Piramida Patrulateră
1. Definiție
Piramida patrulateră este caracterizată de:
- O bază de formă patrulateră (dreptunghi, pătrat, romb etc.).
- Patru fețe laterale triunghiulare.
- Un punct comun pentru toate fețele laterale, numit vârf.
- 6 muchii și 5 vârfuri (1 vârf al piramidei și cele 4 colțuri ale bazei).
- Piramida patrulatera regulata: are la baza un patrat
2. Formule importante
2.1. Aria laterală
Aria laterală a unei piramide patrulatere este suma ariilor celor patru triunghiuri care formează fețele laterale:
\[ A_{lat} = \frac{P_{b} \cdot h_{lat}}{2} \]
Unde:
- \(P_{b}\) este perimetrul bazei.
- \(h_{lat}\) este înălțimea fiecărei fețe laterale (numita si apotema).
2.2. Aria totală
Aria totală a piramidei este suma ariei laterale și a ariei bazei:
\[ A_{tot} = A_{lat} + A_{b} \]
2.3. Volumul
Volumul piramidei patrulatere este calculat astfel:
\[ V = \frac{A_{b} \cdot h}{3} \]
Unde \(h\) este înălțimea piramidei, măsurată perpendicular pe bază.
3. Exemplu de calcul
Exemplu: Fie o piramidă patrulateră cu bază pătrată, având \(a = 6 \;\text{cm}\) și înălțimea piramidei \(h = 8 \;\text{cm}\). Calculați aria totală și volumul piramidei.
3.1. Calculul ariei bazei
Aria bazei este:
\[ A_{b} = a^2 = 6^2 = 36 \;\text{cm}^2 \]
3.2. Calculul ariei laterale
Înălțimea fiecărei fețe laterale \(h_{lat}\) poate fi calculată folosind teorema lui Pitagora:
\[ h_{lat} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \;\text{cm} \]
Perimetrul bazei este:
\[ P_{b} = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24 \;\text{cm} \]
Aria laterală este:
\[ A_{lat} = \frac{P_{b} \cdot h_{lat}}{2} = \frac{24 \cdot \sqrt{73}}{2} = 12 \sqrt{73} \;\text{cm}^2 \]
3.3. Aria totală
Aria totală este:
\[ A_{tot} = A_{lat} + A_{b} = 12 \sqrt{73} + 36 \;\text{cm}^2 \]
3.4. Volumul
Volumul este:
\[ V = \frac{A_{b} \cdot h}{3} = \frac{36 \cdot 8}{3} = 96 \;\text{cm}^3 \]
Exerciții
1
Baza unei piramide este un dreptunghi cu laturile de \(6 \, \text{cm}\) și \(8 \, \text{cm}\). Muchiile laterale formează cu înălțimea piramidei unghiuri de \(60^\circ\). Determinați lungimea înălțimii piramidei.
2
Înălțimea unei piramide patrulatere regulate este de \(2\sqrt{3} \, \text{cm}\) și formează cu muchia laterală un unghi de \(30^\circ\). Determinați aria bazei piramidei.