Trunchi de Piramidă

1. Definiție

Un trunchi de piramidă este figura geometrică rezultată dintr-o piramidă atunci când se secționează printr-un plan paralel cu baza acesteia. Trunchiul de piramidă are:

  • Două baze paralele: baza mare și baza mică.
  • Fețe laterale care sunt trapeze.

Un trunchi de piramidă patrulatera regulata are ca baze doua patrate, dar de dimensiuni diferite.

Un trunchi de piramidă triunghiulara regulata are ca baze doua triunghiuri echilaterale, dar de dimensiuni diferite.

2. Formule (se aplica pentru orice tip de trunchi de piramida)

Aria Laterală

Fiecare față laterală este un trapez. Aria laterală totală se calculează astfel:

\[ A_{\text{lat}} = \frac{P_B + P_b}{2} \cdot h_{lat} \]

unde \( P_B \) - perimetrul bazei mari;
\(P_b\) - perimetrul bazei mici;
\(h_{lat}\) - inaltimea fetei laterale (numita si apotema)

Aria Totală

Aria totală a trunchiului de piramidă este suma ariei laterale și a ariilor celor două baze:

\[ A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + A_B + A_b \]

Volumul Trunchiului de Piramidă

Volumul unui trunchi de piramidă se calculează cu formula:

\[ V = \frac{h}{3} \cdot (A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b}) \]

unde:

  • \( h \) este înălțimea trunchiului (distanța dintre cele două baze).
  • \( A_B \) este aria bazei mari.
  • \( A_b \) este aria bazei mici.

Secțiunea Diagonală

O secțiune diagonală a trunchiului de piramidă este un trapez isoscel. Dimensiunile acestui trapez depind de înălțimea trunchiului și de lungimile laturilor bazelor mari și mici.

  • Bazele trapezului sunt laturile paralele ale bazelor mari și mici ale trunchiului de piramidă.
  • Înălțimea trapezului coincide cu înălțimea trunchiului de piramidă (\( h \)).

3. Exemple Rezolvate

Exemplu 1: Calculul Volumului

Fie un trunchi de piramidă cu:

  • \( A_1 = 25 \, \text{cm}^2 \) (aria bazei mari);
  • \( A_2 = 9 \, \text{cm}^2 \) (aria bazei mici);
  • \( h = 6 \, \text{cm} \) (înălțimea).

Calculați volumul trunchiului.

\[ V = \frac{h}{3} \cdot (A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 \cdot A_2}) \]
\[ V = \frac{6}{3} \cdot (25 + 9 + \sqrt{25 \cdot 9}) \]
\[ V = 2 \cdot (25 + 9 + 15) = 2 \cdot 49 = 98 \, \text{cm}^3 \]

Răspuns: Volumul este \( 98 \, \text{cm}^3 \).

Exemplu 2: Calculul Ariei Totale

Fie un trunchi de piramidă cu:

  • \( A_1 = 36 \, \text{cm}^2 \) (aria bazei mari);
  • \( A_2 = 16 \, \text{cm}^2 \) (aria bazei mici);
  • \( A_{\text{lat}} = 50 \, \text{cm}^2 \) (aria laterală).

Calculați aria totală.

\[ A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + A_1 + A_2 \]
\[ A_{\text{tot}} = 50 + 36 + 16 = 102 \, \text{cm}^2 \]

Răspuns: Aria totală este \( 102 \, \text{cm}^2 \).

Exemplu 3: Secțiunea Diagonală

Fie un trunchi de piramidă cu:

  • Baza mare: latura \( L_1 = 8 \, \text{cm} \);
  • Baza mică: latura \( L_2 = 4 \, \text{cm} \);
  • Înălțimea trunchiului: \( h = 5 \, \text{cm} \).

Calculaţi aria sectiunii diagonale.

Aria secțiunii diagonale este aria unui trapez:

\[ A = \frac{(L_1 + L_2) \cdot h}{2} \]
\[ A = \frac{(8 + 4) \cdot 5}{2} = \frac{12 \cdot 5}{2} = \frac{60}{2} = 30 \, \text{cm}^2 \]

Răspuns: Aria secțiunii diagonale este \( 30 \, \text{cm}^2 \).

Exerciții

1
Într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată lungimile laturilor bazelor sunt egale cu 8 cm și 2 cm, iar lungimea înălțimii este egală cu 4 cm. Să se afle aria totală a trunchiului.
2
Într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată lungimile laturilor bazelor sunt egale cu 8 cm și 4 cm, iar lungimea înălțimii este egală cu 12 cm. Să se determine aria laterală a trunchiului.
3
Muchia laterală a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată are lungimea de 3 cm, iar laturile bazelor de 5 cm și 1 cm. Să se afle volumul trunchiului.
4
Să se determine volumul unui trunchi de piramidă patrulateră regulată, diagonala căruia are 9 cm, iar laturile bazelor au lungimile de 7 cm și 5 cm.
Înapoi Următor