Aria Subgraficului Funcției

Aria subgraficului unei funcții reprezintă figura mărginită de:

Graficul funcției $ f $,
Axa Ox,
Două drepte verticale care corespund limitelor de integrare $ a $ și $ b $.

Definiție matematică

Aria subgraficului funcției este dată de formula:

$$\mathcal{A}(\Gamma_f) = \int_a^b \lvert f(x) \rvert \, dx$$

Dacă $ f(x) \geq 0 $, aria se calculează direct: $\displaystyle \mathcal{A}(\Gamma_f) = \int_a^b f(x) \, dx $.
Dacă $ f(x) \leq 0 $, aria se calculează folosind modulul: $\displaystyle \mathcal{A}(\Gamma_f) = -\int_a^b f(x) \, dx $.

Daca graficul functiei isi schimba semnul pe intervalul $x\in[a;b]$, atunci formula ariei subgraficului acesteia este:

$$\mathcal{A}(\Gamma_f) = \int_a^b |f(x)| \, dx = \int_a^c f(x) \, dx - \int_c^b f(x) \, dx$$

Exemplul 1 rezolvat

Calculați aria subgraficului funcției $ f(x) = x^2 - 2x + 4 $ pe intervalul $[0, 1]$:

Calculăm: \[ \int_0^1 (x^2 - 2x + 4) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2 + 4x \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 1 + 4 = \frac{10}{3} \, \text{(u.p.)}. \]

Exemplul 2 rezolvat

Calculați aria subgraficului funcției $ f(x) = x + \cos x $ pe intervalul $[-\pi, 0]$:

Calculăm integrala: \[ \int_{-\pi}^0 (x + \cos x) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} + \sin x \right]_{-\pi}^0 = \left(0 - \frac{\pi^2}{2}\right). \]
Rezultatul este negativ, deci aria este: \[ \mathcal{A} = -\int_{-\pi}^0 (x + \cos x) \, dx = \frac{\pi^2}{2} \, \text{(u.p.)}. \]

Exerciții

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: [0, 1] \to \mathbb{R}, \, f(x) = x^2 - 2x + 4 $;

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: [0, \pi] \to \mathbb{R}, \, f(x) = x + \cos x $;

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: \left[ 0, \frac{\pi}{4} \right] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sin 2x $;

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: [1, e] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \frac{1}{x} $;

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: [0, \pi] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \cos x + 3e^x $;

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: [1, 4] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \frac{3}{2} \sqrt{x} $;

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: [0, 1] \to \mathbb{R}, \, f(x) = (x - 1)^2 + 1 $;

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: [1, 4] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \frac{x + 1}{x \sqrt{x}} $.

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: [-1, 2] \to \mathbb{R}, \, f(x) = 2x + 4 $;

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: [1, 9] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \sqrt{x} $;

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: [-3, -1] \to \mathbb{R}, \, f(x) = x^2 + 2x - 8 $ ;

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: [0, 2] \to \mathbb{R}, \, f(x) = x^2 - 9 $;

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: [1, e] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \frac{1}{x} $;

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: \left[ \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4} \right] \to \mathbb{R}, \, f(x) = \cos x $;

Să se calculeze aria subgraficului funcției $ f $, dacă: $\displaystyle f: [1, 3] \to \mathbb{R}, \, f(x) = x^2 + 4x + 4 $.

Răspunsuri

$\displaystyle\frac{10}{3} \, \text{u.p.} $

$\displaystyle\frac{\pi^2}{2} \, \text{u.p.} $

$\displaystyle\frac{1}{2} \, \text{u.p.} $

$1 \, \text{u.p.} $

$3(e^\pi - 1) \, \text{u.p.} $

$7 \, \text{u.p.} $

$\displaystyle\frac{4}{3} \, \text{u.p.} $

$3 \, \text{u.p.} $

$15 \, \text{u.p.} $

$\displaystyle \frac{52}{3} \, \text{u.p.} $

$\displaystyle\frac{46}{3} \, \text{u.p.} $

$ 1 \, \text{u.p.} $

$\displaystyle \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2} \, \text{u.p.} $

$\displaystyle\frac{98}{3} \, \text{u.p.} $

Rezolvări

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = x^2 - 2x + 4 $ pe intervalul $[0,1]$.
Limitele integralei sunt capetele intervalului, deci $0$ și $1$.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_0^1 (x^2 - 2x + 4) \, dx $
Calculăm integrala:
$ \displaystyle\int (x^2 - 2x + 4) \, dx = \displaystyle\frac{x^3}{3} - x^2 + 4 \cdot x + C $
Aplicăm:
$ A = \left( \displaystyle\frac{1^3}{3} - 1^2 + 4 \cdot 1 \right) - \left( \displaystyle\frac{0^3}{3} - 0^2 + 4 \cdot 0 \right) $
$ = \left( \displaystyle\frac{1}{3} - 1 + 4 \right) - 0 $
$ = \displaystyle\frac{1}{3} + 3 $
$ = \displaystyle\frac{10}{3} \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = x + \cos x $ pe intervalul $[0,\pi]$.
Limitele integralei sunt $0$ și $\pi$.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_0^\pi (x + \cos x) \, dx $
Calculăm integrala:
$ \displaystyle\int (x + \cos x) \, dx = \displaystyle\frac{x^2}{2} + \sin x + C $
Aplicăm:
$ A = \left( \displaystyle\frac{\pi^2}{2} + \sin \pi \right) - \left( \displaystyle\frac{0^2}{2} + \sin 0 \right) $
$ = \left( \displaystyle\frac{\pi^2}{2} + 0 \right) - (0 + 0) $
$ = \displaystyle\frac{\pi^2}{2} \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = \sin 2x $ pe intervalul $\left[0, \displaystyle\frac{\pi}{4}\right]$.
Limitele integralei sunt $0$ și $\displaystyle\frac{\pi}{4}$.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x \, dx $
Calculăm integrala:
$ \displaystyle\int \sin 2x \, dx = -\displaystyle\frac{1}{2} \cos 2x + C $
Aplicăm:
$ A = \left( -\displaystyle\frac{1}{2} \cos\left(2 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) \right) - \left( -\displaystyle\frac{1}{2} \cos(0) \right) $
$ = \left( -\displaystyle\frac{1}{2} \cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \right) - \left( -\displaystyle\frac{1}{2} \cos(0) \right) $
$ = \left( -\displaystyle\frac{1}{2} \cdot 0 \right) - \left( -\displaystyle\frac{1}{2} \cdot 1 \right) $
$ = 0 + \displaystyle\frac{1}{2} $
$ = \displaystyle\frac{1}{2} \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = \displaystyle\frac{1}{x} $ pe intervalul $[1,e]$.
Limitele integralei sunt $1$ și $e$.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_1^e \displaystyle\frac{1}{x} \, dx $
Calculăm integrala:
$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x} \, dx = \displaystyle\ln |x| + C $
Aplicăm:
$ A = \left( \displaystyle\ln e \right) - \left( \displaystyle\ln 1 \right) $
$ = 1 - 0 $
$ = 1 \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = \cos x + 3e^x $ pe intervalul $[0,\pi]$.
Limitele integralei sunt $0$ și $\pi$.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_0^\pi (\cos x + 3e^x) \, dx $
Calculăm integrala:
$ \displaystyle\int (\cos x + 3e^x) \, dx = \sin x + 3e^x + C $
Aplicăm:
$ A = \left( \sin \pi + 3e^\pi \right) - \left( \sin 0 + 3e^0 \right) $
$ = (0 + 3e^\pi) - (0 + 3 \cdot 1) $
$ = 3e^\pi - 3 $
$ = 3(e^\pi - 1) \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = \displaystyle\frac{3}{2} \sqrt{x} $ pe intervalul $[1,4]$.
Limitele integralei sunt $1$ și $4$.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_1^4 \displaystyle\frac{3}{2} \sqrt{x} \, dx $
Calculăm integrala:
$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{3}{2} \sqrt{x} \, dx = \displaystyle\frac{3}{2} \cdot \displaystyle\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \displaystyle\frac{3}{2} \cdot \displaystyle\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = x^{\frac{3}{2}} + C $
Aplicăm:
$ A = 4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} $
$ = (2^2)^{\frac{3}{2}} - 1 $
$ = 2^3 - 1 $
$ = 8 - 1 $
$ = 7 \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = (x-1)^2 + 1 $ pe intervalul $[0,1]$.
Limitele integralei sunt $0$ și $1$.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_0^1 \left( (x-1)^2 + 1 \right) \, dx $
Calculăm integrala:
$ (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 $, deci:
$ (x-1)^2 + 1 = x^2 - 2x + 2 $
Atunci:
$ \displaystyle\int (x^2 - 2x + 2) \, dx = \displaystyle\frac{x^3}{3} - x^2 + 2x + C $
Aplicăm:
$ A = \left( \displaystyle\frac{1^3}{3} - 1^2 + 2 \cdot 1 \right) - \left( \displaystyle\frac{0^3}{3} - 0^2 + 2 \cdot 0 \right) $
$ = \left( \displaystyle\frac{1}{3} - 1 + 2 \right) - 0 $
$ = \displaystyle\frac{1}{3} + 1 $
$ = \displaystyle\frac{4}{3} \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = \displaystyle\frac{x+1}{x\sqrt{x}} $ pe intervalul $[1,4]$.
Limitele integralei sunt $1$ și $4$.
Scriem funcția:
$ \displaystyle\frac{x+1}{x\sqrt{x}} = \displaystyle\frac{x}{x\sqrt{x}} + \displaystyle\frac{1}{x\sqrt{x}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}} + \displaystyle\frac{1}{x\sqrt{x}} $
Adică:
$ \displaystyle\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \displaystyle\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} $
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_1^4 \left( x^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} \right) \, dx $
Calculăm integrala:
$ \displaystyle\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2x^{\frac{1}{2}} $,
$ \displaystyle\int x^{-\frac{3}{2}} \, dx = -2x^{-\frac{1}{2}} $
Deci:
$ \displaystyle\int \left( x^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} \right) \, dx = 2x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}} + C $
Aplicăm:
$ A = \left( 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{-\frac{1}{2}} \right) - \left( 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{-\frac{1}{2}} \right) $
$ = (2 \cdot 2 - 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{2}) - (2 \cdot 1 - 2 \cdot 1) $
$ = (4 - 1) - (2 - 2) $
$ = 3 - 0 $
$ = 3 \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = 2x + 4 $ pe intervalul $[-1,2]$.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_{-1}^{2} (2x+4) \, dx $
Calculăm integrala:
$ \displaystyle\int (2x+4) \, dx = 2 \displaystyle\int x \, dx + 4 \displaystyle\int dx = 2 \cdot \displaystyle\frac{x^2}{2} + 4x = x^2 + 4x + C $
Aplicăm:
$ A = (2^2 + 4 \cdot 2) - ((-1)^2 + 4 \cdot (-1)) $
$ = (4 + 8) - (1 - 4) $
$ = 12 - (-3) $
$ = 15 \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = \sqrt{x} $ pe intervalul $[1,9]$.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_1^9 \sqrt{x} \, dx $
Scriem:
$ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $, deci:
$ \displaystyle\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \displaystyle\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \displaystyle\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C $
Aplicăm:
$ A = \displaystyle\frac{2}{3} \left( 9^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} \right) $
$ = \displaystyle\frac{2}{3} (27 - 1) $
$ = \displaystyle\frac{2}{3} \cdot 26 $
$ = \displaystyle\frac{52}{3} \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = x^2 + 2x - 8 $ pe intervalul $[-3, -1]$.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_{-3}^{-1} (x^2 + 2x - 8) \, dx $
Calculăm integrala:
$ \displaystyle\int (x^2 + 2x - 8) \, dx = \displaystyle\frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + C $
Aplicăm:
$ A = \left( \displaystyle\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 - 8 \cdot (-1) \right) - \left( \displaystyle\frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2 - 8 \cdot (-3) \right) $
Calculăm fiecare:
Primul termen:
$ \displaystyle\frac{-1}{3} + 1 + 8 = \displaystyle\frac{-1+3+24}{3} = \displaystyle\frac{26}{3} $
Al doilea termen:
$ \displaystyle\frac{-27}{3} + 9 + 24 = -9 + 9 + 24 = 24 $
Diferența:
$ \displaystyle\frac{26}{3} - 24 = \displaystyle\frac{26 - 72}{3} = \displaystyle\frac{-46}{3} $
Rezultatul este:
$ A = \displaystyle\left| \displaystyle\frac{-46}{3} \right| = \displaystyle\frac{46}{3} \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = x^2 - 9 $ pe intervalul $[0,2]$.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_0^2 (x^2 - 9) \, dx $
Calculăm integrala:
$ \displaystyle\int (x^2 - 9) \, dx = \displaystyle\frac{x^3}{3} - 9x + C $
Aplicăm:
$ A = \left( \displaystyle\frac{2^3}{3} - 9 \cdot 2 \right) - \left( \displaystyle\frac{0^3}{3} - 9 \cdot 0 \right) $
$ = \left( \displaystyle\frac{8}{3} - 18 \right) - 0 $
$ = \displaystyle\frac{8-54}{3} $
$ = \displaystyle\frac{-46}{3} $
Rezultatul este:
$ A = \displaystyle\left| \displaystyle\frac{-46}{3} \right| = \displaystyle\frac{46}{3} \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = \displaystyle\frac{1}{x} $ pe intervalul $[1,e]$.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_1^e \displaystyle\frac{1}{x} \, dx $
Știm că:
$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C $
Aplicăm:
$ A = \ln e - \ln 1 $
$ = 1 - 0 $
$ = 1 \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = \cos x $ pe intervalul $ \left[ \displaystyle\frac{2\pi}{3}, \displaystyle\frac{3\pi}{4} \right] $.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_{\displaystyle\frac{2\pi}{3}}^{\displaystyle\frac{3\pi}{4}} \cos x \, dx $
Calculăm integrala:
$ \displaystyle\int \cos x \, dx = \sin x + C $
Aplicăm:
$ A = \sin\left( \displaystyle\frac{3\pi}{4} \right) - \sin\left( \displaystyle\frac{2\pi}{3} \right) $
Calculăm:
$ \sin\left( \displaystyle\frac{3\pi}{4} \right) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} $,
$ \sin\left( \displaystyle\frac{2\pi}{3} \right) = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} $
Deci:
$ A = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} - \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} $
$ = \displaystyle\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2} \, \text{u.p.} $

Calculăm aria subgraficului funcției $ f(x) = x^2 + 4x + 4 $ pe intervalul $[1,3]$.
Aria este:
$ A = \displaystyle\int_1^3 (x^2 + 4x + 4) \, dx $
Calculăm integrala:
$ \displaystyle\int (x^2 + 4x + 4) \, dx = \displaystyle\frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x + C $
Aplicăm:
$ A = \left( \displaystyle\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 \right) - \left( \displaystyle\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 \right) $
Primul termen:
$ \displaystyle\frac{27}{3} + 2 \cdot 9 + 12 = 9 + 18 + 12 = 39 $
Al doilea termen:
$ \displaystyle\frac{1}{3} + 2 + 4 = \displaystyle\frac{1}{3} + 6 = \displaystyle\frac{19}{3} $
Diferența:
$ A = 39 - \displaystyle\frac{19}{3} = \displaystyle\frac{117-19}{3} = \displaystyle\frac{98}{3} $
Rezultatul este:
$ A = \displaystyle\frac{98}{3} \, \text{u.p.} $

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări