1. Rapoarte dintre coeficienții binomiali
Coeficienții binomiali apar în dezvoltarea binomului \( (a + b)^n \) și sunt calculați folosind formula binomială:
\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Raportul dintre doi coeficienți binomiali poate fi utilizat pentru a găsi relații între aceștia sau pentru a determina puterea binomului \( n \).
Exemplu:
Se dă raportul coeficienților binomiali ai termenilor al patrulea și al șaptelea ca fiind \( \frac{3}{7} \). Să se determine relația între aceștia:
Coeficientul binomial al celui de-al patrulea termen: \[ T_4 = C_n^3 \] Coeficientul binomial al celui de-al șaptelea termen: \[ T_7 = C_n^6 \] Raportul dintre aceștia este dat de relația: \[ \frac{C_n^3}{C_n^6} = \frac{3}{7} \] Folosim formula coeficientului binomial: \[ \frac{\frac{n!}{3!(n-3)!}}{\frac{n!}{6!(n-6)!}} = \frac{3}{7} \] Simplificăm: \[ \frac{6!(n-6)!}{3!(n-3)!} = \frac{3}{7} \] Dezvoltăm factorialele și rezolvăm pentru \( n \).
2. Rapoarte dintre termeni ai dezvoltării binomului
Termenii din dezvoltarea binomială pot fi exprimați în funcție de coeficienții binomiali și puterile variabilelor \( a \) și \( b \). Termenul general al dezvoltării este:
\[ T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \]
Raportul dintre doi termeni se obține împărțind valorile acestora.
Exemplu:
În dezvoltarea \( (x + y)^n \), să se calculeze raportul dintre termenii al treilea și al cincilea.
Termenul al treilea: \[ T_3 = C_n^2 x^{n-2} y^2 \] Termenul al cincilea: \[ T_5 = C_n^4 x^{n-4} y^4 \] Raportul: \[ \frac{T_3}{T_5} = \frac{C_n^2 x^{n-2} y^2}{C_n^4 x^{n-4} y^4} \] Simplificăm: \[ \frac{T_3}{T_5} = \frac{C_n^2}{C_n^4} \cdot x^2 \cdot y^{-2} \] Dezvoltăm factorialele și continuam simplificarea.
1
Se consideră dezvoltarea la putere a binomului \[ \Bigl(\sqrt{2}+2\sqrt{3}\Bigr)^n. \]
Termenul general este \[ T_{k+1} = C_n^k\,\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{\,n-k}\,(2\sqrt{3})^k. \] Pentru a determina raportul dintre al treilea termen şi al doilea termen se notează că:
- Al doilea termen: \(T_2\) corespunde lui \(k=1\) \[ T_2 = C_n^1\,\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{\,n-1}\,(2\sqrt{3})^1, \]
- Al treilea termen: \(T_3\) corespunde lui \(k=2\) \[ T_3 = C_n^2\,\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{\,n-2}\,(2\sqrt{3})^2. \]
Raportul cerut este: \[ \frac{T_3}{T_2} = \frac{C_n^2}{C_n^1}\,\frac{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{n-2}}{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{n-1}}\, \frac{(2\sqrt{3})^2}{2\sqrt{3}} = \frac{C_n^2}{C_n^1}\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,(2\sqrt{3}). \]
Observăm că \[ \frac{C_n^2}{C_n^1}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n}=\frac{n-1}{2}. \] Deci, \[ \frac{T_3}{T_2}=\frac{n-1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} =(n-1)\,\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \] Conform condiţiei, \[ (n-1)\,\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=5\sqrt{6}. \] Rezolvăm pentru \( n \): \[ n-1=5\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} =5\sqrt{\frac{12}{3}} =5\sqrt{4} =5\cdot2=10, \] deci, \[ n=10+1=11. \]
2
Se consideră dezvoltarea \[ (x + y)^n. \]
Coeficientul binomial al lui \(T_5\) este \(C_n^4\), iar al lui \(T_3\) este \(C_n^2\).
Raportul dat: \[ \frac{C_n^4}{C_n^2} = 3,5 = \frac{7}{2}. \]
Scriem explicit: \[ \frac{C_n^4}{C_n^2} = \frac{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \cdot \frac{2}{n(n-1)} = \frac{(n-2)(n-3)}{12}. \]
Ecuația devine: \[ \frac{(n-2)(n-3)}{12} = \frac{7}{2}. \]
Înmulțim ambele părți cu 12: \[ (n-2)(n-3) = 42. \]
Rezolvăm: \[ n^2 - 5n + 6 = 42 \quad \Longrightarrow \quad n^2 - 5n - 36 = 0. \]
Sau direct prin încercare (deoarece consecutivi): \(7 \cdot 6 = 42\), deci \(n-2 = 7 \quad \Longrightarrow \quad n = 9\).
Astfel: \(n = 9\).
3
Se consideră dezvoltarea \[ (1 + x)^n. \]
Coeficientul lui \(x^5\) este \(C_n^5\), iar al lui \(x^6\) este \(C_n^6\).
Condiția: \[ C_n^5 = C_n^6. \]
Raportul consecutiv: \[ \frac{C_n^6}{C_n^5} = \frac{n-5}{6} = 1. \]
Rezolvăm: \[ n - 5 = 6 \quad \Longrightarrow \quad n = 11. \]
Verificare: \(C_{11}^5 = C_{11}^6\) (proprietate simetrică la mijloc).
Astfel: \(n = 11\).
4
Se consideră dezvoltarea \[ (a + b)^n. \]
Al treilea termen → \(k=2\): coeficient \(C_n^2\).
Al patrulea termen → \(k=3\): coeficient \(C_n^3\).
Condiția: \[ C_n^3 = 5 \cdot C_n^2. \]
Raport: \[ \frac{C_n^3}{C_n^2} = \frac{n-2}{3} = 5. \]
Rezolvăm: \[ n - 2 = 15 \quad \Longrightarrow \quad n = 17. \]
Astfel: \(n = 17\).
5
Se consideră dezvoltarea \[ (x + 3)^n. \]
Termenul general: \[ T_{k+1} = C_n^k \, x^{n-k} \, 3^k. \]
\(T_3\) → \(k=2\): \[ T_3 = C_n^2 \, x^{n-2} \, 3^2. \]
\(T_4\) → \(k=3\): \[ T_4 = C_n^3 \, x^{n-3} \, 3^3. \]
Raportul la \(x = 9\): \[ \frac{T_4}{T_3} = \frac{C_n^3 \, 9^{n-3} \, 27}{C_n^2 \, 9^{n-2} \, 9} = \frac{C_n^3}{C_n^2} \cdot \frac{27}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{n-2}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{n-2}{9}. \]
Condiția: \[ \frac{n-2}{9} = 1 \quad \Longrightarrow \quad n-2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad n = 11. \]
Astfel: \(n = 11\).
6
Se consideră dezvoltarea \[ (x + a)^n. \]
Coeficienții: al doilea → \(C_n^1 = n\), al treilea → \(C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}\), al patrulea → \(C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\).
Condiția de progresie aritmetică: \[ 2 \cdot C_n^2 = C_n^1 + C_n^3. \]
Substituim: \[ 2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}. \]
Simplificăm: \[ n(n-1) = n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}. \]
Împărțim cu \(n\) (\(n \neq 0\)): \[ n-1 = 1 + \frac{(n-1)(n-2)}{6}. \]
Înmulțim cu 6: \[ 6(n-1) = 6 + (n-1)(n-2). \]
Dezvoltăm: \[ 6n - 6 = 6 + n^2 - 3n + 2 \quad \Longrightarrow \quad n^2 - 9n + 14 = 0. \]
Discriminant: \(\Delta = 81 - 56 = 25\).
Soluții: \[ n = \frac{9 \pm 5}{2} \quad \Rightarrow \quad n=7 \ \text{sau} \ n=2. \]
\(n=2\) nu are 4 termeni, deci \(n=7\).
7
Se consideră dezvoltarea \[ (x + 1)^{14}. \]
Raportul consecutiv binomial: \[ \frac{C_{14}^{k+1}}{C_{14}^k} = \frac{14 - k}{k+1}. \]
Condiția: \[ \frac{14 - k}{k+1} = 2. \]
Rezolvăm: \[ 14 - k = 2(k + 1) \quad \Longrightarrow \quad 14 - k = 2k + 2 \quad \Longrightarrow \quad 14 - 2 = 3k \quad \Longrightarrow \quad 12 = 3k \quad \Longrightarrow \quad k = 4. \]
Astfel: \(k = 4\).
8
Se consideră raportul: \[ \frac{C_n^2}{C_n^1} = 10. \]
Scriem explicit: \[ \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n} = \frac{n-1}{2} = 10. \]
Rezolvăm: \[ n - 1 = 20 \quad \Longrightarrow \quad n = 21. \]
Astfel: \(n = 21\).
9
Se consideră dezvoltarea \[ (x + y)^n. \]
Suma coeficienților binomiali ai primilor trei termeni: \[ C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 1 + n + \frac{n(n-1)}{2} = 56. \]
Simplificăm: \[ 1 + n + \frac{n^2 - n}{2} = 56 \quad \Longrightarrow \quad 2 + 2n + n^2 - n = 112 \quad \Longrightarrow \quad n^2 + n - 110 = 0. \]
Discriminant: \(\Delta = 1 + 440 = 441 = 21^2\).
Soluții: \[ n = \frac{-1 \pm 21}{2}. \]
Luăm soluția naturală: \[ n = \frac{20}{2} = 10. \]
Astfel: \(n = 10\).
10
Se consideră dezvoltarea \[ (x + 2)^n. \]
\(T_2\) → \(k=1\): \[ T_2 = C_n^1 \, x^{n-1} \, 2. \]
\(T_3\) → \(k=2\): \[ T_3 = C_n^2 \, x^{n-2} \, 4. \]
Raportul la \(x = 4\): \[ \frac{T_3}{T_2} = \frac{C_n^2 \, 4^{n-2} \, 4}{C_n^1 \, 4^{n-1} \, 2} = \frac{C_n^2}{C_n^1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{n-1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{n-1}{4}. \]
Condiția: \[ \frac{n-1}{4} = 2 \quad \Longrightarrow \quad n-1 = 8 \quad \Longrightarrow \quad n = 9. \]
Astfel: \(n = 9\).