Prisma Triunghiulară
1. Definiție
O prismă triunghiulară este caracterizată de:
- Două baze triunghiulare congruente și paralele.
- Trei fețe laterale dreptunghiulare.
- 12 muchii și 6 vârfuri.
- Unghiul dintre două fețe laterale este definit prin unghiul diedru.
2. Tipuri de prisme triunghiulare
- Prismă dreaptă: Muchiile laterale sunt perpendiculare pe bază.
- Prismă oblică: Muchiile laterale nu sunt perpendiculare pe bază.
- Prismă regulată: Baza este un triunghi echilateral.
3. Formule importante
3.1. Aria laterală
Aria laterală este suma ariilor celor trei fețe laterale:
\[ A_{lat} = P_{b} \cdot h \]
Unde:
- \(P_{b}\) este perimetrul triunghiului care formează baza.
- \(h\) este înălțimea prismei (distanța dintre cele două baze).
3.2. Aria totală
Aria totală este suma ariei laterale și a ariilor celor două baze:
\[ A_{tot} = A_{lat} + 2 \cdot A_{b} \]
3.3. Volumul
Volumul prismei triunghiulare se calculează astfel:
\[ V = A_{b} \cdot h \]
Unde \(A_{b}\) este aria triunghiului care formează baza.
4. Exemplu rezolvat
Exemplu: Fie o prismă triunghiulară cu baza triunghi isoscel având baza \(b = 6 \;\text{cm}\) și înălțimea \(h_b = 4 \;\text{cm}\). Înălțimea prismei este \(h = 10 \;\text{cm}\). Calculați aria totală și volumul prismei.
4.1. Calculul ariei bazei
Aria bazei este:
\[ A_{b} = \frac{b \cdot h_b}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12 \;\text{cm}^2 \]
4.2. Calculul perimetrului bazei
Perimetrul bazei triunghiului isoscel este:
\[ P_{b} = b + 2 \cdot l = 6 + 2 \cdot 5 = 16 \;\text{cm} \]
\(l = 5 \;\text{cm}\) este lungimea unei laturi egale a triunghiului, determinată prin teorema lui Pitagora.
4.3. Aria laterală
Aria laterală este:
\[ A_{lat} = P_{b} \cdot h = 16 \cdot 10 = 160 \;\text{cm}^2 \]
4.4. Aria totală
Aria totală este:
\[ A_{tot} = A_{lat} + 2 \cdot A_{b} = 160 + 2 \cdot 12 = 184 \;\text{cm}^2 \]
4.5. Volumul
Volumul este:
\[ V = A_{b} \cdot h = 12 \cdot 10 = 120 \;\text{cm}^3 \]
Exerciții
1
Baza prismei triunghiulare \(ABCA_1B_1C_1\) este un triunghi echilateral cu latura de \(6 \, \text{cm}\). Muchia laterală \(AA_1\) formează cu planul bazei un unghi de \(60^\circ\). Se știe că proiecția punctului \(A_1\) pe planul bazei coincide cu mijlocul laturii \(BC\). Să se afle:
a) înălțimea prismei;
b) distanța de la punctul \(A_1\) până la mijlocul laturii \(B_1C_1\).
a) înălțimea prismei;
b) distanța de la punctul \(A_1\) până la mijlocul laturii \(B_1C_1\).
2
Baza unei prisme drepte este un triunghi dreptunghic, a cărui ipotenuză este de două ori mai mare decât o catetă. Să se afle măsurile unghiurilor diedre formate de fețele laterale.