Item 8 - toate variantele posibile

Exerciții

Baza unui paralelipiped drept este un romb. Lungimea laturii rombului este de \(6 \, \text{cm}\), iar măsura unghiului ascuțit este de \(60^\circ\). Se știe că aria laterală este de \(144 \, \text{cm}^2\). Să se afle lungimile diagonalelor paralelipipedului.

Baza unei prisme drepte este un triunghi dreptunghic cu o catetă de 8 cm . Raza cercului înscris în triunghiul din baza prismei este de 3 cm şi este congruentă cu înălțimea prismei. Determinați volumul prismei.

Raza bazei unui cilindru circular drept are lungimea 26 cm , iar generatoarea cilindrului are 48 cm . Să se afle la ce distanță de la axa cilindrului trebuie făcută o secțiune paralelă la axa cilindrului, care să aibă forma de pătrat.

Aria laterală a unui con circular drept este egală cu \( 240 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), iar aria totală este egală cu \( 384 \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Să se afle volumul conului.

Determinați aria totală a unei piramide patrulatere regulate cu muchia laterală de \( 10 \, \text{cm} \) și înălțimea de \( 5 \, \text{cm} \).

Înălţimea unei piramide triunghiulare regulate are lungimea de 2 cm , iar măsura unghiului diedru de la baza piramidei este de \( 30^{\circ} \). Să se afle aria laterală a piramidei.

Un vas are forma unei emisfere de rază \(6 \, \text{cm}\) care este completată cu un cilindru cu raza bazei de \(6 \, \text{cm}\). Să se afle înălțimea cilindrului astfel încât volumul vasului să fie de \(1800\pi \, \text{cm}^3\).

Secţiunea axială a unui trunchi de con circular drept este un trapez isoscel cu bazele de 12 cm şi 6 cm , iar măsura unghiului de la baza mare a trapezului este de \( 30^{\circ} \). Determinaţi aria laterală a trunchiului de con.

Într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată lungimile laturilor bazelor sunt egale cu 6 cm și 2 cm. Muchia laterală formează cu planul bazei mari un unghi de 60°. Să se calculeze lungimea înălțimii trunchiului.

Diagonala unei prisme patrulatere regulate este de 13 cm , iar diagonala feței laterale este de 12 cm . Determinaţi aria totală a prismei.

Perimetrul bazei unei piramide patrulatere regulate este egal cu \(12\sqrt{2} \, \text{cm}\), iar lungimea muchiei laterale este egală cu \(5 \, \text{cm}\). Să se determine volumul acestei piramide.

Să se afle aria totală și volumul unui paralelipiped dreptunghic, știind că aria secțiunii diagonale este de \(120 \, \text{cm}^2\), o muchie a bazei are lungimea de \(8 \, \text{cm}\), iar lungimea muchiei laterale este de \(12 \, \text{cm}\).

Aria totală a unei prisme patrulatere regulate este egală cu \( 48 \, \text{cm}^2 \). Aflați volumul prismei, dacă lungimea laturii bazei este de două ori mai mare decât lungimea muchiei laterale.

Diagonala unei prisme patrulatere regulate formează cu planul bazei un unghi de \(30^\circ\). Determinați volumul prismei, dacă se cunoaște că diagonala bazei este de \(6 \, \text{cm}\).

Baza unei piramide este un romb cu diagonalele de \( 30 \, \text{cm} \) și \( 40 \, \text{cm} \), iar înălțimea piramidei este de \( 12 \, \text{cm} \) și trece prin punctul de intersecție a diagonalelor rombului. Determinați măsura unghiului diedru de la baza piramidei.

Generatoarea unui con circular drept formează cu planul bazei un unghi cu măsura de \( 30^{\circ} \). Determinați volumul conului, dacă aria lui laterală este egală cu \( 8 \sqrt{3} \pi \mathrm{~cm}^{2} \).

Într-un cilindru circular drept se înscrie o prismă triunghiulară regulată. Știind că volumul cilindrului este egal cu \( 45 \pi \mathrm{~cm}^{3} \), iar aria laterală a cilindrului este egală cu \( 30 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), să se afle aria laterală şi volumul prismei.

Muchia laterală a unei piramide patrulatere regulate are lungimea de \( \displaystyle 4\sqrt{2} \, \text{cm} \) și formează cu înălțimea piramidei un unghi de \( \displaystyle 30^\circ \). Determinați volumul piramidei.

Într-o prismă triunghiulară regulată faṭa laterală este un pătrat cu diagonala de \( 6 \sqrt{2} \mathrm{~cm} \). Determinaţi volumul prismei.

Un con circular drept are raza bazei de \( 8 \sqrt{2} \mathrm{~cm} \), iar generatoarea formează cu planul bazei un unghi cu măsura de \( 45^{\circ} \). Să se afle volumul şi aria totală a conului.

Baza piramidei \( VABC \) este triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu \( m(\angle ABC) = 90^\circ \) și înălțimea \( BK \), astfel încât \( KC = 27 \, \text{cm}, AK = 3 \, \text{cm} \). Muchia \( VB \) este perpendiculară pe planul bazei piramidei și este congruentă cu mediana triunghiului \( ABC \) dusă din vârful \( B \). Determinați volumul piramidei \( VABC \).

Într-un con circular drept înălțimea este de \( 6 \, \text{cm}, \) iar generatoarea formează cu planul bazei un unghi de \( 30^\circ\). Determinați aria secțiunii duse prin mijlocul înălțimii paralel cu planul bazei.

Baza unei piramide este un triunghi cu lungimile laturilor de \( 6 \mathrm{~cm}, 5 \mathrm{~cm}, 5 \mathrm{~cm} \) Toate fețele laterale ale piramidei formează cu planul bazei unghiuri diedre cu măsurile de \( 45^{\circ} \). Să se afle volumul piramidei.

Aria laterală a unei prisme patrulatere regulate este egală cu aria bazei. Determinați cosinusul unghiului format de diagonala prismei cu planul bazei.

Fie \(ABCA_1B_1C_1\) prismă triunghiulară regulată. Prin muchia \(AB\) și prin vârful \(C_1\) este dus un plan, care formează cu planul \(ABC\) un unghi cu măsura de \(45^\circ\). Lungimea muchiei laterale a prismei este egală cu \(2\sqrt{3} \, \text{cm}\). Calculați volumul prismei.

Generatoarea unui trunchi de con circular drept are lungimea de 8 cm şi formează cu planul bazei mari un unghi cu măsura de \( 60^{\circ} \). Diagonala secţiunii axiale împarte acest unghi în două unghiuri congruente. Să se afle aria totală a trunchiului.

Într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată lungimile laturilor bazelor sunt egale cu 2 cm și 10 cm, iar lungimea înălțimii este egală cu 7 cm. Să se afle aria laterală a trunchiului.

Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral. În con este înscrisă o sferă care are volumul de \( \displaystyle\frac{32}{3} \pi \mathrm{~cm}^{3} \). Să se afle volumul conului.

Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate are lungimea de 2 cm , iar măsura unghiului diedru de la baza piramidei este de \( 30^{\circ} \). Aflaţi aria laterală a piramidei.

Aria laterală a unui con circular drept este egală cu \( 16 \sqrt{10} \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Lungimea înălțimii conului este de 3 ori mai mare decît lungimea razei bazei conului. Determinați volumul conului.

Se consideră piramida triunghiulară regulată \(VABC\) cu baza triunghiul \(ABC\). \([VM]\) este apotemă, \(M \in BC\) și \(VM = 4\sqrt{3} \, \text{cm}\). Măsura unghiului format de o față laterală cu planul bazei este de \(60^\circ\). Determinați distanța de la punctul \(A\) la planul opus.

Baza unei piramide este un trapez isoscel circumscripibil cu bazele de \( 24 \, \text{cm} \) și \( 6 \, \text{cm} \). Toate unghiurile diedre de la baza piramidei sunt de \( 30^\circ \). Determinați volumul piramidei.

Un con circular drept are secţiunea axială un triunghi isoscel cu perimetrul de 18 cm . Să se afle aria laterală şi volumul conului, ştiind că aria totală a conului este egală cu \( 36 \pi \mathrm{~cm}^{2} \).

Aria suprafeței totale a unei prisme patrulatere regulate este egală cu \( 360 \mathrm{~cm}^{2} \). Se știe că lungimea laturii bazei prismei este de două ori mai mică decît lungimea muchiei laterale a prismei. Să se afle volumul prismei.

Baza unei piramide este un romb cu diagonalele de \( 6 \, \text{cm} \) și \( 8 \, \text{cm} \), iar înălțimea piramidei este de \( 2,4 \, \text{cm} \) și trece prin punctul de intersecție al diagonalelor. Determinați măsura unghiului diedru de la baza piramidei.

Într-un con circular drept cu raza bazei de 5 cm şi înălţimea de 12 cm , se face o secţiune paralelă cu baza, avînd aria de \( 9 \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Să se afle aria laterală şi volumul trunchiului de con format.

Baza prismei drepte \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) este un trapez isoscel cu bazele de \(3 \, \text{cm}\) și \(5 \, \text{cm}\) și latura neparalelă de \(\sqrt{10} \, \text{cm}\). Aria bazei este egală cu aria patrulaterului \(ACC_1A_1\). Determinați lungimea înălțimii prismei.

Lungimea înălțimii unei piramide patrulatere regulate este de 3 ori mai mică decît lungimea muchiei laterale, iar lungimea apotemei piramidei este de \( 3 \sqrt{5} \mathrm{~cm} \). Să se afle volumul piramidei.

Într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată înălțimea are 63 cm, apotema are 65 cm, iar raportul lungimilor laturilor bazelor este 7:3. Să se afle aria bazei mari a trunchiului.

Fețele laterale ale unei piramide patrulatere regulate sunt triunghiuri echilaterale cu latura de \(6 \, \text{cm}\). Determinați volumul piramidei.

Aria laterală a unui con circular drept este egală cu \( 240 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), iar aria totală a conului este egală cu \( 384 \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Să se afle volumul conului.

Să se afle volumul unei piramide patrulatere regulate care are muchia laterală de lungime 12 cm , iar secţiunea diagonală a piramidei este un triunghi dreptunghic.

Baza unei prisme drepte este un romb cu un unghi de \( 120^{\circ} \) și diagonala mică de 10 cm. Aflați lungimea diagonalei mari a prismei, dacă volumul ei este de \( 300 \sqrt{3} \, \text{cm}^3 \).

În baza unui con circular drept este înscris un triunghi cu laturile de \( 15 \, \text{cm}, 20 \, \text{cm}, \) și \( 25 \, \text{cm} \). Determinați aria suprafeței laterale a conului, dacă se cunoaște că generatoarea formează cu planul bazei un unghi de \( 30^\circ \).

Aria laterală a unui con circular drept este de \( 60 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), iar aria secțiunii axiale a conului este de \( 48 \mathrm{~cm}^{2} \). Să se afle aria totală şi volumul conului.

O piramidă triunghiulară regulată are muchia laterală de \( 10 \sqrt{2} \mathrm{~cm} \). Muchia laterală formează cu planul bazei un unghi cu măsura de \( 45^{\circ} \). Să se afle volumul piramidei.

Fie un con circular drept cu vârful \( V \) și raza bazei de \( 2\sqrt{6} \, \text{cm} \). Coarda \( AB \) din baza conului are lungimea de \( 5\sqrt{3} \, \text{cm} \), iar \( m(\angle AVB) = 120^\circ \). Determinați volumul conului.

Îtr-un paralelipiped drept laturile bazei au lungimile de 3 cm sii 5 cm , iar una dintre diagonalele bazei are 4 cm . Să se afle diagonala mare a paralelipipedului, știind că diagonala mică a paralelipipedului formează cu planul bazei un unghi de \( 60^{\circ} \).

Aria laterală a unui con circular drept este egală cu \( 16\sqrt{10} \pi \, \text{cm}^2 \). Lungimea înălțimii conului este de 3 ori mai mare decât lungimea razei bazei conului. Determinați volumul conului.

Răspunsuri

Rezolvări

Fie trunchiul de con circular drept \( A A_{1} B_{1} B \), unde trapezul isoscel \( A A_{1} B_{1} B \) este o secțiune axială, \( [A B] \) fiind un diametru al cercului din baza mare, \( \left[A_{1} B_{1}\right] \) un diametru al cercului din baza mică şi generatoarea \( A A_{1}=B B_{1}=8 \mathrm{~cm} \). \( m\left(\angle A_{1} A B\right)=60^{\circ} \). Diagonala \( A B_{1} \) este bisectoare a unghiului \( A_{1} A B \Rightarrow \) \( m\left(\angle A_{1} A B_{1}\right)=m\left(\angle B_{1} A B\right)=30^{\circ} \). Atunci \( m\left(\angle A B_{1} A_{1}\right)=m\left(\angle B_{1} A B\right)=30^{\circ} \) ca unghiuri alterne interne formate de dreptele paralele \( A_{1} B_{1} \) şi \( A B \) şi secanta \( A B_{1} \Rightarrow \) triunghiul \( A A_{1} B_{1} \) este isoscel cu baza \( A B_{1} \), deci \( A_{1} B_{1}=A A_{1}=8 \mathrm{~cm} \), atunci lungimea razei bazei mici este \( r=4 \mathrm{~cm} . m\left(\angle A_{1} B_{1} B\right)=120^{\circ} \), şi deoarece \( m\left(\angle B_{1} A B\right)=30^{\circ} \), rezultă că \( m\left(\angle A B_{1} B\right)=90^{\circ} \), deci triunghiul \( A B_{1} B \) este dreptunghic cu \( m\left(\angle B_{1} A B\right)=30^{\circ} \Rightarrow A B=2 \cdot B B_{1}=2 \cdot 8=16 \mathrm{~cm} \), de unde lungimea razei bazei mari este \( R=8 \mathrm{~cm} \). Atunci aria bazei mici este \( A_{b}=\pi r^{2}=16 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), aria bazei mari este \( A_{B}=\pi R^{2}=64 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), iar aria laterală este \( A_{\text {lat }}=\pi G(R+r)=\pi \cdot 8(8+4)=96 \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Aria totală a trunchiului este \( A_{\text {tot }}=A_{B}+A_{b}+A_{\text {lat }}=64 \pi+16 \pi+96 \pi=176 \pi \mathrm{~cm}^{2} \).
Explicație: Se folosesc proprietățile unghiurilor formate de bisectoare și drepte paralele pentru a determina că triunghiul \(AA_1B_1\) este isoscel, ceea ce implică faptul că raza bazei mici este jumătate din generatoare. Se folosește apoi trigonometrie în triunghiul dreptunghic \(AB_1B\) pentru a determina raza bazei mari. Aria totală este suma ariilor celor două baze și a ariei laterale.

Fie un con circular drept cu vîrful \( V \) şi baza cercul cu centrul \( O \) şi diametrul \( [A B] \). Fie \( R \) raza bazei conului, atunci înălțimea conului \( H=V O=3 R \). Din triunghiul dreptunghic \( V O A \), conform teoremei lui Pitagora, aflăm generatoarea \( G=V A \). Obținem \( \quad V A=\sqrt{A O^{2}+V O^{2}}=\sqrt{R^{2}+(3 R)^{2}}=\sqrt{R^{2}+9 R^{2}}=\sqrt{10 R^{2}}=R \sqrt{10} \). Deoarece aria laterală a conului este egală cu \( 16 \sqrt{10} \pi \mathrm{~cm}^{2} \), obținem \( \pi R G=16 \sqrt{10} \pi \), de unde \( R G=16 \sqrt{10} \Rightarrow R \cdot R \sqrt{10}=16 \sqrt{10} \Rightarrow R^{2}=16 \) \( \Rightarrow R=4 \mathrm{~cm} \). Atunci \( H=V O=3 \cdot 4=12 \mathrm{~cm} \). Volumul conului va fi \( V=\displaystyle \frac{1}{3} \pi R^{2} H=\displaystyle \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 12=64 \pi \mathrm{~cm}^{3} \).
Explicație: Se folosește relația dintre înălțime și rază pentru a exprima generatoarea în funcție de rază. Se folosește aria laterală pentru a determina raza, apoi înălțimea. Se calculează volumul folosind formula.

Fie \( x \) lungimea laturii pătratului din baza prismei, atunci muchia laterală are lungimea \( 2 x \). Aria totală a prismei este \( A_{\text {tot }}=2 A_{\text {baz }}+A_{\text {lat }}=2 x^{2}+4 \cdot x \cdot 2 x= \) \( 2 x^{2}+8 x^{2}=10 x^{2} \). Obţinem \( 10 x^{2}=360 \Rightarrow x^{2}=36 \) şi \( x=6 \). Aşadar, lungimea laturii pătratului din baza prismei este egală cu 6 cm , iar lungimea muchiei laterale (înălţimii) prismei este egală cu 12 cm . Aria bazei prismei este \( A_{b a z}=6^{2}=36 \mathrm{~cm}^{2} \). Volumul prismei este \( V=A_{b a z} \cdot h=36 \cdot 12=432 \mathrm{~cm}^{3} \).
Explicație: Aria totală a unei prisme patrulatere regulate este compusă din aria celor două baze (care sunt pătrate) și aria laterală (care este suma ariilor celor 4 fețe laterale, dreptunghiuri). Dacă latura bazei este x, atunci aria unei baze este \(x^2\), deci aria ambelor baze este \(2x^2\). Muchia laterală este 2x, deci aria unei fețe laterale este \(x \cdot 2x = 2x^2\), și avem 4 fețe laterale, deci \(8x^2\). Suma este \(10x^2\). Volumul prismei este aria bazei înmulțită cu înălțimea.

Se consideră conul circular drept cu vîrful \( V \) şi baza cercul cu centrul \( O \), în care [ \( A B \) ] este diametru, atunci \( [\mathrm{VO}] \) este înălțimea conului. Dacă \( A_{\text {lat }}=240 \pi \mathrm{~cm}^{2} \) şi \( A_{\text {tot }}=384 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), rezultă că \( A_{b a z}=A_{\text {tot }}-A_{\text {lat }}=384-240 \pi=144 \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Fie \( R \) raza bazei conului, atunci \( A_{b a z}=\pi R^{2} \Rightarrow \pi R^{2}=144 \pi \Rightarrow R=12 \mathrm{~cm} \). \( A_{l a t}=\pi R G \Rightarrow \pi \cdot 12 \cdot G=240 \pi G=20 \mathrm{~cm} \). In triunghiul dreptunghi \( V O A \) avem \( A O=12 \mathrm{~cm}, V A=20 \mathrm{~cm} \). Conform teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( V O A \) avem \( V O=\sqrt{V A^{2}-A O^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16 \mathrm{~cm} \). Atunci \( V_{\text {con }}=\frac{1}{3} \pi R^{2} H=\frac{1}{3} \pi \cdot 12^{2} \cdot 16=768 \pi \mathrm{~cm}^{3} \).
Explicație: Se calculează aria bazei scăzând aria laterală din aria totală. Se determină raza bazei din formula ariei bazei. Se calculează generatoarea conului din formula ariei laterale. Se folosește teorema lui Pitagora pentru a determina înălțimea conului. Volumul conului se calculează folosind formula volumului.

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări