Item 4 - toate variantele posibile
Exerciții
1
Determinați valorile reale ale lui \( x \) și \( y \) pentru care \( (1+i)xi + (2-3i)y = 3 - 2i \).
2
Fie \( z_1 \) și \( z_2 \) soluțiile complexe ale ecuației \( z^2 + (2 + i)z + 3 + i = 0 \). Determinați \( |z_1 + z_2| \).
3
Știind că \(\displaystyle \sin \alpha = \frac{3}{5} \), să se calculeze \( \cos 2\alpha \).
4
Se consideră expresia \(\displaystyle E(x) = \frac{\cos^4 x + \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\sin^2 x} \). Arătați că \(\displaystyle E\left( \frac{\pi}{6} \right) \) este număr natural.
5
Determinați numarul complex \(z\): \(z - 4\overline{z} = -2z - 3\overline{z} + 4 + 4i\)
6
Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( (2 - 3i)(1 + 2i) - iz = i - z \).
7
Să se determine numerele complexe \( z \), care verifică relația \( z^2 - 2(z + \bar{z}) + 4 = 0 \).
8
Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle \frac{2\sin{2x} -4 + 8\cos{x} -2\sin{x}}{2\sin x - \sqrt{3}} = 0 , \quad x \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \)
9
Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( z^2 - 2(1 - i)z + 1 - 2i = 0 \).
10
Determinați numărul complex \( z = a + bi \), \( a, b \in \mathbb{R} \), \( i^2 = -1 \), pentru care \(\displaystyle \frac{2\overline{z}}{z + 5} = 3i, \) unde \( \overline{z} \) este conjugatul lui \( z \).
11
Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle \frac{\sin^2{x}-3\cos{x}+3}{\sqrt{16-x^2}} = 0 \)
12
Fie numărul complex \( z = 1 - 5i \). Arătați că \( w = z + 2i\overline{z} + 3i \) este un număr real, unde \( \overline{z} \) este conjugatul lui \( z \).
13
Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația: \(\displaystyle 2\sin^2 x -2\sin x + \operatorname{tg} x \cdot \cos x -1 = 0 , \quad x \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \)
14
Determinați numărul complex \( z = a + bi, a, b \in \mathbb{R} \), pentru care \(3 + i\bar{z} = 2z\), unde \( \bar{z} \) este conjugatul numărului complex \( z \).
15
Determinați numarul complex \(z\): \(\overline{z} = 2z - 3 - 18i\)