Puncte de inflexiune

Ce este derivata a doua?

Derivata a doua a unei funcții, notată cu \( f''(x) \), reprezintă derivata primei derivate a funcției.

Derivata a doua se calculează aplicând regula de derivare asupra primei derivate:

\( f'(x) \): prima derivată
\( f''(x) = (f'(x))' \): derivata a doua

Metoda de identificare a punctelor de inflexiune

Calculăm derivata a doua a funcției, \( f''(x) \).
Rezolvăm ecuația \( f''(x) = 0 \) pentru a găsi punctele critice.
Construim un tabel pentru a analiza semnele lui \( f''(x) \) înainte și după punctele critice.
Dacă semnul lui \( f''(x) \) se schimbă (de la „-” la „+” sau invers), atunci punctul respectiv este un punct de inflexiune. În caz contrar, nu este punct de inflexiune.

Exemplu

Fie funcția \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x \). Determinăm punctele de inflexiune.

1. Calculăm derivata a doua

\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)
\( f''(x) = 6x - 6 \)

2. Rezolvăm ecuația \( f''(x) = 0 \)

\( 6x - 6 = 0 \)
\( x = 1 \)

3. Analizăm semnul lui \( f''(x) \) folosind un tabel

\( x \)	\( (-\infty, 1) \)	\( 1 \)	\( (1, \infty) \)
\( f''(x) \)	\( - \)	\( 0 \)	\( + \)

În \( x = 1 \), semnul lui \( f''(x) \) se schimbă de la „-” la „+”. Prin urmare, \( x = 1 \) este un punct de inflexiune.

Răspuns: \( x = 1 \) este punctul de inflexiune.

Exerciții

Fie funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = e^{2x} - 2x^2\). Determinați punctele de inflexiune ale funcției \(f\).

Fie funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = 3x^5 - 5x^4\). Determinați punctele de inflexiune ale funcției \(f\).

Demonstrați că graficul funcției \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = x^3 - 3x^2\) admite un singur punct de inflexiune.

Se consideră funcția \(f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, \, f(x) = 2x\ln x - x^2 + 3\). Determinați punctele de inflexiune ale funcției \(f\).

Fie funcția \( \displaystyle f: R \rightarrow R, f(x)=3 x^{5}-5 x^{4} \). Aflați punctele de inflexiune ale funcției.

Răspunsuri

\( x = 0\) este punct de inflexiune

\(x = 1\) este punct de inflexiune

\(x=1\) este punct de inflexiune

\(x = 1\) este punct de inflexiune

\( \displaystyle x=1 \) este punct de inflexiune.

Rezolvări

Calculăm derivatele de ordinul întâi și al doilea: \(f'(x) = 2e^{2x} - 4x\) \(f''(x) = 4e^{2x} - 4 = 4(e^{2x} - 1)\) Punem condiția \( f''(x) = 0 \), adică \( 4(e^{2x} - 1) = 0 \), deci \( e^{2x} = 1 \), de unde \( 2x = 0 \), deci \( x = 0 \). Analizăm semnul derivatei a doua:

x	\((-\infty, 0)\)	\(0\)	\((0, +\infty)\)
f''(x)	-	0	+
f(x)	∩	Inf	∪

Punctul de inflexiune este \(x = 0\).

Calculăm derivatele de ordinul întâi și al doilea: \(f'(x) = 15x^4 - 20x^3\) \(f''(x) = 60x^3 - 60x^2 = 60x^2(x - 1)\) Punem condiția \( f''(x) = 0 \), adică \( 60x^2(x - 1) = 0 \), deci \( x = 0 \) și \( x = 1 \). Analizăm semnul derivatei a doua:

x	\((-\infty, 0)\)	\(0\)	\((0, 1)\)	\(1\)	\((1, +\infty)\)
f''(x)	-	0	-	0	+
f(x)	∩		∩	Inf	∪

Punctul de inflexiune este \(x = 1\). Deși \(f''(0) = 0\), nu avem schimbare de concavitate în \(x=0\).

Calculăm derivatele de ordinul întâi și al doilea: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\) \(f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)\) Punem condiția \( f''(x) = 0 \), adică \( 6(x - 1) = 0 \), deci \( x = 1 \). Analizăm semnul derivatei a doua:

x	\((-\infty, 1)\)	\(1\)	\((1, +\infty)\)
f''(x)	-	0	+
f(x)	∩	Inf	∪

Deoarece există o schimbare de concavitate în \(x=1\), graficul funcției admite un singur punct de inflexiune.

Calculăm derivatele de ordinul întâi și al doilea: \(f'(x) = 2\ln x + 2x \cdot \displaystyle \frac{1}{x} - 2x = 2\ln x + 2 - 2x\) \(f''(x) = \displaystyle \frac{2}{x} - 2 = 2\left(\frac{1}{x} - 1\right) = 2\left(\frac{1-x}{x}\right)\) Punem condiția \( f''(x) = 0 \), adică \( 2\left(\frac{1-x}{x}\right) = 0 \), deci \( 1 - x = 0 \), de unde \( x = 1 \). Analizăm semnul derivatei a doua:

x	\((0, 1)\)	\(1\)	\((1, +\infty)\)
f''(x)	+	0	-
f(x)	∪	Inf	∩

Punctul de inflexiune este \(x = 1\).

Rezolvare:
Calculăm prima derivată: \( \displaystyle f'(x)=15 x^{4}-20 x^{3} \).
Calculăm a doua derivată: \( \displaystyle f''(x)=60 x^{3}-60 x^{2}=60 x^{2}(x-1) \).
Determinăm punctele în care a doua derivată este zero: \( \displaystyle f''(x)=0 \Leftrightarrow x=0 \) sau \( \displaystyle x=1 \).
Construim tabelul de variație al funcției \( \displaystyle f \):
\( \displaystyle \begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline f'' & -\cdots- & 0 & -\ldots-- & 0 & +++++ \\ \hline f & & f(0) & & f(1) & \\ \hline \end{array} \)
Observăm că în \( \displaystyle x=0 \) semnul derivatei a doua nu se schimbă, deci nu este punct de inflexiune. În \( \displaystyle x=1 \) semnul derivatei a doua se schimbă, deci este punct de inflexiune.

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări