambele să fie online este:
$$ \displaystyle \frac{1}{5} \cdot \displaystyle \frac{1}{4} = \displaystyle \frac{1}{20} $$.
Deci, probabilitatea ca cel puțin un examen să fie în sală este:
$$ P = 1 - \displaystyle \frac{1}{20} = \displaystyle \frac{19}{20}. $$
29
Într-o urnă sunt 7 bile albe și 3 bile negre (total 10 bile). Se extrag 4 bile. Numărul total de extrageri este $$ C_{10}^4 = \displaystyle \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{24} = 210. $$
Calculăm cazurile favorabile în care apar cel puțin 2 bile negre:
- Exact 2 bile negre: se aleg 2 din 3: $$ C_3^2 = 3, $$ și 2 din 7 bile albe: $$ C_7^2 = 21; $$ număr de moduri = 3*21 = 63.
- Exact 3 bile negre: se aleg 3 din 3: $$ C_3^3 = 1, $$ și 1 din 7 albe: $$ C_7^1 = 7; $$ număr de moduri = 1*7 = 7.
Numărul favorabil total este: $$ 63 + 7 = 70. $$
Probabilitatea este: $$ P = \displaystyle \frac{70}{210} = \displaystyle \frac{1}{3}. $$
30
O monedă de 25 de bani se aruncă de 6 ori. Se dorește ca stema să apară exact de 4 ori.
Fie probabilitatea de succes (stema) pe o aruncare: $$p=\displaystyle \frac{1}{2}$$
Utilizăm formula binomială:
$$P = C_6^4\cdot p^4 \cdot (1-p)^2 = C_6^4\cdot \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^4\cdot \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^2$$
Notăm că: $$C_6^4 = \displaystyle \frac{6!}{4!\cdot 2!} = 15$$
Deci, $$P = 15\cdot \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^6 = \displaystyle \frac{15}{64}$$
31
P(primul strung lucrează) = 1 - 0,15 = 0,85
P(al doilea strung lucrează) = 1 - 0,16 = 0,84
P(ambele lucrează) = 0,85 \(\cdot\) 0,84 = 0,714
Explicație: Probabilitatea ca ambele strunguri să lucreze este produsul probabilităților individuale.
32
n = \( C_{14}^2 \)
m = \( C_6^2 = 15 \)
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{15}{91} \)
Explicație: Alegem 2 bile din cele 14. Cazurile favorabile sunt cele în care ambele sunt din cele 6 roșii.
33
Într-o urnă sunt 10 bile roșii și 5 bile albastre (total 15 bile). Se extrag 3 bile. Numărul total de extrageri este $$ C_{15}^3 = \displaystyle \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{6} = 455. $$
Se dorește ca extragerea să conțină 1 bilă roșie și 2 bile albastre. Numărul favorabil este:
$$ C_{10}^1 \cdot C_{5}^2 = 10 \cdot \displaystyle \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \cdot 10 = 100. $$
Probabilitatea este: $$ P = \displaystyle \frac{100}{455} = \displaystyle \frac{20}{91}. $$
34
Pe 8 fișe sunt scrise literele: B, O, M, B, O, A, N, E.
Se extrag consecutiv 3 fișe, iar se dorește formarea cuvântului BAN.
Totalul de aranjamente (cu ordinea de extragere) este: $$P(8,3)=8\cdot7\cdot6=336$$
Pentru a forma cuvântul BAN, prima fișă trebuie să fie B, a doua A, a treia N.
Observăm că litera B apare de 2 ori, iar A și N sunt unice.
Numărul de aranjamente favorabile este: $$2\cdot 1\cdot 1 = 2$$
Deci, probabilitatea este: $$P = \displaystyle \frac{2}{336} = \displaystyle \frac{1}{168}$$
35
Numerele impare sunt 1, 3, 5, 7, 9 (5 cifre).
Pentru prima cifră, avem 5 opțiuni.
Pentru a doua cifră, avem 9 opțiuni (orice cifră în afară de prima).
Pentru a treia cifră, avem 8 opțiuni.
Pentru a patra cifră, avem 7 opțiuni.
Pentru a cincea cifră, avem 6 opțiuni.
Numărul total de numere de 5 cifre cu cifre distincte și prima cifră impară este \( 5 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 15120 \).
Numărul total de numere de 5 cifre cu cifre distincte este: prima cifra poate fi aleasa in 9 moduri(nu poate fi 0), a doua in 9 moduri, a treia in 8 moduri, a patra in 7 moduri si a cincea in 6 moduri. Rezulta ca avem 9 \(\cdot\) 9 \(\cdot\) 8 \(\cdot\) 7 \(\cdot\) 6 = 27216.
\( \displaystyle \frac{15120}{27216} = \frac{5}{9} \)
Explicație: Calculăm numărul de numere favorabile și îl împărțim la numărul total de numere cu cifre distincte.
36
Avem 12 elevi, dar doar 10 scaune libere. Dorim ca Mihai, Ion și Doina să stea alături.
Considerăm grupul {M, I, D} ca un „bloc” de 3 persoane care trebuie să stea pe locuri consecutive.
Numărul total de moduri în care putem așeza oricare 10 elevi pe 10 locuri este:
$$ n = P_{12}^{10} = \displaystyle \frac{12!}{(12 - 10)!} = \displaystyle \frac{12!}{2!} $$
Numărul de aranjamente favorabile:
– Cele 3 persoane {M, I, D} trebuie să stea alături → există 8 poziții consecutive disponibile pe rândul de 10 locuri.
– Cei 3 se pot permuta între ei în 3! moduri.
– Ceilalți 7 locuri sunt completate de oricare alți 7 elevi aleși din cei 9 rămași → \( P_9^7 = \displaystyle \frac{9!}{2!} \)
Număr favorabil:
$$ m = 8 \times 3! \times \displaystyle \frac{9!}{2!} $$
Probabilitatea este:
$$ P = \displaystyle \frac{m}{n} = \displaystyle \frac{8 \cdot 6 \cdot \displaystyle \frac{9!}{2!}}{\displaystyle \frac{12!}{2!}} = \displaystyle \frac{48 \cdot 9!}{12!} = \displaystyle \frac{48}{12 \cdot 11 \cdot 10} = \displaystyle \frac{2}{55} $$
Răspuns final: $$ \boxed{\displaystyle \frac{2}{55}} $$
37
Se aruncă un zar până când apare faţa cu 2 puncte de 3 ori consecutiv. Se cere probabilitatea ca zarul să se arunce exact de 5 ori.
Pentru a se întruni condiţia la a 5-a aruncare, trebuie ca ultimele 3 aruncări (a treia, a patra şi a cincea) să fie 2, iar în primele 2 aruncări nu se formează o serie de trei 2 consecutive.
Observăm că, pentru a evita apariţia seriei cu 3 două consecutive înainte de a se ajunge la aruncarea a 5-a, se impune ca a doua aruncare să fie diferită de 2 (deoarece dacă prima şi a doua aruncare ar fi 2, atunci al treilea fiind 2 ar produce seria).
Astfel, considerăm că:
- Aruncarea 3, 4 şi 5 trebuie să fie 2.
- Aruncarea 2 nu poate fi 2.
- Aruncarea 1 poate fi orice.
Numărul situațiilor favorabile este:
$$ 6 \;(\text{pentru 1}) \times 5 \;(\text{pentru 2, orice altceva decât 2}) = 30 $$
Totalul situaţiilor posibile pentru 5 aruncări este
$$ 6^5 = 7776 $$
Probabilitatea este
$$ P = \displaystyle \frac{30}{7776} = \displaystyle \frac{5}{1296} $$
38
Numărul cazurilor posibile este \( n=C_{12}^{5}=792 \). Numărul cazurilor favorabile este \( m=C_{8}^{3} \cdot C_{4}^{2}=336 \). Atunci probabilitatea este \( P=\displaystyle \frac{m}{n}=\displaystyle \frac{336}{792}=\displaystyle \frac{14}{33} \).
Explicație: Numărul total de moduri de a alege 5 creioane din 12 este \(C_{12}^5\). Pentru a calcula numărul de moduri în care 3 creioane sunt roșii și 2 sunt albastre, trebuie să alegem 3 creioane din cele 8 roșii (adică, \(C_8^3\)) și apoi 2 creioane din cele 4 albastre (adică, \(C_4^2\)). Înmulțim aceste numere pentru a obține numărul total de moduri în care 3 creioane sunt roșii și 2 sunt albastre. Apoi împărțim acest număr la numărul total de moduri de a alege 5 creioane pentru a obține probabilitatea.
39
n = \( C_{10}^4 = 210 \)
m = \( C_6^4 = 15 \)
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{15}{210} = \frac{1}{14} \)
Explicație: Totalul combinațiilor de 4 persoane din 10 este \( C_{10}^4 \). Cazurile favorabile sunt combinațiile posibile de 4 bărbați din 6.
40
Se cunosc probabilitățile pentru alegerea unei întrebări dintr-un domeniu:
– Artă: \( P(A) = 0,3 \)
– Istorie: \( P(I) = 0,2 \)
– Științe: \( P(S) = 0,5 \)
Dorim să determinăm probabilitatea ca într-un șir de 3 runde, un participant să aleagă întrebări doar din exact două dintre cele trei domenii.
Sunt \( C_3^2 = 3 \) moduri de a alege două domenii din trei:
– Artă și Istorie
– Artă și Științe
– Istorie și Științe
Pentru fiecare pereche \((X, Y)\), există două configurații favorabile:
– 2 întrebări din X, 1 din Y
– 1 întrebare din X, 2 din Y
Probabilitatea totală pentru o pereche este:
\( P = C_3^2 \cdot P(X)^2 \cdot P(Y) + C_3^1 \cdot P(X) \cdot P(Y)^2 \)
1. Artă și Istorie:
\( P = 3 \cdot 0,3^2 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,3 \cdot 0,2^2 = 3 \cdot 0,09 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,3 \cdot 0,04 = 0,054 + 0,036 = 0,09 \)
2. Artă și Științe:
\( P = 3 \cdot 0,3^2 \cdot 0,5 + 3 \cdot 0,3 \cdot 0,5^2 = 3 \cdot 0,09 \cdot 0,5 + 3 \cdot 0,3 \cdot 0,25 = 0,135 + 0,225 = 0,36 \)
3. Istorie și Științe:
\( P = 3 \cdot 0,2^2 \cdot 0,5 + 3 \cdot 0,2 \cdot 0,5^2 = 3 \cdot 0,04 \cdot 0,5 + 3 \cdot 0,2 \cdot 0,25 = 0,06 + 0,15 = 0,21 \)
Adunăm aceste probabilități:
\( P = 0,09 + 0,36 + 0,21 = 0,66 \)
Dar acest rezultat include și cazurile în care întrebările sunt din toate cele trei domenii.
Cazurile în care cele 3 întrebări sunt din 3 domenii diferite:
Există \( 3! = 6 \) permutări ale domeniilor A, I, S în cele 3 runde:
Fiecare are probabilitatea:
\( 0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,5 = 0,03 \)
Total:
\( 6 \cdot 0,03 = 0,18 \)
Așadar, probabilitatea ca în cele 3 runde să fie întrebări din exact două domenii este:
\( P = 0,66 - 0,18 = \boxed{0,48} \)
Totuși, dacă cerința este ca întrebările alese să fie din exact două domenii (fără apariția celui de-al treilea în niciuna din cele 3 runde), trebuie să excludem și cazurile cu un singur domeniu:
Cazurile în care toate cele 3 întrebări sunt din același domeniu:
\( 0,3^3 + 0,2^3 + 0,5^3 = 0,027 + 0,008 + 0,125 = 0,16 \)
Prin urmare, probabilitatea ca cele 3 întrebări să provină din exact două domenii este:
\( P = 1 - 0,16 - 0,18 = \boxed{0,66} \)
Dar această probabilitate include toate situațiile în care cele 3 întrebări sunt din cel puțin două domenii (adică și 2 și 3).
Pentru a obține exact două domenii, calculăm separat doar acele cazuri:
\( P = 0,09 + 0,36 + 0,21 - 0,18 = \boxed{0,48} \)
Totuși, dacă se cer doar cazurile în care în 3 runde apar doar două domenii și în total exact două domenii (de exemplu, două A și una I, dar niciuna Ș), atunci deja am calculat direct aceste 3 cazuri:
– A și I: 0,09
– A și Ș: 0,36
– I și Ș: 0,21
Dar pentru probabilitatea ca doar două domenii să apară în total, trebuie să excludem toate cazurile cu 3 domenii.
Așadar:
\( P = 0,09 + 0,36 + 0,21 - 0,18 = 0,48 \) este cu toate cazurile de două domenii
Dar dacă folosim doar cele care nu sunt și cazuri cu toate trei (eliminând tripla combinație), ne rămâne:
\( \boxed{0,22} \) ca fiind probabilitatea dorită
41
n = \( C_{15}^3 = 455 \)
m = \( 7 \cdot 5 \cdot 3 = 105 \)
Probabilitatea este: \(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{105}{455} = \frac{3}{13} \)
Explicație: Alegem câte o bilă din fiecare culoare, astfel încât toate să fie diferite. Numărul de combinații favorabile este produsul numerelor de bile de fiecare culoare.
42
n = \( C_5^2 = 10 \)
m = \( 3 \cdot 2 = 6 \)
Probabilitatea este: \(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
Explicație: Se alege o bilă albă și una neagră, ordinea necontând. Cazurile favorabile sunt produsul celor două alegeri.
43
Într-o loterie sunt 100 de bilete: 10 câștigătoare de 200 lei, 20 câștigătoare de 100 lei, și 70 fără câștig.
Se vând exact 3 bilete. Pentru ca vânzătorul să primească primă, suma totală de vânzări trebuie să depășească 5000 lei.
Calculăm valoarea vânzărilor pentru diferite compoziții:
- Dacă se vinde cel puțin un televizor (3000 lei), suma va fi: cel puțin 3000 + 2×1000 (minim 0 lei la al doilea, însă pentru a depăși 5000, condiția este: 3000 + 1500 ≥ 5000). Practic, orice vânzare cu cel puțin un televizor dă suma peste 5000 lei.
Totuși, analizăm cazurile:
Cazurile favorabile sunt acelea în care cel puțin un produs vândut este un televizor.
Total moduri de a alege 3 bilete din 18: $$ C_{18}^3 $$
Moduri cu 0 televizoare: Se aleg 3 bilete din telefoane (20): $$ C_{20}^3 $$
Astfel, probabilitatea de a avea cel puțin un televizor este:
$$ P = 1 - \displaystyle \frac{C_{20}^3}{C_{18+20}^3} = 1 - \displaystyle \frac{C_{20}^3}{C_{38}^3}. $$
Însă, pentru a determina dacă suma vânzărilor este peste 5000 lei, trebuie să analizăm valorile:
– 0 televizoare: valoare = 3×100 lei = 300 lei (< 5000 lei);
– 1 televizor și 2 telefoane: valoare = 3000 + 2×1500 = 6000 lei;
– 2 televizoare și 1 telefon: 2×3000 + 1500 = 7500 lei;
– 3 televizoare: 9000 lei.
Deci, bonusul se obține în toate cazurile cu cel puțin 1 televizor.
Numărul total de bilete este 18. Total moduri de a alege 3 bilete:
$$ C_{18}^3 = \displaystyle \frac{18\cdot17\cdot16}{6} = 816. $$
Moduri cu 0 televizoare (doar telefoane):
$$ C_{20}^3 = \displaystyle \frac{20\cdot19\cdot18}{6} = 1140. $$
Observație: Numărul de bilete totale este 18 (8 televizoare + 10 telefoane) conform enunțului? Dar aici se menționează 8 televizoare și 10 telefoane, deci total 18, nu 38.
Reformulăm: Total bilete = 8 + 10 = 18.
Total moduri de a alege 3:
$$ C_{18}^3 = \displaystyle \frac{18\cdot17\cdot16}{6} = 816. $$
Moduri cu 0 televizoare (doar telefoane):
$$ C_{10}^3 = \displaystyle \frac{10\cdot9\cdot8}{6} = 120. $$
Astfel, probabilitatea ca cel puțin un bilet să fie televizor este:
$$ P = 1 - \displaystyle \frac{120}{816} = 1 - \displaystyle \frac{5}{34} = \displaystyle \frac{29}{34}. $$
Deci, vânzătorul primește prima cu probabilitatea:
$$ \boxed{\displaystyle \frac{29}{34}} $$
44
Într-o urnă sunt 4 bile roșii, 4 bile verzi și 1 bilă albă (total 9 bile). Se extrag 3 bile. Numărul total de extrageri este
$$ C_9^3 = \displaystyle \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84. $$
Dorim extragerea a 3 bile de două culori diferite (adică exact două culori apar în selecție).
- Cazul 1: Bile roșii și verzi. Se pot alege din 4 roșii și 4 verzi, astfel ca distribuția să fie 1 roșie și 2 verzi sau 2 roșii și 1 verde.
Pentru 1 roșie și 2 verzi: $$ C_4^1 \cdot C_4^2 = 4 \cdot 6 = 24. $$
Pentru 2 roșii și 1 verde: $$ C_4^2 \cdot C_4^1 = 6 \cdot 4 = 24. $$
Total caz 1 = 24 + 24 = 48.
- Cazul 2: Bile roșii și albastre. Pentru a avea ambele culori, trebuie să avem bilă albă (numărul de moduri: 1) și 2 din cele 4 roșii:
$$ C_4^2 \cdot C_1^1 = 6 \cdot 1 = 6. $$
- Cazul 3: Bile verzi și albastre. Similar, $$ C_4^2 \cdot C_1^1 = 6. $$
Numărul total favorabil este $$ 48 + 6 + 6 = 60. $$
Probabilitatea este: $$ P = \displaystyle \frac{60}{84} = \displaystyle \frac{5}{7}. $$
45
Din 20 de cupluri (40 de persoane) se aleg 2 persoane. Numărul total de perechi este $$ C_{40}^2 = \displaystyle \frac{40 \cdot 39}{2} = 780. $$
Numărul de perechi care formează un cuplu este 20, deci cele care nu sunt cupluri sunt $$ 780 - 20 = 760. $$
Probabilitatea este: $$ P = \displaystyle \frac{760}{780} = \displaystyle \frac{38}{39}. $$
46
n = \( C_{15}^3 \)
m = \( C_5^2 \cdot C_{10}^1 + C_5^3 = 100 + 10 = 110 \)
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{110}{455} = \frac{22}{91} \)
Explicație: Calculăm câte combinații au exact 2 roșii și 1 de altă culoare, apoi cele cu 3 roșii. Le adunăm și împărțim la totalul combinațiilor de 3 bile din 15.
47
n = \( C_{15}^3 = 455 \)
m = \( C_{10}^2 \cdot C_5^1 = 45 \cdot 5 = 225 \)
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{225}{455} = \frac{45}{91} \)
Explicație: Numărul total de moduri de a alege 3 bile din 15 este \( C_{15}^3 \). Cazurile favorabile sunt alegerea a 2 bile roșii din 10 și o bilă albă din 5.
48
Se aruncă simultan 4 zaruri. Pentru ca produsul numerelor să fie 15, este necesar ca în cele 4 aruncări să apară exact două 1, o 3 și o 5, deoarece:
$$ 15 = 1 \times 1 \times 3 \times 5 $$
Numărul de aranjamente ale multimei (1,1,3,5) este:
$$ \displaystyle \frac{4!}{2!} = 12 $$
Numărul total de rezultate posibile este: $$ 6^4 = 1296 $$
Astfel, probabilitatea este:
$$ P = \displaystyle \frac{12}{1296} = \displaystyle \frac{1}{108} $$
49
n = \( C_{15}^5 = 3003 \)
m = \( C_{10}^2 \cdot C_5^3 = 45 \cdot 10 = 450 \)
Probabilitatea este: \(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{450}{3003} = \frac{150}{1001} \)
Explicație: Alegem 2 cărți românești din 10 și 3 cărți englezești din 5. Cazurile favorabile sunt produsul acestor două alegeri.
50
Cu ajutorul cifrelor 1,2,3,4,5,6 se formează un cod de 5 cifre (repetițiile sunt permise).
Totalul codurilor este
$$6^5 = 7776$$
Se dorește ca acest cod să conțină nu mai puțin de 3 apariții ale cifrei 2.
Calculăm numărul de coduri favorabile:
- Coduri în care cifra 2 apare exact de 3 ori:
Se aleg pozițiile pentru cele 3 cifre 2 din 5: $$ C_5^3 =10$$ și celelalte 2 poziţii se completează cu oricare dintre cele 5 cifre diferite de 2: $$5^2=25$$.
Numărul codurilor este: $$10\times25=250$$.
- Coduri în care cifra 2 apare exact de 4 ori:
Se aleg pozițiile pentru cele 4 cifre 2: $$ C_5^4 =5$$, iar poziţia rămasă se completează cu una dintre cele 5 cifre diferite de 2.
Numărul codurilor este: $$5\times5=25$$.
- Coduri în care cifra 2 apare în toate cele 5 poziţii:
Există 1 cod (toate cifrele fiind 2).
Numărul total de coduri favorabile este:
$$250+25+1=276$$
Probabilitatea cerută este:
$$ P = \displaystyle \frac{276}{7776} = \displaystyle \frac{23}{648} $$
51
Numărul de oameni care cunosc cel puțin o limbă străină este 70 + 60 - 50 = 80.
Numărul de oameni care nu cunosc nicio limbă străină este 120 - 80 = 40.
n = 120
m = 40
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{40}{120} = \frac{1}{3} \)
Explicație: Probabilitatea este numărul de oameni care nu cunosc nicio limbă împărțit la numărul total de oameni.
52
n = \( C_{20}^4 = 4845 \)
m = \( C_{19}^3 = 969 \)
Probabilitatea este: \(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{969}{4845} = \frac{1}{5} \)
Explicație: Dacă fișa 5 este extrasă, mai rămân 3 fișe de ales din restul de 19. Asta ne dă numărul de cazuri favorabile.
53
Se aruncă concomitent 4 zaruri. Se cere probabilitatea ca faţa cu 5 puncte să apară pe cel puțin un zar.
Totalul rezultatelor este
$$ 6^4 = 1296 $$
Probabilitatea complementară (nicio apariţie a numărului 5) este
$$ \left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)^4 = \displaystyle \frac{625}{1296} $$
Astfel, probabilitatea că 5 să apară pe cel puțin un zar este
$$ P = 1 - \displaystyle \frac{625}{1296} = \displaystyle \frac{1296-625}{1296} = \displaystyle \frac{671}{1296} $$
54
Se consideră aleator un număr de 4 cifre. Se impun două condiţii: cifrele nu se repetă şi doar prima şi ultima cifră sunt pare.
Totalul numerelor de 4 cifre (de la 1000 la 9999) este
$$ 9000 $$
Prima cifră trebuie să fie pară şi diferită de 0: opțiuni: 2,4,6,8 → 4 opțiuni.
Ultima cifră trebuie să fie pară (0,2,4,6,8) şi diferită de prima: 4 opțiuni pentru fiecare alegere a primei cifre.
Pentru cele două cifre din mijloc se aleg din cele rămase (10 cifre minus cele 2 deja folosite):
- A doua cifră: 8 opțiuni
- A treia cifră: 7 opțiuni
Numărul de situații favorabile este
$$ m = 4 \times 4 \times 8 \times 7 = 896 $$
Probabilitatea este
$$ P = \displaystyle \frac{896}{9000} = \displaystyle \frac{112}{1125} $$
55
n = \( C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \)
m = \( C_3^2 = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3 \)
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15} \)
Explicație: Calculăm numărul total de moduri de a alege 2 bile și numărul de moduri de a alege 2 bile albe.
56
Probabilitatea ca exact un credit din 3 să nu fie rambursat la timp este:
$$ P = C_3^1 \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^2 = 3 \cdot 0.1 \cdot 0.81 = 0.243 $$
Deci, probabilitatea este 0.243.
57
Într-o clasă cu 12 fete și 15 băieți (total 27 elevi) se aleg 2 elevi. Numărul total de perechi este $$ C_{27}^2 = \displaystyle \frac{27 \cdot 26}{2} = 351. $$
Numărul favorabil (alegere a 2 fete din 12) este: $$ C_{12}^2 = \displaystyle \frac{12 \cdot 11}{2} = 66. $$
Probabilitatea este: $$ P = \displaystyle \frac{66}{351}. $$
Simplificând, se obține: $$ P = \displaystyle \frac{22}{117}. $$
58
n = \(5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 600\)
m = \(5! = 120\)
Probabilitatea este: \(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{120}{600} = \frac{1}{5} \)
Explicație: Numărul total de numere este determinat luând în considerare că prima cifră nu poate fi 0 și că cifrele nu se repetă. Pentru ca un număr să înceapă cu 3, fixăm prima cifră și permutăm restul de 5 cifre distincte din cele rămase.
59
n = \( P_9^7 = 181440 \)
m = \( P_5^3 \cdot P_4^4 = 60 \cdot 840 = 50400 \)
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{50400}{181440} = \frac{1}{126} \)
Explicație: Din cele 5 cifre impare alegem 3 și le aranjăm. Din cele 4 pare alegem 4 și le aranjăm. Înmulțim și împărțim la totalul aranjamentelor posibile de 7 cifre distincte.
60
n = 120
m = \( 120 - (70 + 60 - 50) = 40 \)
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{40}{120} = \frac{1}{3} \)
Explicație: Aplicăm principiul incluziunii pentru a afla câți oameni cunosc cel puțin o limbă. Scădem din total pentru a obține numărul celor fără limbi cunoscute.
61
Se aruncă concomitent 3 zaruri. Se cere probabilitatea ca exact 2 zaruri să arate faţa cu 5 puncte.
Totalul rezultatelor este
$$ 6^3 = 216 $$
Se aleg 2 zaruri din 3 care să arate 5, în $$ C_3^2 = 3 $$ moduri, iar zarul rămas poate arăta oricare alt număr (5 opțiuni).
Numărul favorabil este
$$ 3 \times 5 = 15 $$
Probabilitatea este
$$ P = \displaystyle \frac{15}{216} = \displaystyle \frac{5}{72} $$
62
n = 90 (numere de la 10 la 99)
m = 8 (numere: 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80)
Probabilitatea este: \(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{8}{90} = \frac{4}{45} \)
Explicație: Se numără câte numere de două cifre au suma cifrelor egală cu 8 și se împarte la totalul numerelor de două cifre.
63
n = \( C_{30}^3 \)
n = \(\frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{3 \cdot 2 \cdot 1}\)
n = 4060
m = \( C_{25}^3 + C_{25}^2 \cdot C_{5}^1 \)
m = \(\frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} + \frac{25 \cdot 24}{2 \cdot 1} \cdot 5\)
m = 2300 + 1200 + 300 = 4600
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{2600}{4060} = \frac{115}{203} \)
Explicație: Pentru a trece examenul, studentul trebuie să răspundă la 3 întrebări din cele 30. El știe 25 dintre ele. Probabilitatea este dată de cazurile favorabile (3 întrebări știute sau 2 știute și una necunoscută) împărțite la numărul total de combinații de 3 întrebări din 30.
64
\( n=C_{25}^{5}, m=C_{15}^{3} \cdot C_{10}^{2} \), atunci \( P=\displaystyle \frac{m}{n}=\displaystyle \frac{C_{15}^{3} \cdot C_{10}^{2}}{C_{25}^{5}}=\displaystyle \frac{195}{506} \).
Explicație: Numărul total de moduri de a alege 5 elevi din 25 este \(C_{25}^5\). Pentru a calcula numărul de moduri în care sunt 3 fete și 2 băieți, trebuie să alegem 3 fete din cele 15 (adică, \(C_{15}^3\)) și apoi 2 băieți din cei 10 (adică, \(C_{10}^2\)). Înmulțim aceste numere pentru a obține numărul total de moduri în care sunt 3 fete și 2 băieți. Apoi împărțim acest număr la numărul total de moduri de a alege 5 elevi pentru a obține probabilitatea.
65
Numărul cazurilor posibile este \( n=C_{11}^{3}=165 \). Numărul cazurilor favorabile este \( m=n-C_{7}^{3}=165-\displaystyle \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3}=130 \). Atunci probabilitatea este \( P=\displaystyle \frac{130}{165}=\displaystyle \frac{26}{33} \).
Explicație: Numărul total de moduri de a alege 3 flori din 11 este \(C_{11}^3\). Pentru a calcula numărul de moduri în care cel puțin o floare este roșie, calculăm complementul, adică numărul de moduri de a alege 3 flori care nu sunt roșii (adică, toate cele 3 flori sunt alese din cele 7 flori care nu sunt roșii), care este \(C_7^3\). Scădem acest număr din numărul total de moduri de a alege 3 flori pentru a obține numărul de moduri în care cel puțin o floare este roșie. Apoi împărțim acest număr la numărul total de moduri de a alege 3 flori pentru a obține probabilitatea.
66
Există 10! moduri de a aranja bilele. În jumătate din aceste aranjamente, bila 2 se află după bila 1.
Deci, probabilitatea este \( \displaystyle \frac{1}{2} \).
n = 10!
m = \( \displaystyle \frac{10!}{2} \)
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{\frac{10!}{2}}{10!} = \frac{1}{2} \)
Explicație: În jumătate din aranjamente, bila 2 va fi după bila 1.
67
În două loturi de produse, probabilitatea ca un produs să fie cu defect este:
Lotul 1: 4% (0.04), Lotul 2: 5% (0.05).
Se extrage câte un produs din fiecare lot. Probabilitatea ca exact unul să fie defect este:
$$ P = (0.04 \cdot 0.95) + (0.96 \cdot 0.05) = 0.038 + 0.048 = 0.086 $$
Deci, probabilitatea este 0.086.
68
Se formează 3 clase: I-a A, I-a B și I-a C. Avem 8 copii înscriși iar fiecare copil poate fi plasat în oricare dintre cele 3 clase.
Pasul 1. Numărul total de situații posibile
Fiecare copil are 3 opțiuni, deci numărul total de situații este:
$$ n = 3^8 = 6561 $$
Pasul 2. Numărul de situații favorabile
Dorim ca exact 4 copii să fie înscriși în clasa I-a A, 2 copii în clasa I-a B și 2 copii în clasa I-a C. Vom calcula pas cu pas:
1. Se aleg 4 copii din 8 pentru clasa I-a A. Numărul de moduri este:
$$ C_8^4 = \displaystyle \frac{8!}{4!(8-4)!} = \displaystyle \frac{40320}{24 \cdot 24} = 70 $$
2. Din cei rămași 4 copii, se aleg 2 pentru clasa I-a B. Numărul de moduri este:
$$ C_4^2 = \displaystyle \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \displaystyle \frac{24}{2 \cdot 2} = 6 $$
3. Cei 2 copii rămași vor merge automat în clasa I-a C, deci:
$$ C_2^2 = 1 $$
Numărul total de situații favorabile este:
$$ m = C_8^4 \cdot C_4^2 \cdot C_2^2 = 70 \cdot 6 \cdot 1 = 420 $$
Pasul 3. Calculul probabilității
Folosim formula fundamentală a probabilității:
$$ P = \displaystyle \frac{m}{n} = \displaystyle \frac{420}{6561} $$
Simplificăm prin împărțirea la 3:
$$ P = \displaystyle \frac{140}{2187} $$
Rezultatul final:
$$ \boxed{\displaystyle \frac{140}{2187}} $$
69
n = \( C_{10}^4 \)
m = \( C_6^2 \cdot C_4^2 \)
Probabilitatea este:
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{C_6^2 \cdot C_4^2}{C_{10}^4} = \frac{90}{210} = \frac{3}{7} \)
Explicație: Alegem 2 băieți din 6 și 2 fete din 4. Totalul combinărilor posibile pentru o echipă de 4 persoane din 10 este \( C_{10}^4 \). Raportăm cazurile favorabile la total.
70
n = \( C_{10}^6 = 210 \)
m = \( C_7^4 \cdot C_3^2 = 35 \cdot 3 = 105 \)
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2} \)
Explicație: Numărul total de moduri de a alege 6 piese din 10 este \( C_{10}^6 \). Cazurile favorabile sunt alegerea a 4 piese de calitate superioară din cele 7 și 2 piese de calitate inferioară din cele 3.
71
n = \( C_{10}^4 = 210 \)
m = \( C_6^2 \cdot C_4^2 = 15 \cdot 6 = 90 \)
\(P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{90}{210} = \frac{3}{7} \)
Explicație: Numărul total de moduri de a alege 4 persoane din 10 este \( C_{10}^4 \). Cazurile favorabile sunt alegerea a 2 bărbați din 6 și 2 femei din 4.
72
Se aleg 2 cutii din 12, unde 5 cutii conțin premiu și 7 nu conțin premiu. Numărul total de moduri este $$ C_{12}^2 = \displaystyle \frac{12 \cdot 11}{2} = 66. $$
Moduri favorabile (fără premiu): $$ C_7^2 = \displaystyle \frac{7 \cdot 6}{2} = 21. $$
Astfel, probabilitatea ca participantul să rămână fără premiu este $$ P = \displaystyle \frac{21}{66} = \displaystyle \frac{7}{22}. $$
73
Într-o cutie sunt 10 detalii, dintre care un număr necunoscut, notat cu \( r \), sunt rebut.
Probabilitatea ca 2 detalii extrase aleator să fie rebut este:
$$ \displaystyle \frac{C_r^2}{C_{10}^2} = \displaystyle \frac{r(r-1)/2}{45} = \displaystyle \frac{r(r-1)}{90} $$
Se dă că această probabilitate este egală cu $$ \displaystyle \frac{1}{15} $$, deci:
$$ \displaystyle \frac{r(r-1)}{90} = \displaystyle \frac{1}{15} \quad \Longrightarrow \quad r(r-1) = \displaystyle \frac{90}{15} = 6 $$
Rezolvând: \( r(r-1) = 6 \) → \( r = 3 \) (deoarece \( 3\times2 = 6 \)).
Procente de rebut = \( \displaystyle \frac{3}{10} \times 100\% = 30\% \)
74
Cu cifrele 1,2,3,4,5,6,7 se formează un număr de 7 cifre distincte. Totalul numerelor posibile este $$ 7! = 5040. $$
Primele 4 cifre trebuie să fie numere prime. Printre 1-7, numerele prime sunt 2,3,5,7 (4 cifre).
Modurile de a le aranja pe primele 4 poziții sunt: $$ 4! = 24. $$
Restul 3 cifre se aranjează în $$ 3! = 6 \text{ moduri.} $$
Numărul favorabil este: $$ 24 \cdot 6 = 144. $$
Probabilitatea este: $$ P = \displaystyle \frac{144}{5040} = \displaystyle \frac{1}{35}. $$
75
Numărul cazurilor posibile este \( A_{5}^{3}=\displaystyle \frac{5!}{(5-3)!}=\displaystyle \frac{2!\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{2!}=60 \). Numerele naturale de trei cifre distincte formate cu cifrele date şi divizibile cu 4 sunt: \( 312 ; 412 ; 512 ; 124 ; 324 ; 524 ; 132 ; 432 ; 532 ; 152 ; 352 ; 452 \), adică \( n=12 \). Atunci \( p=\displaystyle \frac{m}{n}=\displaystyle \frac{12}{60}=\displaystyle \frac{1}{5} \).
Explicație: Numărul total de numere de trei cifre cu cifre distincte formate din cele 5 cifre date este \(A_5^3\). Calculăm numărul de numere din această listă care sunt divizibile cu 4. Apoi împărțim acest număr la numărul total de numere de trei cifre pentru a obține probabilitatea.
76
Există 4 locuri. Fiecare are șansa de a ocupa locul de lângă șofer: 1 din 4.
Fie X = numărul de dăți când persoana a stat lângă șofer în cele 5 zile.
X ~ Binomial(n = 5, p = 1/4)
Se cere: P(X ≥ 2) = 1 - P(0) - P(1)
$$ P(0) = C_5^0 \cdot \left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^0 \cdot \left(\displaystyle \frac{3}{4}\right)^5 = \left(\displaystyle \frac{243}{1024}\right) $$
$$ P(1) = C_5^1 \cdot \left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^1 \cdot \left(\displaystyle \frac{3}{4}\right)^4 = 5 \cdot \displaystyle \frac{1}{4} \cdot \displaystyle \frac{81}{256} = \displaystyle \frac{405}{1024} $$
Așadar:
$$ P(X \ge 2) = 1 - \displaystyle \frac{243 + 405}{1024} = 1 - \displaystyle \frac{648}{1024} = \displaystyle \frac{376}{1024} = \displaystyle \frac{47}{128} $$
Răspuns final: $$ \boxed{\displaystyle \frac{47}{128}} $$
77
Alexandra și Vlad, împreună cu alți 8 colegi (total 10 persoane), se așează aleator pe 10 scaune într-un rând.
Numărul total de aranjamente este: $$10!$$
Numărul de aranjamente în care Alexandra și Vlad stau alături se obține tratându-i ca un bloc, deci avem $$2 \cdot 9!$$ posibilități (cei doi se pot intercambia).
Probabilitatea ca ei să stea alături este: $$\displaystyle \frac{2\cdot 9!}{10!} = \displaystyle \frac{2}{10} = \displaystyle \frac{1}{5}$$
Deci, probabilitatea ca Alexandra și Vlad să NU stea alături este:
$$ P = 1 - \displaystyle \frac{1}{5} = \displaystyle \frac{4}{5} $$