Suma termenilor
În dezvoltarea binomului \( (a + b)^n \), termenii sunt de forma:
\[ T_k = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \],
unde \(\displaystyle C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \). Suma unor termeni specifici ai binomului se calculează prin adunarea valorilor corespunzătoare termenilor selectați.
Exemplu: Suma penultimului termen și a celui din mijloc
Calculați suma penultimului termen și a termenului din mijloc din dezvoltarea binomului \( (x + 1)^6 \).
Pasul 1: Identificarea termenilor
- Penultimul termen: Este termenul pentru \( k = n-1 \), adică: \( T_{penultim} = T_6 = C_6^5 \cdot x^1 \cdot 1^5 = C_6^5 \cdot x = \frac{6!}{5! \cdot 1!} \cdot x = 6x \).
- Termenul din mijloc: Întrucât \( n = 6 \) este par, termenul din mijloc este al patrulea termen (pentru \( k = 3 \)): \( T_{mijloc} = T_4 = C_6^3 \cdot x^3 \cdot 1^3 = C_6^3 \cdot x^3 = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \cdot x^3 = 20x^3 \).
Pasul 2: Calcularea sumei
Adunăm cei doi termeni:
\[ S = T_{penultim} + T_{mijloc} = 6x + 20x^3. \]Exerciții
1
Determinați suma primilor doi termeni ai dezvoltării binomului \(\displaystyle (x + 2)^5 \).
2
Calculați suma ultimilor doi termeni ai dezvoltării \(\displaystyle (2x - 1)^4 \).
3
Aflați termenul din mijloc al dezvoltării \(\displaystyle (x + 3)^4 \).
4
Calculați suma termenilor din mijloc ai dezvoltării \(\displaystyle (x + y)^5 \).
5
Determinați suma coeficienților binomiali ai celui de-al treilea și celui de-al patrulea termen din dezvoltarea \(\displaystyle (a + b)^7 \).
6
În dezvoltarea \(\displaystyle (x^2 + 1)^8 \), calculați suma primului termen și a termenului din mijloc.
7
Calculați suma penultimului și a ultimului termen din dezvoltarea \(\displaystyle (3 + x)^3 \).
8
Determinați suma coeficienților binomiali extremi ai dezvoltării \(\displaystyle (a + b)^{10} \).
9
Fie dezvoltarea \(\displaystyle (x + 2)^6 \). Calculați suma termenului al doilea și a termenului al șaselea.
10
Calculați suma tuturor termenilor dezvoltării \(\displaystyle (1 + 1)^3 \) folosind formula binomului.