Matrice inversabila

Definiție

  • O matrice \( A \) este inversabilă dacă și numai dacă \( \det A \neq 0 \).
  • O matrice \( A \) nu este inversabilă dacă și numai dacă \( \det A = 0 \).

Exemplu Rezolvat

Fie matricea:

\[ A = \begin{pmatrix} \log_2 m & 2 \log_2 m - 1 \\ 2 & \log_2 2m \end{pmatrix}. \]

Determinați valorile reale ale lui \( m \) pentru care matricea \( A \) este inversabilă.

Rezolvare

  1. Matricea \( A \) este inversabilă dacă și numai dacă \( \det A \neq 0 \). Calculăm determinantul: \[ \det A = \log_2 m \cdot \log_2 2m - 2 \cdot (2 \log_2 m - 1). \]
  2. Rescriem determinantul: \[ \det A = \log_2 m \cdot (\log_2 2 + \log_2 m) - 4 \log_2 m + 2. \] Folosind proprietatea logaritmului \( \log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \), obținem: \[ \det A = \log_2 m + \log_2^2 m - 4 \log_2 m + 2. \]
  3. Simplificăm expresia: \[ \det A = \log_2^2 m - 3 \log_2 m + 2. \]
  4. Domeniul de definiție (D.V.A.): \( m > 0 \), deci \( m \in (0, \infty) \).
  5. Notăm \( \log_2 m = t \). Atunci: \[ \det A = t^2 - 3t + 2. \] Ecuația asociată este: \[ t^2 - 3t + 2 = 0. \] Soluțiile acestei ecuații sunt: \[ t_1 = 1 \quad \text{și} \quad t_2 = 2. \]
  6. Revenim la \( t = \log_2 m \). Avem: \[ \log_2 m = 1 \implies m = 2, \] \[ \log_2 m = 2 \implies m = 4. \] Astfel, valorile pentru care \( \det A = 0 \) sunt \( m = 2 \) și \( m = 4 \).
  7. Soluția finală: \[ m \in (0, \infty) \setminus \{2, 4\}. \]

Exerciții

1
Determinați valorile complexe ale lui \( x \), pentru care matricea \( A = \begin{pmatrix} 0 & x & 1 \\ x & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \) nu este inversabilă.
2
Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care matricea \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & m & 1 \\ -2 & -2 & m - 2 \end{pmatrix} \) este inversabilă.
Înapoi Următor