Ecuatii de gradul 2 prin substitutie

Ecuațiile de forma \(t^2 + t + c = 0\) pot apărea în diverse contexte, unde \(t\) poate fi exprimat ca exponent, radical sau logaritm. Pentru a rezolva aceste ecuații, folosim metoda substituției pentru a le reduce la o ecuație de gradul al doilea standard.

Metoda generală

  1. Identificăm termenul comun care poate fi exprimat sub forma unei variabile ajutătoare, să zicem \(t\).
  2. Rescriem ecuația în termenii lui \(t\), obținând o ecuație de forma \(t^2 + t + c = 0\).
  3. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea folosind formula radicalilor: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
  4. Revenim la variabila inițială, substituind înapoi termenul inițial în locul lui \(t\).
  5. Rezolvăm ecuațiile obținute pentru variabila originală.

Exemplu: Rezolvarea ecuației \( \ln^2 x + \ln x = 0 \)

Pas cu pas:

  1. Identificăm termenul comun: \(\ln x\). Facem substituția \(t = \ln x\).
  2. Rescriem ecuația în termenii lui \(t\): \(t^2 + t = 0\).
  3. Factorizăm ecuația: \(t(t + 1) = 0\).
  4. Rezolvăm pentru \(t\): \(t = 0\) sau \(t = -1\).
  5. Revenim la variabila inițială: \(t = \ln x\), astfel avem:
    • \(\ln x = 0 \implies x = e^0 \implies x = 1\).
    • \(\ln x = -1 \implies x = e^{-1} \implies x = \frac{1}{e}\).
Soluție finală:
Soluțiile ecuației \( \ln^2 x + \ln x = 0 \) sunt \(x = 1\) și \(x = \frac{1}{e}\).

Exemplu similar: Exponent și radical

Rezolvarea ecuației \((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} - 6 = 0\):

  1. Facem substituția \(t = \sqrt{x}\).
  2. Rescriem ecuația: \(t^2 + t - 6 = 0\).
  3. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: \[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \]
  4. Calculăm: \(t = 2\) sau \(t = -3\) (ignorăm \(t = -3\) pentru că \(\sqrt{x}\) trebuie să fie pozitiv).
  5. Revenim la variabila inițială: \(\sqrt{x} = 2 \implies x = 4\).
Soluție finală:
Soluția ecuației \((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} - 6 = 0\) este \(x = 4\).

Exerciții

1
Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \(9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0\).
2
Rezolvă în \(\mathbb{R}\) ecuația: \( \ln^2 x - 3 \ln x + 2 = 0 \)
3
Rezolvă în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(e^{2t} - 5e^t + 6 = 0\)
4
Rezolvă în \(\mathbb{R}\) ecuația: \((\sqrt{x})^2 - 4\sqrt{x} + 3 = 0\)
5
Rezolvă în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\lg^2 x + 2\lg x - 3 = 0\)
6
Rezolvă în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(4^{x} - 3 \cdot 2^x + 2 = 0\)
7
Rezolvă în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\ln^2 x + 4\ln x + 4 = 0\)
Înapoi Următor