Limitele sunt concepte fundamentale în analiza matematică, care ne permit să evaluăm comportamentul unei funcții în apropierea unui punct sau la infinit.
Metoda L'Hôpital
Exemplu:
Calculați \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 8x + 12}{x^2 - 4}\):
\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 8x + 12}{x^2 - 4} = \left[\frac{0}{0}\right] = \lim_{x \to 2} \frac{2x - 8}{2x} = \frac{4 - 8}{4} = -1 \]
Limite cu radicali
În cazul limitelor care implică radicali, amplificarea este un pas cheie pentru a simplifica expresia:
Exemplu:
Calculați \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(x^2 - \sqrt{x^4 + x^2 + 1}\right)\):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - \sqrt{x^4 + x^2 + 1}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\left(x^2 - \sqrt{x^4 + x^2 + 1}\right) \cdot \left(x^2 + \sqrt{x^4 + x^2 + 1}\right)}{x^2 + \sqrt{x^4 + x^2 + 1}} \] \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2}{2x^2} = -\frac{1}{2} \]
Limite remarcabile
Limitele remarcabile sunt formule uzuale utilizate pentru a evalua rapid anumite tipuri de limite:
- \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)
- \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}} = e\)
1
Calculați limita \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{(n-1)^2 - (n+1)^2}{2n+1}\)
Răspuns: -2
2
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2 - x - x^2}{x^2 + 3x - 5}\)
Răspuns: \(-1\)
3
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^4 + 3x - 1}{x^4 + 2}\)
Răspuns: \(2\)
4
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{7 - 8x + 3x^3}{5x^3 + 2x - 1}\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{3}{5}\)
5
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( 3x - \sqrt{9x^2 - 2x + 2} \right)\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{1}{3} \)
6
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( x - \sqrt{x^2 + 2x + 4} \right)\)
Răspuns: \(-1 \)
7
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^3}{x^2 + x + 2} - \frac{x^2 + 1}{x} \right)\)
Răspuns: \(-1\)
8
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^3}{2x^2 - 1} - \frac{x^2}{2x + 1} \right)\)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{4} \)
9
\(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x^3 - 4x^2}\)
Răspuns: \(0\)
10
\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^4 - 2x^3}{x^2 - 4}\)
Răspuns: \(2\)
11
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 6x}{2e^x - 2}\)
Răspuns: \(3\)
12
Calculaţi limita șirului \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}
\frac{\sqrt{9 n^{2}+5 n}}{n-1}. \)
Răspuns: \(3\)
13
Calculați limita \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow-1} \frac{3 x^{2}+5 x+2}{2 x^{2}+3 x+1} \)
Răspuns: 1
14
Calculați limita \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{4+5 x}-3}{1-x} \)
Răspuns: \( \displaystyle -\frac{5}{6} \)
15
Calculați limita \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 10} \frac{3-\sqrt{x-1}}{10-x} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{6} \)
16
Calculați limita \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x+2}-\frac{x^{2}+3}{x-3}\right) \)
Răspuns: -5
17
Calculați limita \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+6 x+3}-x\right) \)
Răspuns: 3
18
Calculați limita \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2 x+1}-1}{\sqrt{3 x+4}-2} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{4}{3} \)
19
Calculați limita: \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x^{3}} \)
20
Calculați limita: \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+x^{2}+3 x+5}{e^{2 x}} \)
4
\(\displaystyle \frac{3}{5}\)
5
\(\displaystyle \frac{1}{3} \)
8
\( \displaystyle \frac{1}{4} \)
14
\( \displaystyle -\frac{5}{6} \)
15
\( \displaystyle \frac{1}{6} \)
18
\( \displaystyle \frac{4}{3} \)
1
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n-1)^2 - (n+1)^2}{2n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 2n + 1 - n^2 - 2n - 1}{2n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{-4n}{2n + 1} = -2 \)
2
Aplicăm regula lui L'Hospital. Derivăm partea de sus și de jos a fracției: - Derivata părții de sus: \( -1 - 2x \) - Derivata părții de jos: \( 2x + 3 \) Astfel, limita devine: \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{-1 - 2x}{2x + 3} \) Aplicăm din nou regula lui L'Hospital: - Derivata părții de sus: \( -2 \) - Derivata părții de jos: \( 2 \) Limita finală este: \( \frac{-2}{2} = -1 \)
3
Aplicăm regula lui L'Hospital. Derivăm partea de sus și de jos a fracției: - Derivata părții de sus: \( 8x^3 + 3 \) - Derivata părții de jos: \( 4x^3 \) Astfel, limita devine: \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{8x^3 + 3}{4x^3} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{24x^2}{12x^2} = \frac{24}{12} = 2 \)
4
Aplicăm regula lui L'Hospital. Derivăm partea de sus și de jos a fracției: - Derivata părții de sus: \( -8 + 9x^2 \) - Derivata părții de jos: \( 15x^2 + 2 \) Astfel, limita devine: \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{-8 + 9x^2}{15x^2 + 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{9x^2}{15x^2} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \).
5
Folosind amplificarea conjugatului, scriem: \(\displaystyle 3x - \sqrt{9x^2 - 2x + 2} = \frac{\left( 3x - \sqrt{9x^2 - 2x + 2} \right)\left( 3x + \sqrt{9x^2 - 2x + 2} \right)}{3x + \sqrt{9x^2 - 2x + 2}} \) Numeratorul devine: \( (3x)^2 - \left( \sqrt{9x^2 - 2x + 2} \right)^2 = 9x^2 - (9x^2 - 2x + 2) = 2x - 2 \) Astfel, fracția devine: \(\displaystyle \frac{2x - 2}{3x + \sqrt{9x^2 - 2x + 2}} \) Divizăm atât numărătorul, cât și numitorul cu \( x \): \(\displaystyle \frac{2(1 - 1/x)}{3 + \sqrt{9 - 2/x + 2/x^2}} \) La limita când \( x \to +\infty \), termenii \(\displaystyle \frac{1}{x} \) și \(\displaystyle \frac{1}{x^2} \) dispar, astfel că limita devine: \(\displaystyle \frac{2}{3 + 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
6
Folosind amplificarea conjugatului, scriem: \(\displaystyle x - \sqrt{x^2 + 2x + 4} = \frac{\left( x - \sqrt{x^2 + 2x + 4} \right)\left( x + \sqrt{x^2 + 2x + 4} \right)}{x + \sqrt{x^2 + 2x + 4}} \) Numeratorul devine: \( x^2 - \left( \sqrt{x^2 + 2x + 4} \right)^2 = x^2 - (x^2 + 2x + 4) = -2x - 4 \) Astfel, fracția devine: \(\displaystyle \frac{-2x - 4}{x + \sqrt{x^2 + 2x + 4}} \) Divizăm atât numărătorul, cât și numitorul cu \( x \): \(\displaystyle \frac{-2(1 + 2/x)}{1 + \sqrt{1 + 2/x + 4/x^2}} \) La limita când \( x \to +\infty \), termenii \(\displaystyle \frac{1}{x} \) și \(\displaystyle \frac{1}{x^2} \) dispar, astfel că limita devine: \(\displaystyle \frac{-2}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1 \).
7
Mai întâi combinăm cele două fracții într-o singură fracție:
\[ \displaystyle \frac{x^3}{x^2+x+2} - \frac{x^2+1}{x} = \frac{x^3\cdot x - (x^2+1)(x^2+x+2)}{x\left(x^2+x+2\right)}. \]
Calculăm numărătorul:
\[ \displaystyle (x^2+1)(x^2+x+2)=x^4+x^3+2x^2+x^2+x+2=x^4+x^3+3x^2+x+2. \]
Astfel, numărătorul devine:
\[ \displaystyle x^4-\Bigl(x^4+x^3+3x^2+x+2\Bigr)=-x^3-3x^2-x-2. \]
Deci limita se reduce la:
\[ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^3-3x^2-x-2}{x\left(x^2+x+2\right)}=\lim_{x \to +\infty} \frac{-x^3-3x^2-x-2}{x^3+x^2+2x}. \]
Aplicăm regula lui L'Hospital prin derivarea părții de sus și a părții de jos:
Derivata numărătorului: \( N'(x)= -3x^2-6x-1 \).
Derivata numitorului: \( D'(x)= 3x^2+2x+2 \).
Astfel, limita devine:
\[ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x^2-6x-1}{3x^2+2x+2}. \]
La \( x \to +\infty \), raportul coeficienților de la \( x^2 \) este: \[ \displaystyle \frac{-3}{3}=-1. \]
8
Mai întâi combinăm cele două fracții într-o singură fracție:
\( \displaystyle \frac{x^3}{2x^2-1} - \frac{x^2}{2x+1} = \frac{x^3(2x+1) - x^2(2x^2-1)}{(2x^2-1)(2x+1)} \)
Calculăm numărătorul:
\( \displaystyle x^3(2x+1)=2x^4+x^3 \)
\( \displaystyle x^2(2x^2-1)=2x^4-x^2 \)
Astfel, numărătorul devine:
\( \displaystyle 2x^4+x^3 - (2x^4-x^2)=x^3+x^2 \)
Deci limita se reduce la:
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3+x^2}{(2x^2-1)(2x+1)} \)
Observăm că \( \displaystyle (2x^2-1)(2x+1)=4x^3+2x^2-2x-1 \), deci limita este:
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3+x^2}{4x^3+2x^2-2x-1} \)
Aplicăm regula lui L'Hospital (deoarece avem forma nedeterminată de tip \( \frac{\infty}{\infty} \)) prin derivarea părții de sus și a părții de jos:
Derivata numărătorului: \( \displaystyle N'(x)= (x^3)'+(x^2)'=3x^2+2x \)
Derivata numitorului: \( \displaystyle D'(x)= (4x^3)' + (2x^2)' - (2x)' - (1)'=12x^2+4x-2 \)
Astfel, limita devine:
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+2x}{12x^2+4x-2} \)
Împărțim numărătorul și numitorul la \( x^2 \):
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3+\frac{2}{x}}{12+\frac{4}{x}-\frac{2}{x^2}} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \)
Deci, limita este \( \displaystyle \frac{1}{4} \).
9
Înlocuind \( x = 4 \):
Numerator: \(4^2 - 16 = 16 - 16 = 0\).
Numitor: \(4^3 - 4(4^2) = 64 - 64 = 0\).
Obținem forma \(\displaystyle \frac{0}{0} \), deci putem aplica regula lui L'Hospital.
Derivăm partea de sus și partea de jos:
Derivata numărătorului: \( (x^2 - 16)' = 2x \).
Derivata numitorului: \( (x^3 - 4x^2)' = 3x^2 - 8x \).
Astfel, limita devine: \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{3x^2 - 8x} \).
Simplificăm: \(\displaystyle \frac{2x}{x(3x-8)} = \frac{2}{3x-8} \).
La \( x \to +\infty \), \(3x-8 \to +\infty\) și limita este \(0\)
10
Înlocuind \( x = 2 \):
Numerator: \(2^4 - 2(2^3) = 16 - 16 = 0\).
Numitor: \(2^2 - 4 = 4 - 4 = 0\).
Obținem forma \(\displaystyle \frac{0}{0} \), deci aplicăm regula lui L'Hospital.
Derivăm partea de sus și partea de jos:
Derivata numărătorului: \( (x^4 - 2x^3)' = 4x^3 - 6x^2 \).
Derivata numitorului: \( (x^2 - 4)' = 2x \).
Astfel, limita devine: \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3 - 6x^2}{2x} \).
Simplificăm: \( \frac{4x^3 - 6x^2}{2x} = \frac{2x^2(2x - 3)}{2x} = x(2x-3) \).
La \( x = 2 \), obținem: \(2(4-3)=2\)
11
Înlocuind \( x = 0 \):
Numerator: \(0^2 + 6\cdot0 = 0\).
Numitor: \(2e^0 - 2 = 2 - 2 = 0\).
Obținem forma \(\displaystyle \frac{0}{0} \), deci se aplică regula lui L'Hospital.
Derivăm partea de sus și partea de jos:
Derivata numărătorului: \( (x^2+6x)' = 2x + 6 \).
Derivata numitorului: \( (2e^x - 2)' = 2e^x \).
Astfel, limita devine: \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x+6}{2e^x} \).
La \( x = 0 \): \( \frac{2\cdot0+6}{2e^0} = \frac{6}{2} = 3 \)
12
Considerăm \( n \) ca variabilă continuă și înlocuim \( n \to +\infty \).
Observăm că la \( n \to \infty \), atât numărătorul cât și numitorul tind la \( \infty \).
Putem aplica L'Hospital; tratăm \( n \) ca variabilă continuă \( x \).
Scriem limita ca: \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2+5x}}{x-1} \).
Înlocuind \( x \to +\infty \) direct, nu obținem forma \( \frac{0}{0} \), ci forma \( \frac{\infty}{\infty} \). Deci se poate aplica L'Hospital.
Derivăm partea de sus și partea de jos:
Derivata numărătorului: \( \displaystyle \left(\sqrt{9x^2+5x}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{9x^2+5x}}(18x+5) \).
Derivata numitorului: \( (x-1)' = 1 \).
Astfel, limita devine: \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{18x+5}{2\sqrt{9x^2+5x}} \).
Împărțim numărătorul și numitorul la \( x \):
\( \displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \frac{18+\frac{5}{x}}{2\sqrt{9+\frac{5}{x}}} = \frac{18}{2\sqrt{9}} = \frac{18}{6} = 3 \)
13
Rezolvare:
Dacă înlocuim \( \displaystyle x = -1 \), obținem \( \displaystyle \frac{0}{0} \), deci putem aplica regula lui L'Hôpital.
Calculăm derivatele numărătorului și numitorului:
\( \displaystyle \frac{d}{dx}(3x^2 + 5x + 2) = 6x + 5 \)
\( \displaystyle \frac{d}{dx}(2x^2 + 3x + 1) = 4x + 3 \)
Limita devine: \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow-1} \frac{6x + 5}{4x + 3} \).
Înlocuim \( \displaystyle x = -1 \): \( \displaystyle \frac{6(-1) + 5}{4(-1) + 3} = \frac{-1}{-1} = 1 \)
14
Rezolvare:
Dacă înlocuim \( \displaystyle x = 1 \), obținem \( \displaystyle \frac{0}{0} \), deci putem aplica regula lui L'Hôpital.
Calculăm derivatele numărătorului și numitorului:
\( \displaystyle \frac{d}{dx}(\sqrt{4 + 5x} - 3) = \frac{5}{2\sqrt{4 + 5x}} \)
\( \displaystyle \frac{d}{dx}(1 - x) = -1 \)
Limita devine: \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{5}{2\sqrt{4 + 5x}}}{-1} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{-5}{2\sqrt{4 + 5x}} \).
Înlocuim \( \displaystyle x = 1 \): \( \displaystyle \frac{-5}{2\sqrt{4 + 5(1)}} = \frac{-5}{2\sqrt{9}} = \frac{-5}{2 \cdot 3} = -\frac{5}{6} \)
15
Rezolvare:
Dacă înlocuim \( \displaystyle x = 10 \), obținem \( \displaystyle \frac{0}{0} \), deci putem aplica regula lui L'Hôpital.
Calculăm derivatele numărătorului și numitorului:
\( \displaystyle \frac{d}{dx}(3 - \sqrt{x - 1}) = -\frac{1}{2\sqrt{x - 1}} \)
\( \displaystyle \frac{d}{dx}(10 - x) = -1 \)
Limita devine: \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 10} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x - 1}}}{-1} = \lim _{x \rightarrow 10} \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} \).
Înlocuim \( \displaystyle x = 10 \): \( \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{10 - 1}} = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \)
16
Rezolvare:
Aducem la același numitor: \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{(x^{2}+1)(x-3)-(x^{2}+3)(x+2)}{(x+2)(x-3)}\right) \).
Simplificăm: \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-5 x^{2}-2 x-9}{x^{2}-x-6} \).
Împărțim numărătorul și numitorul cu \( \displaystyle x^2 \): \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-5-\frac{2}{x}-\frac{9}{x^2}}{1-\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}} \).
Când \( \displaystyle x \to +\infty \), termenii cu \( \displaystyle x \) la numitor tind la 0. Deci, limita este \( \displaystyle \frac{-5}{1} = -5 \)
17
Rezolvare:
Înmulțim cu conjugatul: \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}+6 x+3-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+6 x+3}+x} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{6 x+3}{\sqrt{x^{2}+6 x+3}+x} \).
Împărțim numărătorul și numitorul cu \( \displaystyle x \): \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{6+\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{6}{x}+\frac{3}{x^{2}}}+1} \).
Când \( \displaystyle x \to +\infty \), termenii cu \( \displaystyle x \) la numitor tind la 0. Deci, limita este \( \displaystyle \frac{6}{\sqrt{1}+1} = 3 \)
18
Rezolvare:
Dacă înlocuim \( \displaystyle x = 0 \), obținem \( \displaystyle \frac{0}{0} \), deci putem aplica regula lui L'Hôpital.
Calculăm derivatele numărătorului și numitorului:
\( \displaystyle \frac{d}{dx}(\sqrt{2x + 1} - 1) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \)
\( \displaystyle \frac{d}{dx}(\sqrt{3x + 4} - 2) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 4}} \)
Limita devine: \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{2x + 1}}}{\frac{3}{2\sqrt{3x + 4}}} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2\sqrt{3x + 4}}{3\sqrt{2x + 1}} \).
Înlocuim \( \displaystyle x = 0 \): \( \displaystyle \frac{2\sqrt{3(0) + 4}}{3\sqrt{2(0) + 1}} = \frac{2\sqrt{4}}{3\sqrt{1}} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3} \)
19
Rezolvare:
Aplicăm regula lui L'Hôpital (deoarece avem forma \( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \)): \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x^{3}} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{(\ln x)^{\prime}}{(x^{3})^{\prime}} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{1}{x}}{3 x^{2}} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{3x^3} \).
Când \( \displaystyle x \rightarrow+\infty \), \( \displaystyle \frac{1}{3x^3} \rightarrow 0 \)
20
Rezolvare:
Aplicăm regula lui L'Hôpital (deoarece avem forma \( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \)): \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+x^{2}+3 x+5}{e^{2 x}} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{2}+2 x+3}{2 e^{2 x}} \).
Aplicăm regula lui L'Hôpital din nou: \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{2}+2 x+3}{2 e^{2 x}} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{6 x+2}{4 e^{2 x}} \).
Aplicăm regula lui L'Hôpital a treia oară: \( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{6 x+2}{4 e^{2 x}} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{6}{8 e^{2 x}} \).
Când \( \displaystyle x \rightarrow+\infty \), \( \displaystyle \frac{6}{8 e^{2 x}} \rightarrow 0 \)