Metoda integrării prin părți este o tehnică derivată din formula produsului derivatelor și se folosește pentru a calcula integralele mai complicate. Formula de bază pentru integrarea prin părți este:
Criterii pentru alegerea funcțiilor \( u \) și \( dv \)
Ordinea prioritară pentru \( u \):
- \( P_n(x) \): Polinoame (\( x^2, x, 1 \), etc.)
- \( \ln x \), \( \arcsin x \), \( \arccos x \), \( arctg x \)
- Funcții trigonometrice (\( \sin x, \cos x \))
- Exponențiale (\( e^x, a^x \))
\( dv \) este considerat restul expresiei care poate fi integrat cu ușurință.
Exemplu Rezolvat
Calculați integrala definită:
\[ \int_0^1 x \ln(x+1) \, dx \]
1. Alegem \( u \) și \( dv \):
\[ u = \ln(x+1), \quad dv = x \, dx. \]
Derivăm și integrăm:
\[ du = \frac{1}{x+1} \, dx, \quad v = \frac{x^2}{2}. \]
2. Aplicăm formula:
\[ \int_0^1 x \ln(x+1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln(x+1) \right] \bigg|_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x+1} \, dx. \]
Evaluăm primul termen:
\[ \left[ \frac{x^2}{2} \ln(x+1) \right] \bigg|_0^1 = \frac{1^2}{2} \ln(1+1) - \frac{0^2}{2} \ln(0+1) = \frac{1}{2} \ln 2. \]
Reformulăm al doilea termen:
\[ - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2}{x+1} \, dx. \] Folosim împărțirea polinomială pentru \( \frac{x^2}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1} \): \[ - \frac{1}{2} \int_0^1 \left( x - 1 + \frac{1}{x+1} \right) \, dx = - \frac{1}{2} \left( \int_0^1 x \, dx - \int_0^1 1 \, dx + \int_0^1 \frac{1}{x+1} \, dx \right). \] Calculăm fiecare integrală: \[ \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \big|_0^1 = \frac{1}{2}, \quad \int_0^1 1 \, dx = x \big|_0^1 = 1, \quad \int_0^1 \frac{1}{x+1} \, dx = \ln(x+1) \big|_0^1 = \ln 2. \] Înlocuim rezultatele: \[ - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - 1 + \ln 2 \right) = - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \ln 2 \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \ln 2. \]
Răspuns final:
\[ \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{1}{4}. \]
1
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{1} x e^x \, dx\)
Răspuns: \(1\)
2
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} x \sin x \, dx\)
Răspuns: \(1\)
3
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{1} x \ln x \, dx\)
Răspuns: \(-\displaystyle \frac{1}{4} \)
4
Calculați: \(\displaystyle\int_{1}^{e} \ln x \, dx\)
Răspuns: \(1\)
5
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x \cos x \, dx\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{\pi \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \)
6
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx\)
Răspuns: \( e - 2 \)
7
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} x^2 \sin x \, dx\)
Răspuns: \( \pi - 2 \)
8
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{1} x^2 \ln x \, dx\)
Răspuns: \( -\displaystyle \frac{1}{9} \)
9
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos x) \, dx\)
Răspuns: \(-\displaystyle \frac{\pi}{16} \ln 2 \)
10
Calculați: \(\displaystyle\int_{1}^{2} x e^{x^2} \, dx\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{e^{4} - e}{2}\)
11
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{1} x^3 e^x \, dx\)
Răspuns: \( -2e + 6 \)
12
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{1} x^3 \ln x \, dx\)
Răspuns: \(-\displaystyle \frac{1}{16} \)
13
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{\pi} x^2 \sin x \, dx\)
Răspuns: \(\pi^2 - 4 \)
14
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{2x} \, dx\)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{e^{2} + 1}{4} \)
15
Calculați: \(\displaystyle\int_{0}^{1} x \operatorname{arctg} x \, dx\)
Răspuns: \(\displaystyle \frac{\pi}{4} - \displaystyle \frac{1}{2} \)
3
\(-\displaystyle \frac{1}{4} \)
5
\(\displaystyle \frac{\pi \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \)
8
\( -\displaystyle \frac{1}{9} \)
9
\(-\displaystyle \frac{\pi}{16} \ln 2 \)
10
\(\displaystyle \frac{e^{4} - e}{2}\)
12
\(-\displaystyle \frac{1}{16} \)
14
\( \displaystyle \frac{e^{2} + 1}{4} \)
15
\(\displaystyle \frac{\pi}{4} - \displaystyle \frac{1}{2} \)
1
Calculăm: \( \displaystyle \int_{0}^{1} x e^x \, dx \)
Alegem: \( u = x \), \( dv = e^x \, dx \)
Atunci: \( du = dx \), \( v = e^x \)
Prin integrarea prin părți:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Aplicăm:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x e^x \, dx = x e^x \Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x \, dx \)
Calculăm:
\( x e^x \Big|_{0}^{1} = (1 \cdot e^1) - (0 \cdot e^0) = e - 0 = e \)
\( \displaystyle \int_{0}^{1} e^x \, dx = e^x \Big|_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e-1 \)
Deci:
\( e - (e-1) = 1 \)
2
Calculăm: \( \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} x \sin x \, dx \)
Alegem: \( u = x \), \( dv = \sin x \, dx \)
Atunci: \( du = dx \), \( v = -\cos x \)
Prin integrarea prin părți:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Aplicăm:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} x \sin x \, dx = -x \cos x \Big|_{0}^{\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx \)
Calculăm:
\[ -x \cos x \Big|_{0}^{\pi/2} = \left( -\frac{\pi}{2} \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) \right) - (0 \cos(0)) = (0) - (0) = 0 \]
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx = \sin x \Big|_{0}^{\pi/2} = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 \)
Deci:
\( 0 + 1 = 1 \)
3
Calculăm: \( \displaystyle \int_{0}^{1} x \ln x \, dx \)
Alegem: \( u = \ln x \), \( dv = x \, dx \)
Atunci: \( du = \displaystyle \frac{1}{x} dx \), \( v = \displaystyle \frac{x^2}{2} \)
Prin integrarea prin părți:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Aplicăm:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x \ln x \, dx = \displaystyle \frac{x^2}{2} \ln x \Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \)
Simplificăm:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2x} \, dx = \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{2} \, dx \)
Calculăm:
\[ \displaystyle \frac{x^2}{2} \ln x \Big|_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} \ln 1 \right) - \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{x^2}{2} \ln x \right) \]
Știm că \( \ln 1 = 0 \), iar \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x = 0 \).
Deci:
\( \displaystyle \frac{x^2}{2} \ln x \Big|_{0}^{1} = 0 \)
Și:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{2} \, dx = \displaystyle \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x \, dx = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{4} \)
Deci:
\( 0 - \displaystyle \frac{1}{4} = -\displaystyle \frac{1}{4} \)
4
Calculăm: \( \displaystyle \int_{1}^{e} \ln x \, dx \)
Alegem: \( u = \ln x \), \( dv = dx \)
Atunci: \( du = \displaystyle \frac{1}{x} dx \), \( v = x \)
Prin integrarea prin părți:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Aplicăm:
\( \displaystyle \int_{1}^{e} \ln x \, dx = x \ln x \Big|_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx \)
Simplificăm:
\( \int_{1}^{e} 1 \, dx = [x]_{1}^{e} = e - 1 \)
Calculăm:
\( x \ln x \Big|_{1}^{e} = (e \ln e) - (1 \ln 1) = (e \cdot 1) - (1 \cdot 0) = e - 0 = e \)
Deci:
\( e - (e-1) = 1 \)
5
Calculăm: \( \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} x \cos x \, dx \)
Alegem: \( u = x \), \( dv = \cos x \, dx \)
Atunci: \( du = dx \), \( v = \sin x \)
Prin integrarea prin părți:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Aplicăm:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} x \cos x \, dx = x \sin x \Big|_{0}^{\pi/4} - \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \sin x \, dx \)
Calculăm:
\( x \sin x \Big|_{0}^{\pi/4} = \left( \displaystyle \frac{\pi}{4} \sin\left( \displaystyle \frac{\pi}{4} \right) \right) - (0 \sin(0)) = \displaystyle \frac{\pi}{4} \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \displaystyle \frac{\pi \sqrt{2}}{8} \)
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \sin x \, dx = -\cos x \Big|_{0}^{\pi/4} = \left( -\cos\left( \displaystyle \frac{\pi}{4} \right) \right) - \left( -\cos(0) \right) = \left( -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - (-1) = 1 - \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Deci:
\( \displaystyle \frac{\pi \sqrt{2}}{8} - \left( 1 - \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \displaystyle \frac{\pi \sqrt{2}}{8} + \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \)
6
Calculăm: \( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx \)
Alegem: \( u = x^2 \), \( dv = e^x \, dx \)
Atunci: \( du = 2x \, dx \), \( v = e^x \)
Prin integrarea prin părți:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Aplicăm:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx = x^2 e^x \Big|_{0}^{1} - \displaystyle \int_{0}^{1} 2x e^x \, dx \)
Rezolvăm \( \displaystyle \int 2x e^x \, dx \) prin părți din nou:
Alegem: \( u = 2x \), \( dv = e^x \, dx \)
Atunci: \( du = 2 \, dx \), \( v = e^x \)
Aplicăm:
\( \displaystyle \int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \displaystyle \int 2 e^x \, dx = 2x e^x - 2 e^x \)
Astfel:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx = x^2 e^x \Big|_{0}^{1} - (2x e^x - 2 e^x) \Big|_{0}^{1} \)
Calculăm:
\( x^2 e^x \Big|_{0}^{1} = (1^2 e^1) - (0^2 e^0) = e - 0 = e \)
\( (2x e^x - 2 e^x) \Big|_{0}^{1} = \left( 2 \cdot 1 \cdot e - 2e \right) - \left( 2 \cdot 0 \cdot e^0 - 2e^0 \right) = (2e - 2e) - (0 - 2) = 0 + 2 = 2 \)
Deci:
\( e - 2 \)
7
Calculăm: \( \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} x^2 \sin x \, dx \)
Alegem: \( u = x^2 \), \( dv = \sin x \, dx \)
Atunci: \( du = 2x \, dx \), \( v = -\cos x \)
Prin formula integrării prin părți:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Aplicăm:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x \Big|_{0}^{\pi/2} + \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} 2x \cos x \, dx \)
Rezolvăm \( \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} 2x \cos x \, dx \) tot prin părți:
Alegem: \( u = 2x \), \( dv = \cos x \, dx \)
Atunci: \( du = 2 \, dx \), \( v = \sin x \)
Aplicăm:
\( \displaystyle \int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \displaystyle \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x + C \)
Deci:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} 2x \cos x \, dx = \left( 2x \sin x + 2 \cos x \right) \Big|_{0}^{\pi/2} \)
Calculăm:
La \( x = \pi/2 \): \( 2 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{2} \cdot 1 + 2 \cdot 0 = \pi \)
La \( x = 0 \): \( 2 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 \)
Diferența este \( \pi - 2 \)
Revenind:
Primul termen:
\( -x^2 \cos x \Big|_{0}^{\pi/2} = -( \displaystyle \left( \displaystyle \frac{\pi}{2} \right)^2 \cdot 0 - 0^2 \cdot 1 ) = 0 \)
Așadar:
Rezultatul final este:
\( \pi - 2 \)
8
Calculăm: \( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \ln x \, dx \)
Alegem: \( u = \ln x \), \( dv = x^2 \, dx \)
Atunci: \( du = \displaystyle \frac{1}{x} dx \), \( v = \displaystyle \frac{x^3}{3} \)
Prin integrarea prin părți:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Aplicăm:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \ln x \, dx = \displaystyle \frac{x^3}{3} \ln x \Big|_{0}^{1} - \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \displaystyle \frac{1}{x} \, dx \)
Simplificăm:
\( \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \displaystyle \frac{1}{x} = \displaystyle \frac{x^2}{3} \)
Deci:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \ln x \, dx = \displaystyle \frac{x^3}{3} \ln x \Big|_{0}^{1} - \displaystyle \frac{1}{3} \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \, dx \)
Calculăm:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \displaystyle \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{3} \)
Deci:
\( \displaystyle \frac{1}{3} \times \displaystyle \frac{1}{3} = \displaystyle \frac{1}{9} \)
Calculăm limita:
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \displaystyle \frac{x^3}{3} \ln x = 0 \) și \( \displaystyle \frac{1^3}{3} \ln 1 = 0 \)
Așadar:
Rezultatul final:
\( 0 - \displaystyle \frac{1}{9} = -\displaystyle \frac{1}{9} \)
9
Calculăm: \( \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos x) \, dx \)
Alegem: \( u = \ln(\cos x) \), \( dv = dx \)
Atunci: \( du = -\operatorname{tg} x \, dx \), \( v = x \)
Prin integrarea prin părți:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Aplicăm:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos x) \, dx = x \ln(\cos x) \Big|_{0}^{\pi/4} + \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} x \operatorname{tg} x \, dx \)
Primul termen:
\( x \ln(\cos x) \Big|_{0}^{\pi/4} = \displaystyle \frac{\pi}{4} \ln\left( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - 0 \)
\( \ln\left( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\displaystyle \frac{1}{2} \ln 2 \)
Deci:
\( \displaystyle -\frac{\pi}{8} \ln 2 \)
Al doilea termen \( \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} x \operatorname{tg} x \, dx \)
Rezolvăm prin părți:
Alegem: \( u = x \), \( dv = \operatorname{tg} x \, dx \)
Atunci: \( du = dx \), iar \( v \) este o primitivă a lui \( \operatorname{tg} x \), adică:
\( v = -\ln|\cos x| \)
Aplicăm formula părților:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Deci:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} x \operatorname{tg} x \, dx = -x \ln|\cos x| \Big|_{0}^{\pi/4} + \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \ln|\cos x| \, dx \)
Observăm că:
\( \ln|\cos x| = \ln(\cos x) \) pe \([0, \pi/4]\), deoarece \(\cos x > 0\) acolo.
Astfel:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} x \operatorname{tg} x \, dx = -x \ln(\cos x) \Big|_{0}^{\pi/4} + \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos x) \, dx \)
Calculăm:
\( -x \ln(\cos x) \Big|_{0}^{\pi/4} = -\left( \displaystyle \frac{\pi}{4} \ln\left( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - 0 \right) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \ln 2 \)
Deci:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} x \operatorname{tg} x \, dx = \displaystyle \frac{\pi}{8} \ln 2 + \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos x) \, dx \)
Revenim acum la relația inițială:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos x) \, dx = -\displaystyle \frac{\pi}{8} \ln 2 + \left( \displaystyle \frac{\pi}{8} \ln 2 + \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos x) \, dx \right) \)
Scăpăm de termenii comuni:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos x) \, dx = \displaystyle \frac{1}{2} \left( -\displaystyle \frac{\pi}{8} \ln 2 \right) \)
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos x) \, dx = -\displaystyle \frac{\pi}{16} \ln 2 \)
10
Calculăm: \( \displaystyle \int_{1}^{2} x e^{x^2} \, dx \)
Observăm că: dacă facem substituția \( u = x^2 \), atunci \( du = 2x \, dx \), deci \( x \, dx = \displaystyle \frac{1}{2} du \).
Astfel, integrala devine:
\( \displaystyle \int_{1}^{2} x e^{x^2} \, dx = \displaystyle \frac{1}{2} \int_{1^2}^{2^2} e^{u} \, du = \displaystyle \frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{u} \, du \)
Calculăm acum integrarea:
\( \displaystyle \frac{1}{2} \left( e^{u} \right) \Bigg|_{1}^{4} = \displaystyle \frac{1}{2} (e^{4} - e^{1}) = \displaystyle \frac{e^{4} - e}{2}\)
11
Calculăm: \( \displaystyle \int_{0}^{1} x^3 e^x \, dx \)
Aplicăm metoda integrării prin părți:
Alegem: \( u = x^3 \), \( dv = e^x \, dx \).
Atunci: \( du = 3x^2 \, dx \), \( v = e^x \).
Aplicăm formula:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Deci:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^3 e^x \, dx = x^3 e^x \Bigg|_{0}^{1} - \displaystyle \int_{0}^{1} 3x^2 e^x \, dx \)
Calculăm:
\( x^3 e^x \Bigg|_{0}^{1} = (1)^3 e^1 - (0)^3 e^0 = e \)
Rămâne să calculăm \( \displaystyle \int_{0}^{1} 3x^2 e^x \, dx \).
Aplicăm din nou integrarea prin părți pentru \( \displaystyle \int x^2 e^x \, dx \):
Alegem: \( u = x^2 \), \( dv = e^x \, dx \).
Atunci: \( du = 2x \, dx \), \( v = e^x \).
Deci:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx = x^2 e^x \Bigg|_{0}^{1} - \displaystyle \int_{0}^{1} 2x e^x \, dx \)
Calculăm:
\( x^2 e^x \Bigg|_{0}^{1} = e \)
Mai departe, pentru \( \displaystyle \int_{0}^{1} 2x e^x \, dx \):
Alegem: \( u = x \), \( dv = 2e^x \, dx \), deci \( du = dx \), \( v = 2e^x \).
Aplicăm părțile:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} 2x e^x \, dx = 2x e^x \Bigg|_{0}^{1} - \displaystyle \int_{0}^{1} 2e^x \, dx \)
Calculăm:
\( 2x e^x \Bigg|_{0}^{1} = 2e \)
\( \displaystyle \int_{0}^{1} 2e^x \, dx = 2(e^1 - e^0) = 2(e-1) \)
Deci:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} 2x e^x \, dx = 2e - 2(e-1) = 2 \)
Astfel:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx = e - 2 \)
Deci:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} 3x^2 e^x \, dx = 3(e-2) = 3e - 6 \)
Prin urmare:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^3 e^x \, dx = e - (3e - 6) = -2e + 6 \)
12
Calculăm: \( \displaystyle \int_{0}^{1} x^3 \ln x \, dx \)
Aplicăm metoda integrării prin părți:
Alegem: \( u = \ln x \), \( dv = x^3 \, dx \).
Atunci: \( du = \displaystyle \frac{1}{x} dx \), \( v = \displaystyle \frac{x^4}{4} \).
Aplicăm formula:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Deci:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^3 \ln x \, dx = \displaystyle \frac{x^4}{4} \ln x \Bigg|_{0}^{1} - \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x^4}{4} \cdot \displaystyle \frac{1}{x} \, dx \)
Simplificăm:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x^4}{4} \cdot \displaystyle \frac{1}{x} \, dx = \displaystyle \frac{1}{4} \int_{0}^{1} x^3 \, dx \)
Calculăm:
\( \displaystyle \frac{1}{4} \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \displaystyle \frac{1}{4} \cdot \displaystyle \frac{x^4}{4} \Bigg|_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{4} \cdot \displaystyle \frac{1}{4} = \displaystyle \frac{1}{16} \)
Calculăm și limita:
\( \displaystyle \frac{x^4}{4} \ln x \Bigg|_{0}^{1} = 0 \) (deoarece \(\ln(1) = 0\) și la \(x=0\) limita este 0).
Astfel:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^3 \ln x \, dx = -\displaystyle \frac{1}{16} \)
13
Calculăm: \( \displaystyle \int_{0}^{\pi} x^2 \sin x \, dx \)
Aplicăm integrarea prin părți:
Alegem: \( u = x^2 \), \( dv = \sin x \, dx \).
Atunci: \( du = 2x \, dx \), \( v = -\cos x \).
Aplicăm formula:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Deci:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi} x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x \Bigg|_{0}^{\pi} + \displaystyle \int_{0}^{\pi} 2x \cos x \, dx \)
Calculăm primul termen:
\( -x^2 \cos x \Bigg|_{0}^{\pi} = [-(\pi)^2 \cos(\pi)] - [-(0)^2 \cos(0)] = -\pi^2 (-1) - 0 = \pi^2 \)
Calculăm acum \( \displaystyle \int_{0}^{\pi} 2x \cos x \, dx \) prin părți:
Alegem: \( u = 2x \), \( dv = \cos x \, dx \).
Atunci: \( du = 2 \, dx \), \( v = \sin x \).
Aplicăm formula:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi} 2x \cos x \, dx = 2x \sin x \Bigg|_{0}^{\pi} - \displaystyle \int_{0}^{\pi} 2 \sin x \, dx \)
Calculăm:
\( 2x \sin x \Bigg|_{0}^{\pi} = 2\pi \sin \pi - 0 = 0 \)
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi} 2 \sin x \, dx = -2 \cos x \Bigg|_{0}^{\pi} = -2(\cos \pi - \cos 0) = -2(-1 - 1) = 4 \)
Astfel:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi} 2x \cos x \, dx = 0 - 4 = -4 \)
Prin urmare:
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi} x^2 \sin x \, dx = \pi^2 - 4 \)
14
Calculăm: \( \displaystyle \int_{0}^{1} x e^{2x} \, dx \)
Aplicăm integrarea prin părți:
Alegem: \( u = x \), \( dv = e^{2x} \, dx \).
Atunci: \( du = dx \), \( v = \displaystyle \frac{e^{2x}}{2} \).
Aplicăm formula:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Deci:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x e^{2x} \, dx = \displaystyle \frac{x e^{2x}}{2} \Bigg|_{0}^{1} - \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{e^{2x}}{2} \, dx \)
Calculăm:
\( \displaystyle \frac{x e^{2x}}{2} \Bigg|_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1 \cdot e^{2}}{2} - 0 = \displaystyle \frac{e^{2}}{2} \)
Și:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{e^{2x}}{2} \, dx = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \displaystyle \frac{e^{2x}}{2} \Bigg|_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{4}(e^{2} - e^{0}) = \displaystyle \frac{1}{4}(e^{2} - 1) \)
Astfel:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x e^{2x} \, dx = \displaystyle \frac{e^{2}}{2} - \displaystyle \frac{e^{2} - 1}{4} = \displaystyle \frac{2e^{2} - (e^{2} - 1)}{4} = \displaystyle \frac{e^{2} + 1}{4} \)
15
Calculăm: \( \displaystyle \int_{0}^{1} x \operatorname{arctg} x \, dx \)
Aplicăm integrarea prin părți:
Alegem: \( u = \operatorname{arctg} x \), \( dv = x \, dx \).
Atunci: \( du = \displaystyle \frac{1}{1+x^2} \, dx \), \( v = \displaystyle \frac{x^2}{2} \).
Aplicăm formula:
\( \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
Deci:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x \operatorname{arctg} x \, dx = \displaystyle \frac{x^2}{2} \operatorname{arctg} x \Bigg|_{0}^{1} - \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x^2}{2} \cdot \displaystyle \frac{1}{1+x^2} \, dx \)
Calculăm primul termen:
\( \displaystyle \frac{x^2}{2} \operatorname{arctg} x \Bigg|_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{2} \operatorname{arctg} 1 - 0 = \displaystyle \frac{\pi}{8} \)
Pentru al doilea termen, simplificăm:
\( \displaystyle \frac{x^2}{2(1+x^2)} = \displaystyle \frac{1}{2} \left( 1 - \displaystyle \frac{1}{1+x^2} \right) \)
Astfel:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x^2}{2(1+x^2)} \, dx = \displaystyle \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{1} 1 \, dx - \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{1}{1+x^2} \, dx \right) \)
Calculăm:
\( \int_{0}^{1} 1 \, dx = 1 \)
\( \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{1}{1+x^2} \, dx = \operatorname{arctg} x \Bigg|_{0}^{1} = \displaystyle \frac{\pi}{4} \)
Deci:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x^2}{2(1+x^2)} \, dx = \displaystyle \frac{1}{2} \left( 1 - \displaystyle \frac{\pi}{4} \right) = \displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{\pi}{8} \)
În concluzie:
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x \operatorname{arctg} x \, dx = \displaystyle \frac{\pi}{8} - \left( \displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{\pi}{8} \right) = \displaystyle \frac{\pi}{4} - \displaystyle \frac{1}{2} \)