Probleme cu Zaruri și Monede

Acest tip de probleme implică aruncarea unor obiecte aleatorii, precum zaruri și monede, pentru a determina probabilitatea unui anumit rezultat.

Numărul total de rezultate posibile

Când aruncăm $ n $ zaruri, numărul total de rezultate posibile este $ 6^n $, deoarece fiecare zar are 6 fețe.
Când aruncăm o monedă de $ n $ ori, numărul total de rezultate posibile este $ 2^n $, deoarece moneda are 2 fețe.

Exemplu 1: Se aruncă 3 zaruri. Numărul total de rezultate posibile este:
$ n = 6^3 = 216 $.

Exemplu 2: Se aruncă o monedă de 6 ori. Numărul total de rezultate posibile este:
$ n = 2^6 = 64 $.

Exemplu rezolvat

Un zar se aruncă de 4 ori. Determinați probabilitatea ca fața cu 6 puncte să apară de 2 ori.

Rezolvare:

Calculăm numărul total de cazuri posibile: $ n = 6^4 = 1296 $
Calculăm numărul de cazuri favorabile ($ m $):
- Schimbam cu locurile acestea doua zaruri cu 6 puncte in cele 4 aruncari: $\displaystyle C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 $
- Calculăm: $ m = 6 \cdot (1 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 5) = 6 \cdot 25 = 150 $
Calculăm probabilitatea: $\displaystyle P = \frac{m}{n} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216} $

Răspuns: Probabilitatea este $\displaystyle \frac{25}{216} $.

Exerciții

Se aruncă simultan 4 zaruri. Determinați probabilitatea că suma punctelor de pe fețele apărute va fi egală cu 5.

Se aruncă simultan 4 zaruri. Determinați probabilitatea că suma punctelor apărute este egală cu 22.

Se aruncă o monedă de 5 ori. Determinați probabilitatea că stema va cădea exact de 2 ori.

Determinați probabilitatea evenimentului că la o aruncare a două zaruri pe ambele fețe vor apărea numere pătrate perfecte.

Un zar este aruncat până la apariția feței cu 5 puncte. Determinați probabilitatea că zarul va fi aruncat mai mult de o dată, dar mai puțin de 4 ori.

Răspunsuri

Rezolvări

Se aruncă simultan 4 zaruri și se dorește ca suma punctelor să fie egală cu 5.
Suma minimă posibilă la 4 zaruri este 4 (toate 1) și pentru a obține suma 5 trebuie ca trei zaruri să arate 1 și un zar să arate 2.
Numărul modurilor de a aranja cele 3 cifre 1 și 1 cifră 2 este: $$ \frac{4!}{3!} = 4 $$
Numărul total de rezultate posibile este: $$ 6^4 = 1296 $$
Probabilitatea este: $$ P = \frac{4}{1296} = \frac{1}{324} $$

Se aruncă simultan 4 zaruri și se dorește ca suma punctelor să fie egală cu 22.
Sunt două cazuri posibile pentru a obține suma 22:
– Cazul 1: trei zaruri arată 6 și un zar arată 4; numărul de aranjamente: $$ \frac{4!}{3!} = 4 $$
– Cazul 2: două zaruri arată 6 și două zaruri arată 5; numărul de aranjamente: $$ \frac{4!}{2!\cdot2!} = 6 $$
Numărul total favorabil este: 4 + 6 = 10
Numărul total de rezultate posibile: $$ 6^4 = 1296 $$
Probabilitatea este: $$ P = \frac{10}{1296} $$

Se aruncă o monedă de 5 ori și se dorește ca stema să cadă exact de 2 ori.
Numărul modurilor de a alege 2 aruncări cu stema este: $$ C_5^2 = 10 $$
Probabilitatea pentru o aruncare este 0.5, deci pentru 2 succese și 3 eșecuri: $$ (0.5)^2 \cdot (0.5)^3 = (0.5)^5 = \frac{1}{32} $$
Probabilitatea totală este: $$ P = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} $$

Se aruncă două zaruri și se dorește ca pe ambele fețe să apară numere pătrate perfecte.
Numerele pătrate perfecte din mulțimea {1,2,3,4,5,6} sunt 1 și 4.
Probabilitatea ca un zar să dea un număr pătrat perfect este: $$ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
Pentru cele două zaruri, probabilitatea este: $$ P = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $$

Un zar se aruncă până când apare fața cu 5 puncte. Se dorește ca numărul de aruncări să fie mai mult de 1, dar mai puțin de 4 (adică 2 sau 3 aruncări).
Probabilitatea de succes (apariția feței 5) este: $$ p = \frac{1}{6} $$, iar cea de eșec este: $$ 1-p = \frac{5}{6} $$
Probabilitatea pentru 2 aruncări (primul eșuează, al doilea reușește): $$ P_2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} $$
Probabilitatea pentru 3 aruncări (primele două eșuează, a treia reușește): $$ P_3 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216} $$
Probabilitatea totală este: $$ P = \frac{5}{36} + \frac{25}{216} = \frac{30}{216} + \frac{25}{216} = \frac{55}{216} $$

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări