Punctele de Extrem

Definiție

Punctele de extrem ale unei funcții \( f(x) \) sunt punctele în care funcția atinge un maxim sau un minim local. Determinarea acestor puncte implică analiza derivatelor funcției și a semnelor acesteia.

Metoda de Rezolvare

Calculăm derivata funcției:
Determinăm \( f'(x) \)
Rezolvăm ecuația \( f'(x) = 0 \):
Determinăm punctele în care derivata este zero.
Analizăm semnul derivatei:
Verificăm semnele derivatei \( f'(x) \) în intervalele determinate de rădăcinile ecuației \( f'(x) = 0 \):
- Într-un interval unde derivata este pozitivă, funcția este crescătoare.
- Într-un interval unde derivata este negativă, funcția este descrescătoare.
Dacă semnul derivatei se schimbă în jurul unui punct \( x_k \), acest punct este un maxim (dacă semnul se schimbă din \( + \) în \( - \)) sau un minim (dacă semnul se schimbă din \( - \) în \( + \)).
La final, punctele în care derivata își schimbă semnul sunt selectate drept puncte de maxim sau minim. Specificăm clar răspunsul:
- Punctele de maxim: \( x = ... \)
- Punctele de minim: \( x = ... \)

Exemplu Rezolvat

Problema:

Determinați punctele de extrem ale funcției: \[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. \]

1. Calculăm derivata funcției:

\[ f'(x) = 3x^2 - 6x. \]

2. Rezolvăm ecuația \( f'(x) = 0 \):

\[ 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ sau } x = 2. \]

3. Analizăm semnul derivatei:

Construim semnul derivatei pe intervalele determinate de rădăcini:

Pe intervalul \( (-\infty, 0) \), luăm un punct de test \( x = -1 \):
Pe intervalul \( (0, 2) \), luăm un punct de test \( x = 1 \):
Pe intervalul \( (2, \infty) \), luăm un punct de test \( x = 3 \):

4. Concluzie:

Funcția atinge un maxim local în \( x = 0 \) (semnul derivatei se schimbă din \( + \) în \( - \)) și un minim local în \( x = 2 \) (semnul derivatei se schimbă din \( - \) în \( + \)).

Răspuns:

Punct de maxim: \( x = 0 \)
Punct de minim: \( x = 2 \)

Exerciții

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 4^x - 2^{x+2} \). Determinați punctul de minim local al funcției \( f \).

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x - e^x \). Determinați punctele de extrem local ale funcției \( f \).

Răspunsuri

Rezolvări

Observăm că se poate scrie: \[ 4^x - 2^{x+2} = 2^{2x} - 2^2\cdot 2^x = 2^{2x} - 4\cdot 2^x. \] Pentru a determina punctul de minim local calculăm derivata \( f'(x) \). Derivata este: \[ f'(x)=\Bigl(2^{2x}\Bigr)' - \Bigl(2^{x+2}\Bigr)' =2^{2x}\ln(4) - 2^{x+2}\ln(2). \] Factorizăm expresia folosind \(2^{x}\) (deoarece \(2^{2x}=2^x\cdot 2^x\)): \[ f'(x)=2^x\Bigl[2^x\ln(4)-4\ln(2)\Bigr]. \] Deoarece \(2^x>0\) pentru orice \(x\), ecuaţia \(f'(x)=0\) se reduce la: \[ 2^x\ln(4)-4\ln(2)=0. \] Observăm că \(\ln(4)=\ln(2^2)=2\ln(2)\); astfel: \[ 2^x\,(2\ln(2))-4\ln(2)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\ln(2)\Bigl(2^x-2^2\Bigr)=0. \] Divizând prin \(2\ln(2)\) (care este pozitiv), obținem: \[ 2^x-4=0 \quad\Longrightarrow\quad 2^x=4=2^2, \] deci \[ x=2. \] Notă: În această rezolvare, se poate obține \(x=1\) dacă expresia ar fi fost factorată diferit; totuși, calculul corect arată: \[ 2^x = 4 \quad\Rightarrow\quad x=2. \] Să verificăm cu un alt mod: scriem \( f'(x)= 2^{x}\bigl[2^x\cdot 2\ln(2)-4\ln(2)\bigr]=2^{x}\cdot2\ln(2)[2^x-2]\). Astfel, \(f'(x)=0\) când \(2^x-2=0\), adică \(2^x=2\) și deci \(x=1\).
Se observă că factorizarea corectă este: \[ f'(x)=2^{2x}\ln(4)-2^{x+2}\ln(2)=2^{x}\Bigl[2^{x}\cdot2\ln(2)- 4\ln(2)\Bigr]=2^{x}\cdot2\ln(2)\Bigl[2^{x}-2\Bigr]. \] Deci \(f'(x)=0\) când \(2^{x}-2=0\), adică \(2^x=2\) și \(x=1\). Evaluăm \( f(x) \) în \( x=1 \): \[ f(1)=4^1-2^{1+2}=4-2^3=4-8=-4. \] Analiza semnelor lui \( f'(x) \):

\(x\)	\( f'(x)=2^{x}\cdot2\ln(2)\,[2^x-2] \)	Semn	Comportament
\( x < 1 \)	Exemplu: \( x=0 \); \(2^0=1\) \(\Rightarrow\) \(1-2=-1\)	\( - \)	Descrescător ↓
\( x = 1 \)	\(2^1-2=0\)	\( 0 \)	Extrem (minim local)
\( x > 1 \)	Exemplu: \( x=2 \); \(2^2=4\) \(\Rightarrow\) \(4-2=2\)	\( + \)	Crescător ↑

Deoarece derivata trece de la negativ la pozitiv la \( x=1 \), funcţia \( f \) are un minim local la \( x=1 \) cu valoarea \( f(1)=-4 \).

Calculăm derivata: \[ f'(x)=(x)' -(e^x)'= 1-e^x. \] Pentru a determina punctele de extrem local, rezolvăm ecuația \( f'(x)=0 \): \[ 1-e^x=0 \quad\Longrightarrow\quad e^x=1 \quad\Longrightarrow\quad x=0. \] Analiza semnelor lui \( f'(x) \):

\(x\)	\( f'(x)=1-e^x \)	Semn	Comportament
\( x < 0 \)	Exemplu: \( x=-1 \); \( e^{-1}\approx0.3679 \) \(\Rightarrow\) \(1-0.3679\approx+0.6321\)	\( + \)	Crescător ↑
\( x = 0 \)	\(1-e^0=1-1=0\)	\( 0 \)	Extrem
\( x > 0 \)	Exemplu: \( x=1 \); \( e^1 \approx2.718 \) \(\Rightarrow\) \(1-2.718 \approx -1.718\)	\( - \)	Descrescător ↓

Deoarece \( f'(x) \) trece de la pozitiv la negativ la \( x=0 \), funcția \( f \) are un maxim local la \( x=0 \). Valoarea maximului este: \[ f(0)=0-e^0=0-1=-1. \]