Integrala definită în modul

Pentru a rezolva o integrală definită care conține modulul funcției, trebuie să determinăm intervalele pe care expresia din modul își schimbă semnul. Astfel, împărțim integrala în mai multe integrale fără modul, în funcție de semnul expresiei.

Pasul 1: Rezolvăm ecuația \( f(x) = 0 \), unde \( f(x) \) este expresia din modul.

Pasul 2: Determinăm semnul lui \( f(x) \) pe intervalul de integrare și înlocuim \( |f(x)| \) cu \( f(x) \) sau \( -f(x) \) în funcție de semn.

Pasul 3: Calculăm integralele rezultate pe subintervale, fără modul.

Exemplu:

\[ \int_{-2}^{3} |x - 1| \, dx \]

Rezolvăm ecuația \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)

Pe intervalul \( [-2, 1] \), \( x - 1 \leq 0 \Rightarrow |x - 1| = -(x - 1) \)

Pe intervalul \( [1, 3] \), \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow |x - 1| = x - 1 \)

Așadar:

\[ \int_{-2}^{3} |x - 1| \, dx = \int_{-2}^{1} -(x - 1) \, dx + \int_{1}^{3} (x - 1) \, dx \]

Calculăm separat fiecare integrală și le adunăm pentru rezultat final.