Integrarea prin Părți

Integrarea prin părți este o metodă utilă pentru calcularea integralelor de produse între funcții. Formula fundamentală este:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Reguli pentru alegerea lui \(u\) și \(dv\)

Alegerea lui \(u\) (funcția care se derivă) și \(dv\) (funcția care se integrează) depinde de structura integralei. Câteva cazuri comune:

Dacă integrala conține un polinom (\(P_n(x)\)) înmulțit cu o funcție exponențială, trigonometrică sau logaritmică:
- Alegem \(u = P_n(x)\) (polinomul).
- Alegem \(dv = \text{restul funcției}\).
Dacă integrala conține: \(\ln(x), \arcsin(x), \operatorname{arctg}(x)\), etc.:
- Alegem \(u = \ln(x)\) sau \(\arcsin(x)\).
- Alegem \(dv = \text{restul funcției}\).
Dacă integrala conține produse între \(\sin(x), \cos(x)\) și funcții exponențiale (\(e^x\)):
- Alegem alternativ \(u = e^x\) sau \(u = \sin(x)\).
- Integrarea poate necesita aplicarea formulei de mai multe ori.

Exemplu Rezolvat

Să se calculeze integrala:

\[ \int (4x + 2) \sin x \, dx \]

Alegem:

\[ u = 4x + 2, \quad dv = \sin x \, dx \]

Calculăm:

Derivăm \(u\): \( du = 4dx\).
Integrăm \(dv\): \(\int \sin x \, dx = -\cos x \implies v = -\cos x\).

Aplicăm formula integrarii prin părți:

\[ \int (4x + 2) \sin x \, dx = uv - \int v \, du \] Substituind: \[ = (4x + 2)(-\cos x) - \int (-\cos x)(4) \, dx \] \[ = -(4x + 2)\cos x + 4 \int \cos x \, dx \] Integrăm \(\int \cos x \, dx\): \[ \int \cos x \, dx = \sin x \] Rezultatul final: \[ -(4x + 2)\cos x + 4 \sin x + C \]

Integrale de forma \( \displaystyle \int e^{a x} \cos (b x) d x, \int e^{a x} \sin (b x) d x, \int \sin (\ln x) d x, \int \cos (\ln x) d x \). Se notează prin I această integrală și se aplică de două ori integrala prin părți. Se obține o ecuație de gradul I in raport cu \( \displaystyle I \).
Exemplu:
\( \displaystyle \begin{array}{l} I=\int e^{-x} \cdot \cos x d x=\left(u=e^{-x}, d v=\cos x d x, d u=-e^{-x}, v=\int \cos x d x=\sin x\right)= \\ e^{-x} \cdot \sin x-\int \sin x \cdot\left(-e^{-x}\right) d x=e^{-x} \cdot \sin x+\int \sin x \cdot e^{-x} d x=\left(u=e^{-x}, d v=\sin x d x, d u=-e^{-x}\right. \\ v=-\cos x)=e^{-x} \cdot \sin x+\left(-\cos x \cdot e^{-x}-\int-\cos x\left(-e^{-x}\right) d x\right)=e^{-x} \cdot \sin x-\cos x \cdot e^{-x}-\int \underbrace{\cos x e^{-x} d x}_{1} \\ 2 \cdot I=e^{-x} \cdot \sin x-\cos x \cdot e^{-x} \\ I=\frac{1}{2} \cdot e^{-x}(\sin x-\cos x)+C \end{array} \)

Exerciții

Calculați: \(\displaystyle\int (5-2x)\cos x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int (3x-5)e^x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int (1-5x)\cos x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int (4x+1)\sin x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int x \cdot 2^x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int (x+6)e^x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int (x^2+2)\cos x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int (x^2-x)\sin x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int (3x^2+5)\cos x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int (x^2+x-6)e^x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int x^3 e^x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int (x^4+2x+4)\sin x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int e^x \sin x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int e^x \cos x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int e^{2x} \cos x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int e^{-x} \sin 3x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int x^3 \ln x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int \frac{\ln x}{x^2} \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int x \ln x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int x \operatorname{arctg} x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int 2x \arcsin x \, dx\)

Calculați: \(\displaystyle\int x^6 \ln x \, dx\)

Răspunsuri

\(\displaystyle (5 - 2x)\sin x - 2\cos x + C \)

\(\displaystyle (3x - 8)e^x + C \)

\(\displaystyle (1 - 5x)\sin x - 5\cos x + C \)

\(\displaystyle -(4x + 1)\cos x + 4\sin x + C \)

\(\displaystyle \frac{x \cdot 2^x}{\ln 2} - \frac{1}{\ln^2 2} \cdot 2^x + C \)

\(\displaystyle (x+5)e^x + C\)

\(\displaystyle (x^2+2)\sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C\)

\(\displaystyle - (x^2 - x)\cos x + (2x - 1)\sin x + 2\cos x + C \)

\(\displaystyle (3x^2 + 5)\sin x + 6x \cos x - 6 \sin x + C \)

\(x^2 e^x - x e^x - 5e^x + C \)

\(\displaystyle x^3 e^x - 3 \left(x^2 e^x - 2(x e^x - e^x)\right) + C = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x + C \)

\(\displaystyle -x^4 \cos x + 4x^3 \sin x + 12x^2 \cos x - 24x \sin x - 2x \cos x + 2 \sin x - 28 \cos x + C\)

\(\displaystyle \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C \)

\(\displaystyle \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C \)

\(\displaystyle \frac{1}{5}e^{2x}(2 \cos x + \sin x) + C\)

\(\displaystyle -\frac{1}{10}e^{-x}(\sin 3x + 3 \cos 3x) + C \)

\(\displaystyle \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C\)

\(\displaystyle -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C\)

\(\displaystyle \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C\)

\(\displaystyle \frac{x^2}{2} \operatorname{arctg} x - \frac{1}{2}(x - \operatorname{arctg} x) + C\)

\(\displaystyle x^2 \arcsin x - \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{x \sqrt{1 - x^2}}{2} + C\)

\(\displaystyle \frac{x^7}{7} \ln x - \frac{x^7}{49} + C\)

Rezolvări

Alegem: \( u = 5 - 2x \), deci \( du = -2\, dx \)
\( dv = \cos x \, dx \), deci \( v = \sin x \)

Aplicăm formula: \( \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du \)
\( \Rightarrow \int (5 - 2x)\cos x \, dx = (5 - 2x)\sin x - \int \sin x \cdot (-2)\, dx \)
\( = (5 - 2x)\sin x + 2 \int \sin x \, dx \)
\( = (5 - 2x)\sin x - 2\cos x + C \)

Alegem:
\( u = 3x - 5 \Rightarrow du = 3\, dx \)
\( dv = e^x\, dx \Rightarrow v = e^x \)

Aplicăm formula: \( \displaystyle \int u\, dv = uv - \int v\, du \)

\( \displaystyle \int (3x - 5)e^x\, dx = (3x - 5)e^x - \int e^x \cdot 3\, dx \)
\( \displaystyle = (3x - 5)e^x - 3\int e^x\, dx \)
\( \displaystyle = (3x - 5)e^x - 3e^x + C \)
\( \displaystyle = (3x - 8)e^x + C \)

Alegem:
\( u = 1 - 5x \Rightarrow du = -5\, dx \)
\( dv = \cos x\, dx \Rightarrow v = \sin x \)

Aplicăm formula: \( \displaystyle \int u\, dv = uv - \int v\, du \)

\( \displaystyle \int (1 - 5x)\cos x\, dx = (1 - 5x)\sin x - \int \sin x \cdot (-5)\, dx \)
\( \displaystyle = (1 - 5x)\sin x + 5\int \sin x\, dx \)
\( \displaystyle = (1 - 5x)\sin x - 5\cos x + C \)

Alegem:
\( u = 4x + 1 \Rightarrow du = 4\, dx \)
\( dv = \sin x\, dx \Rightarrow v = -\cos x \)

Aplicăm formula: \( \displaystyle \int u\, dv = uv - \int v\, du \)

\( \displaystyle \int (4x + 1)\sin x\, dx = (4x + 1)(-\cos x) - \int -\cos x \cdot 4\, dx \)
\( \displaystyle = -(4x + 1)\cos x + 4\int \cos x\, dx \)
\( \displaystyle = -(4x + 1)\cos x + 4\sin x + C \)

Alegem:
\( u = x \Rightarrow du = dx \)
\( dv = 2^x\, dx \Rightarrow v = \displaystyle\frac{2^x}{\ln 2} \)

Aplicăm formula: \( \displaystyle \int u\, dv = uv - \int v\, du \)

\( \displaystyle \int x \cdot 2^x\, dx = x \cdot \frac{2^x}{\ln 2} - \int \frac{2^x}{\ln 2}\, dx \)
\( \displaystyle = \frac{x \cdot 2^x}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} \cdot \int 2^x\, dx \)
\( \displaystyle = \frac{x \cdot 2^x}{\ln 2} - \frac{1}{\ln^2 2} \cdot 2^x + C \)

\(\displaystyle \int (x+6)e^x \, dx\)
Alegem: \( u = x+6 \Rightarrow du = dx \), \( dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x \)
Aplicăm formula:
\(\displaystyle \int (x+6)e^x dx = (x+6)e^x - \int e^x dx = (x+6)e^x - e^x = (x+5)e^x + C\)

\(\displaystyle \int (x^2+2)\cos x \, dx\)
Alegem: \( u = x^2 + 2 \Rightarrow du = 2x dx \), \( dv = \cos x dx \Rightarrow v = \sin x \)
Aplicăm formula:
\(\displaystyle \int (x^2+2)\cos x dx = (x^2+2)\sin x - \int 2x \sin x dx \)
Acum pentru \(\displaystyle \int 2x \sin x dx \):
Alegem: \( u = 2x \Rightarrow du = 2dx \), \( dv = \sin x dx \Rightarrow v = -\cos x \)
\(\displaystyle \int 2x \sin x dx = -2x \cos x + \int 2 \cos x dx = -2x \cos x + 2 \sin x \)
Rezultatul final:
\(\displaystyle (x^2+2)\sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C\)

\(\displaystyle \int (x^2-x)\sin x \, dx\)
Alegem: \( u = x^2 - x \Rightarrow du = (2x - 1)dx \), \( dv = \sin x dx \Rightarrow v = -\cos x \)
Aplicăm formula:
\(\displaystyle \int (x^2 - x)\sin x dx = - (x^2 - x)\cos x + \int (2x - 1)\cos x dx \)
Rezolvăm \(\displaystyle \int (2x - 1)\cos x dx \):
Alegem: \( u = 2x - 1 \Rightarrow du = 2 dx \), \( dv = \cos x dx \Rightarrow v = \sin x \)
\(\displaystyle \int (2x - 1)\cos x dx = (2x - 1)\sin x - \int 2 \sin x dx = (2x - 1)\sin x + 2 \cos x \)
Rezultatul final:
\(\displaystyle - (x^2 - x)\cos x + (2x - 1)\sin x + 2\cos x + C \)

\(\displaystyle \int (3x^2+5)\cos x \, dx\)
Alegem: \( u = 3x^2 + 5 \Rightarrow du = 6x dx \), \( dv = \cos x dx \Rightarrow v = \sin x \)
Aplicăm formula:
\(\displaystyle \int (3x^2 + 5)\cos x dx = (3x^2 + 5)\sin x - \int 6x \sin x dx \)
Rezolvăm \(\displaystyle \int 6x \sin x dx \):
Alegem: \( u = 6x \Rightarrow du = 6 dx \), \( dv = \sin x dx \Rightarrow v = -\cos x \)
\(\displaystyle \int 6x \sin x dx = -6x \cos x + \int 6 \cos x dx = -6x \cos x + 6 \sin x \)
Rezultatul final:
\(\displaystyle (3x^2 + 5)\sin x + 6x \cos x - 6 \sin x + C \)

\(\displaystyle \int (x^2+x-6)e^x \, dx\)
Descompunem:
\(\displaystyle \int x^2 e^x dx + \int x e^x dx - 6 \int e^x dx \)
Rezolvăm:
\(\displaystyle \int x^2 e^x dx \):
Alegem: \( u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx \), \( dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x \)
\(\displaystyle \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx \)
Acum \(\displaystyle \int 2x e^x dx = 2x e^x - 2 \int e^x dx = 2x e^x - 2e^x \)
Deci: \(\displaystyle \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x \)
Rezolvăm \(\displaystyle \int x e^x dx = x e^x - e^x \), și \(\displaystyle \int e^x dx = e^x \)
Rezultatul final:
\(\displaystyle x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + x e^x - e^x - 6e^x = x^2 e^x - x e^x - 5e^x + C \)

Calculăm: \(\displaystyle\int x^3 e^x \, dx\)
Folosim metoda integrării prin părți:
Alegem \(u = x^3\) ⇒ \(du = 3x^2 dx\)
\(dv = e^x dx\) ⇒ \(v = e^x\)
Aplicăm formula: \(\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du\)
\(\displaystyle\int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x \, dx\)
Refacem cu părți pentru \(\int x^2 e^x \, dx\):
\(u = x^2\), \(du = 2x dx\), \(dv = e^x dx\), \(v = e^x\)
\(\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx\)
Refacem pentru \(\int x e^x dx\):
\(u = x\), \(du = dx\), \(dv = e^x dx\), \(v = e^x\)
\(\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x\)
Rezultatul: \[ x^3 e^x - 3 \left(x^2 e^x - 2(x e^x - e^x)\right) + C = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x + C \]

Calculăm: \(\displaystyle\int (x^4 + 2x + 4)\sin x \, dx\)
Descompunem în sume:
\(\displaystyle\int x^4 \sin x \, dx + \int 2x \sin x \, dx + \int 4 \sin x \, dx\)

1. Rezolvăm \(\displaystyle\int x^4 \sin x \, dx\) prin părți de 4 ori:
Fie \(I_1 = \int x^4 \sin x \, dx\)
Prima integrare prin părți:
\(u = x^4\), \(dv = \sin x dx\) ⇒ \(du = 4x^3 dx\), \(v = -\cos x\)
\(I_1 = -x^4 \cos x + \int 4x^3 \cos x \, dx\)
A doua integrare:
\(u = 4x^3\), \(dv = \cos x dx\) ⇒ \(du = 12x^2 dx\), \(v = \sin x\)
\(\int 4x^3 \cos x dx = 4x^3 \sin x - \int 12x^2 \sin x dx\)
Rezultatul parțial: \[ I_1 = -x^4 \cos x + 4x^3 \sin x - \int 12x^2 \sin x dx \]
A treia integrare:
\(u = 12x^2\), \(dv = \sin x dx\) ⇒ \(du = 24x dx\), \(v = -\cos x\)
\(\int 12x^2 \sin x dx = -12x^2 \cos x + \int 24x \cos x dx\)
Rezultatul parțial: \[ I_1 = -x^4 \cos x + 4x^3 \sin x - \left(-12x^2 \cos x + \int 24x \cos x dx\right) \]
\[ I_1 = -x^4 \cos x + 4x^3 \sin x + 12x^2 \cos x - \int 24x \cos x dx \] A patra integrare:
\(u = 24x\), \(dv = \cos x dx\) ⇒ \(du = 24 dx\), \(v = \sin x\)
\(\int 24x \cos x dx = 24x \sin x - \int 24 \sin x dx = 24x \sin x + 24 \cos x\)
Rezultatul complet: \[ \int x^4 \sin x dx = -x^4 \cos x + 4x^3 \sin x + 12x^2 \cos x - 24x \sin x - 24 \cos x \]

2. Rezolvăm \(\int 2x \sin x dx\):
\(u = 2x\), \(dv = \sin x dx\) ⇒ \(du = 2 dx\), \(v = -\cos x\)
\[ \int 2x \sin x dx = -2x \cos x + \int 2 \cos x dx = -2x \cos x + 2 \sin x \]

3. Rezolvăm \(\int 4 \sin x dx = -4 \cos x\)

Rezultatul final:
\[ \int (x^4 + 2x + 4) \sin x dx = (-x^4 \cos x + 4x^3 \sin x + 12x^2 \cos x - 24x \sin x - 24 \cos x) + (-2x \cos x + 2 \sin x) + (-4 \cos x) \]
Adunăm termenii: \[ = -x^4 \cos x + 4x^3 \sin x + 12x^2 \cos x - 24x \sin x - 2x \cos x + 2 \sin x - 28 \cos x \]

Calculăm: \(\displaystyle\int e^x \sin x \, dx\)
Folosim părți de două ori:
\(u = \sin x\), \(dv = e^x dx\) ⇒ \(du = \cos x dx\), \(v = e^x\)
\(\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx\)
Rezolvăm \(\int e^x \cos x dx\):
\(u = \cos x\), \(dv = e^x dx\) ⇒ \(du = -\sin x dx\), \(v = e^x\)
\(\int e^x \cos x dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx\)
Obținem: \[ I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I) ⇒ 2I = e^x(\sin x - \cos x) ⇒ I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C \]

Calculăm: \(\displaystyle\int e^x \cos x \, dx\)
Procedăm similar ca mai sus:
\(u = \cos x\), \(dv = e^x dx\) ⇒ \(du = -\sin x dx\), \(v = e^x\)
\(\int e^x \cos x dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx\)
Rezolvăm \(\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx\)
Obținem: \[ I = e^x \cos x + (e^x \sin x - I) ⇒ 2I = e^x(\cos x + \sin x) ⇒ I = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C \]

Calculăm: \(\displaystyle\int e^{2x} \cos x \, dx\)
Notăm \(I = \int e^{2x} \cos x dx\)
Folosim părți:
\(u = \cos x\), \(dv = e^{2x} dx\) ⇒ \(du = -\sin x dx\), \(v = \frac{1}{2}e^{2x}\)
\(I = \frac{1}{2}e^{2x} \cos x + \frac{1}{2}\int e^{2x} \sin x dx\)
Rezolvăm \(\int e^{2x} \sin x dx\) prin părți:
\(u = \sin x\), \(dv = e^{2x} dx\) ⇒ \(du = \cos x dx\), \(v = \frac{1}{2}e^{2x}\)
\(\int e^{2x} \sin x dx = \frac{1}{2}e^{2x} \sin x - \frac{1}{2}\int e^{2x} \cos x dx\)
Obținem: \[ I = \frac{1}{2}e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}e^{2x} \sin x - \frac{1}{2}I \right )\ ⇒ I = \frac{1}{2}e^{2x} \cos x + \frac{1}{4}e^{2x} \sin x - \frac{1}{4}I\ ⇒ \frac{5}{4}I = \frac{1}{2}e^{2x} \cos x + \frac{1}{4}e^{2x} \sin x\ ⇒ I = \frac{1}{5}e^{2x}(2 \cos x + \sin x) + C\]

Calculăm: \(\displaystyle\int e^{-x} \sin 3x \, dx\)
Folosim părți:
\(u = \sin 3x\), \(dv = e^{-x} dx\) ⇒ \(du = 3 \cos 3x dx\), \(v = -e^{-x}\)
\(I = -e^{-x} \sin 3x + \int 3 e^{-x} \cos 3x dx\)
Rezolvăm \(\int e^{-x} \cos 3x dx\) tot prin părți:
\(u = \cos 3x\), \(dv = e^{-x} dx\) ⇒ \(du = -3 \sin 3x dx\), \(v = -e^{-x}\)
\(\int e^{-x} \cos 3x dx = -e^{-x} \cos 3x - \int 3 e^{-x} \sin 3x dx\)
Revenim: \[ I = -e^{-x} \sin 3x + 3(-e^{-x} \cos 3x - 3I) = -e^{-x} \sin 3x - 3e^{-x} \cos 3x - 9I\ ⇒ 10I = -e^{-x}(\sin 3x + 3 \cos 3x) ⇒ I = -\frac{1}{10}e^{-x}(\sin 3x + 3 \cos 3x) + C \]

Calculăm: \(\displaystyle\int x^3 \ln x \, dx\)
\(u = \ln x\), \(dv = x^3 dx\) ⇒ \(du = \frac{1}{x} dx\), \(v = \frac{x^4}{4}\)
\(\int x^3 \ln x dx = \frac{x^4}{4} \ln x - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^4}{4} \ln x - \int \frac{x^3}{4} dx\)
\(\int \frac{x^3}{4} dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{16}\)
Rezultatul: \(\displaystyle\int x^3 \ln x dx = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C\)

Calculăm: \(\displaystyle\int \frac{\ln x}{x^2} \, dx\)
\(u = \ln x\), \(dv = \frac{1}{x^2} dx\) ⇒ \(du = \frac{1}{x} dx\), \(v = -\frac{1}{x}\)
\(\int \frac{\ln x}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C\)

Calculăm: \(\displaystyle\int x \ln x \, dx\)
\(u = \ln x\), \(dv = x dx\) ⇒ \(du = \frac{1}{x} dx\), \(v = \frac{x^2}{2}\)
\(\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C\)

Calculăm: \(\displaystyle\int x \operatorname{arctg} x \, dx\)
\(u = \operatorname{arctg} x\), \(dv = x dx\) ⇒ \(du = \frac{1}{1+x^2} dx\), \(v = \frac{x^2}{2}\)
\(\int x \operatorname{arctg} x dx = \frac{x^2}{2} \operatorname{arctg} x - \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx\)
Rescriem: \(\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}\), deci:
\(\int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx = \frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2} \right) dx = \frac{1}{2}(x - \operatorname{arctg} x)\)
Rezultatul: \(\frac{x^2}{2} \operatorname{arctg} x - \frac{1}{2}(x - \operatorname{arctg} x) + C\)

Calculăm: \(\displaystyle\int 2x \arcsin x \, dx\)
Alegem integrarea prin părți:
\(u = \arcsin x\), \(dv = 2x\, dx\) ⇒ \(du = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx\), \(v = x^2\)
Aplicăm formula prin părți:
\[ \int 2x \arcsin x \, dx = x^2 \arcsin x - \int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx \]

Rezolvăm acum integrala \(\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx\)
Folosim substituția: \(x = \sin \theta\) ⇒ \(dx = \cos \theta\, d\theta\), iar \(\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta\)
Rezultă:
\[ \int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx = \int \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta\, d\theta = \int \sin^2 \theta\, d\theta \]
Folosim formula de dublu unghi: \(\sin^2 \theta = \displaystyle\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\)
\[ \int \sin^2 \theta\, d\theta = \int \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\, d\theta = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2\theta)\, d\theta = \frac{1}{2} \left( \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right) \]
Revenim la variabila \(x\):
\(\theta = \arcsin x\), iar \(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2x\sqrt{1 - x^2}\)
Deci:
\[ \int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx = \frac{1}{2} \left( \arcsin x - \frac{1}{2} \cdot 2x \sqrt{1 - x^2} \right) = \frac{1}{2} \arcsin x - \frac{x \sqrt{1 - x^2}}{2} \]

Revenim la formula prin părți:
\[ \int 2x \arcsin x\, dx = x^2 \arcsin x - \left( \frac{1}{2} \arcsin x - \frac{x \sqrt{1 - x^2}}{2} \right) \]
\[ = x^2 \arcsin x - \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{x \sqrt{1 - x^2}}{2} \]

Calculăm: \(\displaystyle\int x^6 \ln x \, dx\)
\(u = \ln x\), \(dv = x^6 dx\) ⇒ \(du = \frac{1}{x} dx\), \(v = \frac{x^7}{7}\)
\(\int x^6 \ln x dx = \frac{x^7}{7} \ln x - \int \frac{x^7}{7} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^7}{7} \ln x - \int \frac{x^6}{7} dx = \frac{x^7}{7} \ln x - \frac{x^7}{49} + C\)

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări