Prisma Patrulateră
1. Definiție
O prismă patrulateră este definită de următoarele caracteristici:
- Bazele sunt două patrulatere congruente și paralele.
- Muchiile laterale sunt paralele între ele și perpendiculare pe bază (în cazul unei prisme drepte) sau oblice (în cazul unei prisme oblice).
- Are 6 fețe, 12 muchii și 8 vârfuri.
2. Tipuri de prisme patrulatere
- Prismă dreaptă: Muchiile laterale sunt perpendiculare pe bază.
- Prismă oblică: Muchiile laterale nu sunt perpendiculare pe bază.
- Prismă regulată: Baza este un patrat.
3. Formule importante
3.1. Aria laterală
Aria laterală a unei prisme patrulatere se calculează astfel:
\[ A_{lat} = P_{b} \cdot h \]
Unde:
- \(P_{b}\) este perimetrul bazei.
- \(h\) este înălțimea prismei.
3.2. Aria totală
Aria totală este suma ariei laterale și a ariilor celor două baze:
\[ A_{tot} = A_{lat} + 2 \cdot A_{b} \]
3.3. Volumul
Volumul prismei patrulatere se determină folosind formula:
\[ V = A_{b} \cdot h \]
Unde \(A_{b}\) este aria bazei, iar \(h\) este înălțimea prismei.
4. Exemplu rezolvat
Exemplu: Fie o prismă patrulateră cu baza dreptunghiulară având lungimea \(a = 5 \;\text{cm}\) și lățimea \(b = 3 \;\text{cm}\). Înălțimea prismei este \(h = 10 \;\text{cm}\). Calculați aria laterală, aria totală și volumul prismei.
4.1. Aria laterală
Perimetrul bazei este:
\[ P_{b} = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (5 + 3) = 16 \;\text{cm} \]
Aria laterală este:
\[ A_{lat} = P_{b} \cdot h = 16 \cdot 10 = 160 \;\text{cm}^2 \]
4.2. Aria totală
Aria bazei este:
\[ A_{b} = a \cdot b = 5 \cdot 3 = 15 \;\text{cm}^2 \]
Aria totală este:
\[ A_{tot} = A_{lat} + 2 \cdot A_{b} = 160 + 2 \cdot 15 = 190 \;\text{cm}^2 \]
4.3. Volumul
Volumul este:
\[ V = A_{b} \cdot h = 15 \cdot 10 = 150 \;\text{cm}^3 \]
Exerciții
1
Baza unei prisme drepte este un romb cu diagonala mică de \( 30 \, \text{cm} \) și distanța de la punctul de intersecție al diagonalelor la latura rombului egală cu \( 12 \, \text{cm} \). Determinați aria laterală a prismei, dacă se cunoaște că înălțimea prismei este congruentă cu diagonala mare a rombului din bază.
2
Baza unei prisme drepte este un trapez isoscel cu baza mare de \( 25 \, \text{cm} \) și baza mică de \( 7 \, \text{cm} \). Determinați lungimea diagonalei prismei, dacă se cunoaște că fețele laterale ale prismei sunt pătrate cu aria de \( 225 \, \text{cm}^2 \).
3
Aria totală a unei prisme patrulatere regulate este egală cu \( 48 \, \text{cm}^2 \). Aflați volumul prismei, dacă lungimea laturii bazei este de două ori mai mare decât lungimea muchiei laterale.
4
Baza unei prisme drepte este un paralelogram cu laturile de 2 cm şi 4 cm şi un unghi de \( 60^{\circ} \). Determinaţi volumul prismei, dacă diagonala cea mai mare a prismei formează cu planul bazei un unghi de \( 30^{\circ} \).
5
Îtr-un paralelipiped drept laturile bazei au lungimile de 3 cm sii 5 cm , iar una dintre diagonalele bazei are 4 cm . Să se afle diagonala mare a paralelipipedului, știind că diagonala mică a paralelipipedului formează cu planul bazei un unghi de \( 60^{\circ} \).
6
Aria bazei unei prisme triunghiulare regulate este egală cu \(4\sqrt{3} \, \text{cm}^2\), iar aria laterală este egală cu \(36 \, \text{cm}^2\). Determinați lungimea înălțimii prismei.
7
Baza unei prisme drepte este un triunghi dreptunghic cu o catetă de 8 cm . Raza cercului înscris în triunghiul din baza prismei este de 3 cm şi este congruentă cu înălțimea prismei. Determinați volumul prismei.
8
O prismă triunghiulară dreaptă are baza un triunghi dreptunghic în care lungimea unei catete este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei. Ştiind că volumul prismei este egal cu \( 360 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{3} \), iar înălţimea prismei este de 5 cm , să se afle aria laterală a prismei.
9
Să se afle volumul unei prisme triunghiulare regulate, dacă aria totală a prismei este egală cu \( 8 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} \), iar lungimea muchiei laterale a prismei este de \( \sqrt{3} \mathrm{~cm} \).
10
Baza unei prisme drepte este un triunghi dreptunghic cu o catetă de \( 6 \, \text{cm} \). Raza cercului înscris în triunghiul din bază este de \( 2 \, \text{cm} \) și este congruentă cu înălțimea prismei. Determinați volumul prismei.
11
Diagonala secțiunii axiale a unui cilindru circular drept are lungimea egală cu 8 cm și formează cu planul bazei cilindrului un unghi de 60°. Determinați aria laterală a cilindrului.
12
Raza bazei unui cilindru circular drept are lungimea 26 cm , iar generatoarea cilindrului are 48 cm . Să se afle la ce distanță de la axa cilindrului trebuie făcută o secțiune paralelă la axa cilindrului, care să aibă forma de pătrat.
13
Secțiunea axială a unui cilindru are perimetrul de 18 cm și raportul dintre aria totală a cilindrului și aria lui laterală este \( \frac{7}{5} \). Să se determine volumul cilindrului.
14
Aria laterală a unui cilindru circular drept este egală cu \(32\sqrt{2}\pi\) \(cm^2\). Lungimea diagonalei secțiunii axiale a cilindrului este de 3 ori mai mare decât lungimea înălțimii cilindrului. Determinați lungimea înălțimii cilindrului.
15
Determinați aria totală a unui cilindru circular drept, dacă diagonala secțiunii axiale a acestui cilindru are lungimea de \(12 \text{ cm}\) și formează cu planul bazei un unghi de \(60^\circ\).