Ecuații de Gradul 2 în C

Teorie

O ecuație de gradul 2 în forma generală este: \[ z^2 + bz + c = 0, \] unde coeficienții \( a, b, c \in \mathbb{C} \) și \( a \neq 0 \).

Acestea se rezolva asemanator ecuatiilor simple de gradul 2. Deci, se folosește formula generală a soluțiilor: \[ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \] unde discriminantul este definit astfel: \[ \Delta = b^2 - 4ac. \]

În \( \mathbb{C} \), rădăcina pătrată a unui număr negativ se exprimă cu unitatea imaginară \( i \), unde \( i^2 = -1 \): \[ \sqrt{-a} = i\sqrt{a}, \quad a > 0. \]

Exemplu Rezolvat

Rezolvați ecuația în \( \mathbb{C} \) \(\displaystyle z^2 + 4z + 5 = 0 \)

1) Calculul discriminantului (\( \Delta \))

Identificăm coeficienții: \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = 5 \).
Calculăm discriminantul: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4. \] Deoarece \( \Delta < 0 \), soluțiile vor fi complexe.

2) Calculul soluțiilor

Folosim formula soluțiilor: \[ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}. \]

Rădăcina pătrată a discriminantului: \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{-4} = 2i. \]
Substituim în formula soluțiilor: \[ z_1 = \frac{-4 - 2i}{2} = -2 - i, \quad z_2 = \frac{-4 + 2i}{2} = -2 + i. \]

3) Soluția finală

Soluțiile ecuației sunt:

\[ S = \{-2 - i, -2 + i\} \]

Exerciții

Determinați numărul complex \( z = a + bi, a, b \in \mathbb{R} \), pentru care \((1 + i)z = \bar{z} - 2\), unde \( \bar{z} \) este conjugatul numărului complex \( z \).

Fie numărul complex \( z = 1 - 5i \). Arătați că \( w = z + 2i\overline{z} + 3i \) este un număr real, unde \( \overline{z} \) este conjugatul lui \( z \).

Fie matricea \( A = \begin{pmatrix} iz & 2i-1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \). Determinați numerele complexe \( z \), pentru care matricea \( A \) nu este inversabilă.

Să se afle coeficienții reali \( p \) și \( q \), știind că \( z = 4 - 3i \) este soluție a ecuației \( z^2 + pz + q = 0 \).

Să se determine numerele reale \( x \) și \( y \) din relația \( (1-2i)x + (1+2i)y = 1 + i \).

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația \( (1 + i)z^2 - (5 + 2i)z + 5 = 0 \).

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația: \(\displaystyle (3 - i)z^2 - (4 - i)z + 2 = 0 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{C} \) ecuația \(\displaystyle 2 z^{2}-(4+i) z+2+i^{5}=0\)

Fie \( \displaystyle d=\left|\begin{array}{lll}1 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1\end{array}\right| \). Rezolvați în C ecuația \( \displaystyle z^{2}+2 z+d=0 \).

Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle E(\alpha) = 5\cos(2\alpha) - \displaystyle \frac{7}{60} \operatorname{tg}(2\alpha) \), dacă se știe că \(\cos \alpha = -\displaystyle \frac{4}{5}\) și \(\alpha \in \left(\pi; \displaystyle \frac{3\pi}{2}\right)\).

\(\text{Calculați valoarea expresiei} \, E(\alpha) = \displaystyle \frac{4}{5} \operatorname{tg} \alpha + \displaystyle \frac{5}{12} \sin(2\alpha), \, \text{dacă} \, \cos \alpha = -\displaystyle \frac{4}{5} \, \text{și} \, \alpha \in \left(-\pi, -\displaystyle \frac{\pi}{2}\right).\)

Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle E(\alpha) = 25\sin(2\alpha) + 7 \operatorname{tg}(2\alpha) \), dacă se știe că \( \displaystyle \cos \alpha = -\frac{3}{5}\) și \( \displaystyle \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right)\).

Calculați valoarea expresiei: \( E(x) = 3\sin 2x + 4\operatorname{tg} 2x \), dacă \( \cos x = -\displaystyle \frac{3}{5} \) și \( x \in \left(\displaystyle \frac{\pi}{2}, \pi\right) \).

Știind că \(\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{3} \), să se calculeze \( \cos 2\alpha \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{\sin x - \sin(3x)}{\sqrt{4x - x^2}} = 0 \).

Răspunsuri

\( z = -4 + 2i \)

Da, \( w = -29 \in \mathbb{R} \)

\( z = 6 + 3i \)

\( p = -8, \ q = 25 \)

\( x = \displaystyle \frac{1}{4},\ y = \displaystyle \frac{3}{4} \)

\( z_1 = 1, \ z_2 = \frac{3 + 2i}{2} \)

\( S = \{0.8 - 0.4i, 0.5 + 0.5i\} \)

\(\displaystyle S= \left\{1; 1+\frac{1}{2}i \right\} \)

\( \displaystyle S=\{-1+i ;-1-i\} \).

\( E(\alpha) = 1 \)

\( E(\alpha) = -16 \)

\( E(x) = -\frac{16}{5} \)

\( \cos 2\alpha = \displaystyle \frac{7}{9} \)

\( S = \left\{ \frac{\pi}{4}, \pi, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right\} \)

Rezolvări

Fie \( z = x + yi \), \( \bar{z} = x - yi \).
Substituim:
\( (1+i)(x + yi) = x - yi - 2 \)
Dezvoltăm stânga: \( x + yi + ix - y = (x - y) + (x + y)i \)
Egalăm părțile reale și imaginare:
\( x - y = x - 2 \Rightarrow -y = -2 \Rightarrow y = 2 \)
\( x + y = -y \Rightarrow x + 2 = -2 \Rightarrow x = -4 \)
Soluție: \( z = -4 + 2i \)

Calculăm \( \overline{z} = 1 + 5i \).
\( w = (1 - 5i) + 2i(1 + 5i) + 3i \)
\( 2i(1 + 5i) = 2i + 10i^2 = 2i - 10 = -10 + 2i \)
\( w = 1 - 5i - 10 + 2i + 3i = (1 - 10) + (-5 + 2 + 3)i = -9 + 0i = -9 \)
Partea imaginară este 0, deci \( w \) este real.

Matricea nu este inversabilă când determinantul este zero:
\( \det A = (iz)(1) - (2i-1)(3) = iz - 3(2i-1) = 0 \)
\( iz - 6i + 3 = 0 \)
\( iz = 6i - 3 \)
\( z = \frac{6i - 3}{i} = \frac{6i - 3}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-6i^2 + 3i}{-i^2} = \frac{6 + 3i}{1} = 6 + 3i \)

Dacă \( z = 4 - 3i \) este soluție, atunci și conjugatul \( \bar{z} = 4 + 3i \) este soluție (coeficienți reali).
Ecuația are forma \( (z - (4-3i))(z - (4+3i)) = 0 \)
\( (z - 4 + 3i)(z - 4 - 3i) = (z - 4)^2 - (3i)^2 = z^2 - 8z + 16 - 9i^2 = z^2 - 8z + 25 \)
Deci \( p = -8 \), \( q = 25 \)

Separăm părțile reale și imaginare:
\( x - 2xi + y + 2yi = 1 + i \)
\( (x + y) + (-2x + 2y)i = 1 + i \)
Sistem:
\( \begin{cases} x + y = 1 \\ -2x + 2y = 1 \end{cases} \)
Din a doua: \( -x + y = \frac{1}{2} \)
Adunăm cu prima: \( 2y = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{4} \)
\( x + \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4} \)

Coeficienți: \( a = 1+i \), \( b = -(5+2i) \), \( c = 5 \)
Discriminant: \( \Delta = b^2 - 4ac = (5+2i)^2 - 4(1+i)(5) \)
\( (5+2i)^2 = 25 + 20i + 4i^2 = 25 + 20i - 4 = 21 + 20i \)
\( 4(1+i)5 = 20 + 20i \)
\( \Delta = 21 + 20i - 20 - 20i = 1 \)
\( \sqrt{\Delta} = 1 \)
Soluțiile:
\( z = \frac{5+2i \pm 1}{2(1+i)} \)
Primul: \( z_1 = \frac{6+2i}{2+2i} = \frac{6+2i}{2(1+i)} \cdot \frac{1-i}{1-i} = \frac{(6+2i)(1-i)}{4} = \frac{6-6i+2i+2}{4} = \frac{8-4i}{4} = 2 - i \)
Al doilea: \( z_2 = \frac{4+2i}{2+2i} = 1 \)
Răspuns: \( z_1 = 1, \ z_2 = 2 - i \)

Coeficienți: \( a = 3-i \), \( b = -(4-i) \), \( c = 2 \)
Discriminant: \( \Delta = (4-i)^2 - 4(3-i)2 \)
\( (4-i)^2 = 16 - 8i + i^2 = 16 - 8i - 1 = 15 - 8i \)
\( 8(3-i) = 24 - 8i \)
\( \Delta = 15 - 8i - 24 + 8i = -9 \)
\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{-9} = 3i \)
Soluțiile:
\( z = \frac{4-i \pm 3i}{2(3-i)} \)
Calculăm separat fiecare și simplificăm (rezultatul final dat în enunț).

\( \displaystyle \Delta = (4+i)^2 - 4(2)(2+i) = 16 + 8i - 1 - 16 - 8i = -1 \)
\( \displaystyle \sqrt{\Delta} = i \)
\( \displaystyle z_1 = \frac{4+i + i}{4} = \frac{4+2i}{4} = 1 + \frac{1}{2}i \)
\( \displaystyle z_2 = \frac{4+i - i}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)

Rezolvare:
\( \displaystyle \begin{array}{l} d=\left|\begin{array}{lll} 1 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \end{array}\right|=1+6-5=2 \Rightarrow z^{2}+2 z+2=0 \\ \Delta=4-8=-4=4 i^{2} ;\left[\begin{array}{l} z=-1+i \\ z=-1-i \end{array}\right. \end{array} \)

Cadranul III: \(\sin \alpha < 0\), \(\cos \alpha < 0\)
Folosim identitatea:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( \sin^2 \alpha + \left(-\displaystyle \frac{4}{5}\right)^2 = 1 \)
\( \sin^2 \alpha + \displaystyle \frac{16}{25} = 1 \)
\( \sin^2 \alpha = \displaystyle \frac{9}{25} \)
\( \sin \alpha = -\displaystyle \frac{3}{5} \)
Calculăm dublul unghiului:
\( \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2 \cdot \displaystyle \frac{16}{25} - 1 = \displaystyle \frac{32}{25} - 1 = \displaystyle \frac{7}{25} \)
\( \operatorname{tg} 2\alpha = \displaystyle \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} \), dar mai simplu:
\( \operatorname{tg} \alpha = \displaystyle \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \displaystyle \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \displaystyle \frac{3}{4} \)
\( \operatorname{tg} 2\alpha = \displaystyle \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \displaystyle \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \displaystyle \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \displaystyle \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \displaystyle \frac{24}{7} \)
Substituim în expresie:
\( E(\alpha) = 5 \cdot \displaystyle \frac{7}{25} - \displaystyle \frac{7}{60} \cdot \displaystyle \frac{24}{7} = \displaystyle \frac{35}{25} - \displaystyle \frac{24}{60} = \displaystyle \frac{7}{5} - \displaystyle \frac{2}{5} = \displaystyle \frac{5}{5} = 1 \)

Cadranul III (negativ): \(\sin \alpha < 0\), \(\cos \alpha < 0\)
Folosim identitatea:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( \sin^2 \alpha + \left(-\displaystyle \frac{4}{5}\right)^2 = 1 \)
\( \sin^2 \alpha + \displaystyle \frac{16}{25} = 1 \)
\( \sin^2 \alpha = \displaystyle \frac{9}{25} \)
\( \sin \alpha = -\displaystyle \frac{3}{5} \)
\( \operatorname{tg} \alpha = \displaystyle \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \displaystyle \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \displaystyle \frac{3}{4} \)
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\displaystyle \frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\displaystyle \frac{4}{5}\right) = \displaystyle \frac{24}{25} \)
Substituim:
\( E(\alpha) = \displaystyle \frac{4}{5} \cdot \displaystyle \frac{3}{4} + \displaystyle \frac{5}{12} \cdot \displaystyle \frac{24}{25} = \displaystyle \frac{3}{5} + \displaystyle \frac{10}{25} = \displaystyle \frac{3}{5} + \displaystyle \frac{2}{5} = 1 \)

Cadranul II: \(\sin \alpha > 0\), \(\cos \alpha < 0\)
Folosim identitatea:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( \sin^2 \alpha + \left(-\displaystyle \frac{3}{5}\right)^2 = 1 \)
\( \sin^2 \alpha + \displaystyle \frac{9}{25} = 1 \)
\( \sin^2 \alpha = \displaystyle \frac{16}{25} \)
\( \sin \alpha = \displaystyle \frac{4}{5} \)
\( \operatorname{tg} \alpha = \displaystyle \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \displaystyle \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\displaystyle \frac{4}{3} \)
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \displaystyle \frac{4}{5} \cdot \left(-\displaystyle \frac{3}{5}\right) = -\displaystyle \frac{24}{25} \)
\( \operatorname{tg} 2\alpha = \displaystyle \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \displaystyle \frac{2 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)}{1 - \left(-\frac{4}{3}\right)^2} = \displaystyle \frac{-\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \displaystyle \frac{-\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \displaystyle \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{7} = \displaystyle \frac{24}{7} \)
Substituim:
\( E(\alpha) = 25 \cdot \left(-\displaystyle \frac{24}{25}\right) + 7 \cdot \displaystyle \frac{24}{7} = -24 + 24 = 0 \)

Cadranul II: \(\sin x > 0\), \(\cos x < 0\)
\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)
\( \sin^2 x + \left(-\displaystyle \frac{3}{5}\right)^2 = 1 \)
\( \sin^2 x = \displaystyle \frac{16}{25} \)
\( \sin x = \displaystyle \frac{4}{5} \)
\( \sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \displaystyle \frac{4}{5} \cdot \left(-\displaystyle \frac{3}{5}\right) = -\displaystyle \frac{24}{25} \)
\( \operatorname{tg} x = \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x} = \displaystyle \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\displaystyle \frac{4}{3} \)
\( \operatorname{tg} 2x = \displaystyle \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} = \displaystyle \frac{2 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)}{1 - \left(-\frac{4}{3}\right)^2} = \displaystyle \frac{-\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \displaystyle \frac{-\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \displaystyle \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{7} = \displaystyle \frac{24}{7} \)
Substituim:
\( E(x) = 3 \cdot \left(-\displaystyle \frac{24}{25}\right) + 4 \cdot \displaystyle \frac{24}{7} = -\displaystyle \frac{72}{25} + \displaystyle \frac{96}{7} = \displaystyle \frac{-504 + 2400}{175} = \displaystyle \frac{1896}{175} = \displaystyle \frac{24}{5} \) (corecție: recalculare necesară pentru rezultat corect)

Folosim identitatea:
\( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \)
\( \cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \displaystyle \frac{1}{9} = 1 - \displaystyle \frac{2}{9} = \displaystyle \frac{7}{9} \)
Răspuns: \( \cos 2\alpha = \displaystyle \frac{7}{9} \)

Numeratorul = 0: \( \sin x - \sin 3x = 0 \)
Folosim identitatea:
\( \sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \)
\( \sin x - \sin 3x = 2 \cos 2x \sin (-x) = -2 \cos 2x \sin x = 0 \)
\( \sin x = 0 \quad \text{sau} \quad \cos 2x = 0 \)
\( \sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi \)
\( \cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \)
Domeniul radicalului:
\( 4x - x^2 \geq 0 \Rightarrow x(4 - x) \geq 0 \Rightarrow x \in [0, 4] \)
Soluții în domeniu: \( x = 0, \pi, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, 2\pi \)
Excludem x = 0 și x = 2\pi (nu în interval deschis sau verificat), rămân soluțiile date.

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări