Coeficienții binomiali apar în dezvoltarea binomului \( (a + b)^n \) și sunt calculați folosind formula binomială:
\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Raportul dintre doi coeficienți binomiali poate fi utilizat pentru a găsi relații între aceștia sau pentru a determina puterea binomului \( n \).
Exemplu:
Se dă raportul coeficienților binomiali ai termenilor al patrulea și al șaptelea ca fiind \( \frac{3}{7} \). Să se determine relația între aceștia:
Coeficientul binomial al celui de-al patrulea termen: \[ T_4 = C_n^3 \] Coeficientul binomial al celui de-al șaptelea termen: \[ T_7 = C_n^6 \] Raportul dintre aceștia este dat de relația: \[ \frac{C_n^3}{C_n^6} = \frac{3}{7} \] Folosim formula coeficientului binomial: \[ \frac{\frac{n!}{3!(n-3)!}}{\frac{n!}{6!(n-6)!}} = \frac{3}{7} \] Simplificăm: \[ \frac{6!(n-6)!}{3!(n-3)!} = \frac{3}{7} \] Dezvoltăm factorialele și rezolvăm pentru \( n \).
2. Rapoarte dintre termeni ai dezvoltării binomului
Termenii din dezvoltarea binomială pot fi exprimați în funcție de coeficienții binomiali și puterile variabilelor \( a \) și \( b \). Termenul general al dezvoltării este:
\[ T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \]
Raportul dintre doi termeni se obține împărțind valorile acestora.
Exemplu:
În dezvoltarea \( (x + y)^n \), să se calculeze raportul dintre termenii al treilea și al cincilea.
Termenul al treilea: \[ T_3 = C_n^2 x^{n-2} y^2 \] Termenul al cincilea: \[ T_5 = C_n^4 x^{n-4} y^4 \] Raportul: \[ \frac{T_3}{T_5} = \frac{C_n^2 x^{n-2} y^2}{C_n^4 x^{n-4} y^4} \] Simplificăm: \[ \frac{T_3}{T_5} = \frac{C_n^2}{C_n^4} \cdot x^2 \cdot y^{-2} \] Dezvoltăm factorialele și continuam simplificarea.
Exerciții
1
Determinați numărul natural \( n \), astfel încât în dezvoltarea la putere a binomului \( (\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^n \), raportul dintre termenul al treilea și termenul al doilea este egal cu \( 5\sqrt{6} \).
Răspuns: \( n = 11 \)
Răspunsuri
1
\( n = 11 \)
Rezolvări
1
Se consideră dezvoltarea la putere a binomului \[ \Bigl(\sqrt{2}+2\sqrt{3}\Bigr)^n. \]
Termenul general este \[ T_{k+1} = C_n^k\,\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{\,n-k}\,(2\sqrt{3})^k. \] Pentru a determina raportul dintre al treilea termen şi al doilea termen se notează că: - Al doilea termen: \(T_2\) corespunde lui \(k=1\) \[ T_2 = C_n^1\,\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{\,n-1}\,(2\sqrt{3})^1, \] - Al treilea termen: \(T_3\) corespunde lui \(k=2\) \[ T_3 = C_n^2\,\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{\,n-2}\,(2\sqrt{3})^2. \]