Patrulatere
1. Definiție și Proprietăți Generale
Un patrulater este o figură geometrică plană cu patru laturi și patru unghiuri.
- Suma unghiurilor unui patrulater este întotdeauna \( 360^\circ \).
- Unghiurile adiacente formate de o latură comună au suma \( 180^\circ \) într-un patrulater convex.
2.1 Pătratul
- Toate laturile sunt egale.
- Toate unghiurile sunt \( 90^\circ \).
- Diagonalele sunt egale și se intersectează perpendicular.
- Aria unui pătrat: \[ A = l^2 \] (unde \( l \) este lungimea unei laturi).
2.2 Dreptunghiul
- Laturile opuse sunt egale și paralele.
- Toate unghiurile sunt \( 90^\circ \).
- Diagonalele sunt egale și se intersectează, dar nu perpendicular.
- Aria unui dreptunghi: \[ A = L \cdot l \] (unde \( L \) și \( l \) sunt lungimile laturilor).
2.3. Paralelogramul
- Laturile opuse sunt egale și paralele.
- Unghiurile opuse sunt egale.
- Diagonalele se intersectează la mijloc, dar nu sunt egale.
- Aria unui paralelogram: \[ A = b \cdot h \] (unde \( b \) este baza și \( h \) înălțimea).
2.4. Rombul
- Toate laturile sunt egale.
- Unghiurile opuse sunt egale.
- Diagonalele sunt perpendiculare și se intersectează la mijloc.
- Aria unui romb: \[ A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \] (unde \( d_1 \) și \( d_2 \) sunt diagonalele).
2.5. Trapezul
- Are o pereche de laturi opuse paralele (baza mare \( B \) și baza mică \( b \)).
- Laturile neparalele se numesc „laturi laterale”.
- Aria unui trapez: \[ A = \frac{(B + b) \cdot h}{2} \] (unde \( h \) este înălțimea).
- Linia mijlocie a unui trapez este segmentul care are extremitatile pe mijlocurile laturilor laterale, iar formula pentru linia mijlocie este: \[ m = \frac{B+b}{2} \]
3. Exemple Rezolvate
Exemplu 1: Calculul Ariei unui Dreptunghi
Fie un dreptunghi cu lungimea \( L = 8 \, \text{cm} \) și lățimea \( l = 5 \, \text{cm} \). Calculați aria.
\(\displaystyle A = L \cdot l = 8 \cdot 5 = 40 \, \text{cm}^2\)
Exemplu 2: Calculul Ariei unui Trapez
Fie un trapez cu baza mare \( B = 10 \, \text{cm} \), baza mică \( b = 6 \, \text{cm} \), și înălțimea \( h = 4 \, \text{cm} \). Calculați aria.
\(\displaystyle A = \frac{(B + b) \cdot h}{2} = \frac{(10 + 6) \cdot 4}{2} = \frac{16 \cdot 4}{2} = \frac{64}{2} = 32 \, \text{cm}^2\)
Exemplu 3: Calculul Ariei unui Romb
Fie un romb cu diagonalele \( d_1 = 10 \, \text{cm} \) și \( d_2 = 8 \, \text{cm} \). Calculați aria.
\(\displaystyle A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{10 \cdot 8}{2} = \frac{80}{2} = 40 \, \text{cm}^2\)
Exemplu 4: Verificarea Sumei Unghiurilor
Într-un paralelogram, un unghi are \( 70^\circ \). Calculați celelalte unghiuri.
- Unghiul opus: \( 70^\circ \) (proprietatea unghiurilor opuse).
- Unghiurile adiacente: \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
Unghiurile sunt: \( 70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ \).