Derivata Funcției

Derivata unei funcții \( f(x) \) notează cu \( f'(x) \)

Formule de Derivare

\((c)' = 0 \)
\((x)' = 1\)
\((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\)
\(\left(\displaystyle \frac{1}{x}\right)' = -\displaystyle \frac{1}{x^2}\)
\((\sqrt{x})' = \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\left(\sqrt[n]{x}\right)' = \displaystyle \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}\)
\((a^x)' = a^x \cdot \ln a\)
\((e^x)' = e^x\)
\((\ln x)' = \displaystyle \frac{1}{x}\)
\((\log_a x)' = \displaystyle \frac{1}{x \cdot \ln a}\)
\((\sin x)' = \cos x\)
\((\cos x)' = -\sin x\)
\(( tg x)' = \displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)
\((\operatorname{ctg} x)' = -\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}\)
\((\arcsin x)' = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
\((\arccos x)' = -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
\((\operatorname{arctg} x)' = \displaystyle \frac{1}{1 + x^2}\)
\( (arccot x)' = -\displaystyle \frac{1}{1 + x^2}\)

Reguli de Derivare

\((c \cdot f)' = c \cdot f'\)
\((f + g)' = f' + g'\)
\((f - g)' = f' - g'\)
\((f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'\)
\(\left(\displaystyle \frac{f}{g}\right)' = \displaystyle \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}\)
\((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)

Exemple de Calcul

1. Derivarea funcției \( f(x) = x^3 - 4x + 7 \)

Aplicăm regula derivării termen cu termen:

\[ f'(x) = (x^3)' - (4x)' + (7)'. \] Calculăm: \[ f'(x) = 3x^2 - 4 \cdot 1 + 0 = 3x^2 - 4. \]

2. Derivarea funcției \( g(x) = \displaystyle \displaystyle \frac{\sin x}{x} \)

Aplicăm regula derivării unui raport:

\[ g'(x) = \displaystyle \frac{(\sin x)' \cdot x - \sin x \cdot (x)'}{x^2}. \] Calculăm: \[ g'(x) = \displaystyle \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \displaystyle \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}. \]

3. Derivarea compunerii \( h(x) = e^{\sin x} \)

\[ h'(x) = (e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cdot (\sin x)'. \] Calculăm: \[ h'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x. \]

4. Derivarea funcției \( k(x) = \ln(x^2 + 1) \)

\[ k'(x) = \displaystyle \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (x^2 + 1)'. \] Calculăm: \[ k'(x) = \displaystyle \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \displaystyle \frac{2x}{x^2 + 1}. \]

Exerciții

Determinați derivata funcției: \( f(x) = x^2 + 5x + 3 \)

Determinați derivata funcției: \( f(x) = e^x + \ln(x) \)

Determinați derivata funcției: \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)

Calculați derivata funcției compuse: \( f(x) = \sin(x^2) \)

Determinați derivata funcției: \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x + 1} \)

Găsiți derivata funcției: \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)

Determinați derivata funcției: \( f(x) = \displaystyle \frac{x^3}{x^2 + 1} \)

Determinați derivata funcției: \( f(x) = x^3 \cdot e^{-x} \)

Calculați derivata funcției: \( f(x) = \cos(x) \cdot \ln(x) \)

Determinați derivata funcției: \( f(x) = \displaystyle \frac{x^2 + 3}{x + \sin(x)} \)

Găsiți derivata funcției: \( f(x) = e^{x^2} + x \ln(x) \)

Calculați derivata funcției: \( f(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x) \)

Răspunsuri

\(2x+5\)

\(e^x+\frac{1}{x}\)

\(\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \)

\(2x\cos(x^2)\)

\(\displaystyle -\frac{1}{(x+1)^2} \)

\(\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}\)

\(\displaystyle \frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}\)

\(\displaystyle x^2e^{-x}(3-x)\)

\(\displaystyle -\sin(x)\ln(x)+ \frac{\cos(x)}{x}\)

\(\displaystyle \frac{2x\,(x+\sin(x)) - (x^2+3)(1+\cos(x))}{(x+\sin(x))^2}\)

\(\displaystyle 2xe^{x^2}+ \ln(x)+1\)

\(0\)

Rezolvări

\[f'(x)= (x^2)' + (5x)' +(3)' = 2x + 5 + 0 = 2x+5\]

Având în vedere că \((e^x)'= e^x\) și \((\ln(x))'= \frac{1}{x}\), rezultă \[f'(x)= e^x+\frac{1}{x}\]

Se folosește regula lanțului: \[ f'(x)= \frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot(2x)= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \]

Aplicăm regula lanțului, știind că derivata lui \(\sin(u)\) este \(\cos(u)\,u'\) și \( (x^2)'=2x\): \[ f'(x)= \cos(x^2)\cdot 2x= 2x\cos(x^2) \]

Derivăm folosind regula puterii: \[ f'(x)= -1\,(x+1)^{-2}\cdot(1)= -\frac{1}{(x+1)^2} \]

Regula lanțului dă: \[ f'(x)= \frac{1}{x^2+1}\cdot(2x)= \frac{2x}{x^2+1} \]

Folosim regula pentru derivata raportului (regula lui Leibniz): \[ f'(x)= \frac{(x^3)'(x^2+1) - x^3\,(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}. \] Se calculează: \[ (x^3)'= 3x^2,\quad (x^2+1)'=2x. \] Astfel, \[ f'(x)= \frac{3x^2\,(x^2+1) - x^3\,(2x)}{(x^2+1)^2}= \frac{3x^2(x^2+1)- 2x^4}{(x^2+1)^2}. \] Simplificând: \[ 3x^2(x^2+1)- 2x^4= 3x^4+ 3x^2- 2x^4= x^4+ 3x^2. \] Deci, \[ f'(x)= \frac{x^4+ 3x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2} \]

Aplicăm regula produsului: \[ f'(x)= (x^3)'\,e^{-x}+ x^3\,(e^{-x})', \] unde \[ (x^3)'= 3x^2\quad\text{și}\quad (e^{-x})'= -e^{-x}. \] Astfel, \[ f'(x)= 3x^2\,e^{-x}- x^3\,e^{-x}= e^{-x}(3x^2- x^3)= x^2e^{-x}(3-x) \]

Derivata este obținută prin regula produsului: \[ f'(x)= (\cos(x))'\ln(x)+ \cos(x)\,(\ln(x))', \] iar \[ (\cos(x))'= -\sin(x),\quad (\ln(x))'= \frac{1}{x}. \] Deci, \[ f'(x)= -\sin(x)\ln(x)+ \frac{\cos(x)}{x} \]

Folosim regula derivării unui raport: \[ f'(x)= \frac{(x^2+3)'(x+\sin(x)) - (x^2+3)\,(x+\sin(x))'}{(x+\sin(x))^2}. \] Calculăm derivata componentelor: \[ (x^2+3)'=2x,\quad (x+\sin(x))'=1+\cos(x). \] Astfel, \[ f'(x)= \frac{2x\,(x+\sin(x)) - (x^2+3)(1+\cos(x))}{(x+\sin(x))^2} \]

Derivăm fiecare termen separat:
- Pentru \( e^{x^2} \) se folosește regula lanțului: \((e^{x^2})'= e^{x^2}\cdot 2x\). - Pentru \( x\ln(x) \) se folosește regula produsului: \((x\ln(x))'=1\cdot\ln(x)+ x\cdot\frac{1}{x}= \ln(x)+1\). Rezultă: \[ f'(x)= 2xe^{x^2}+ \ln(x)+1 \]

Deoarece identitatea trigonometrică este \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\), rezultă \[ f(x)=1 \quad\text{și astfel}\quad f'(x)= 0 \]

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări