Item 2 - exercitii de exersare

Exerciții

Determinati valorile reale ale lui \(a\), pentru care \(X=-4\) este radacina a polinomului \(P(X) = X^3 - X^2 + (a-3)X + 1\).

Restul împărțirii polinomului \( P(X) = -5X^3 + 2X^2 + a \) la binomul \( Q(X) = X-3 \) este egal cu -114. Să se afle restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( R(X) = X+2 \).

Să se determine partea reală a numărului complex \(\displaystyle z = \frac{8 - 9i}{-5 + 2i} \).

\(\displaystyle \bar{z}=4 i^{5}-(1-i)(3+5 i), z-?\)

Fie numărul complex \( z = (2-i)^2 - 3(1-i) \). Să se afle \( z \cdot \bar{z} \).

Să se afle valorile parametrului real \( m \) pentru care polinomul \( P(X) = 2X^5 + 5X^2 - m \) se divide cu binomul \( X+2 \).

Fie polinomul \( P(X) = 2X^3 + (a - 2)X^2 - 3aX + 10 \). Determinați valoarile reale \( a \), știind că restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( Q(X) = X - 2 \) este 4.

Aflăți restul împărțirii \(\displaystyle P(X)=2 X^{2}+X-1 \) la \( Q(X)=X+3 \)

Restul împărţirii polinomului \( P(X)=X^{4}+2 X^{3}-m X^{2}+X+5, m \in R \), la binomul \( X+2 \) este 3. Determinaţi restul împărţirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( X-3 \).

Determinați valorile reale ale lui \(a\) și \(b\) pentru care \(\displaystyle (1+i)ai+(2-3i)b=3-2i \)

Împărţind polinomul \( P(X)=X^{3}+a X^{2}+b X+3 \) la binomul \( X-1 \) și la binomul \( X+2 \), se obţin resturile 5 , respectiv 17. Aflaţi restul împărţirii polinomului \( P(X) \) la \( X-2 \).

Să se afle modulul numărului complex \( z = (2 - 3i)^2 + (3 + i)(3 - i) \).

Încercuiți litera A, dacă propoziția este adevărată, sau litera F, dacă propoziția este falsă:
„Valoarea expresiei \(\displaystyle \left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^8 \) este un număr natural.” A F

\(\displaystyle (1+i) z=4+i\)

Determinați partea imaginară a numărului complex \(\displaystyle z = \frac{1 + i}{1 - i} \).

Fie matricea \( A = \begin{pmatrix} \displaystyle iz & 5i - 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \). Determinați numerele complexe \( z \), pentru care matricea \( A \) nu este inversabilă.

Determinați numarul complex \(z\): \(z(2 - 2i) = i\)

Scrieți în formă algebrică numărul complex \(\displaystyle z = \frac{25}{(2 - i)^2} \).

Determinați restul împărțirii polinomului: \( P(X) = 3X^3 + aX^2 - 2a X + 8 \) la binomul \( X + 2 \), știind că restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la \( X + 1 \) este \( 2 \).

Determinați numarul complex \(z\), știind:
\(\overline{z} = (1 + i)(2 - i) + 3i^5\), unde \(i^2 = -1\), iar \(\overline{z}\) este conjugatul lui \(z\).

Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care \( X = -1 \) este rădăcină a polinomului \( P(X) = X^3 - X^2 + (a - 2)X + 1 \).

Determinați conjugatul numărului complex \( \displaystyle z = \left| \begin{array}{cc} 3-2i & i \\ 5 & 3+2i \end{array} \right| \), unde \( i^2 = -1 \).

Determinați restul împărțirii polinomului \( P(X) = 2X^3 + X^2 - 5X + 1 \) la binomul \( X - 2 \).

Determinați modulul numărului complex \( z = \displaystyle \frac{2 + 9i}{5 - 3i} \)

Să se afle modulul numărului complex \( z = (2+i)(3-2i) - (1-2i)(2-i) \).

Determinați produsul dintre partea reală și partea imaginară a numărului complex \( z = \dfrac{2 - 4i}{1 + i} \), unde \( i^2 = -1 \).

Pentru ce valori reale ale lui \(x\) și \(y\) numerele \(\displaystyle z_1 = x^2+4y-iy \) și \(\displaystyle z_2 = 4+y-\frac{2}{i}-ix^2 \) sunt conjugate?

Fie numerele complexe \( z_1 = 1 + 2i \) și \( z_2 = 1 - i \). Arătați că numărul \( w = z_1^2 + 4z_2 \) este un număr natural.

Determinați numarul complex \(z\): \((3 + 2i)z + 5z = 4\)

Determinați numărul complex \(z=a+bi\), pentru care \(\displaystyle 3+i\cdot \bar{z}=2z \), unde \(\bar{z}\) este conjugatul numărului complex \(z\).

Demonstrați că numărul \(\displaystyle z = \frac{25}{4+3i} + \frac{25}{4-3i} \) este întreg.

Fie \(\displaystyle \bar{z}=(1+i)(2+i)-2-5i \), unde \(\bar{z}\) este conjugatul numărului complex \(z\).

Fie \( \overline{z} = (1 + i)(2 + i) - 2 - 5i \), unde \( \overline{z} \) este conjugatul numărului complex \( z \). Determinați numărul complex \( z \).

Fie \( z = 2i - 5i^3 (1-i) + 4 \). Determinați conjugatul numărului complex \( z \).

Să se afle modulul numărului complex \( z = (2+3i)^2 - (2-3i)^2 \).

Determinați restul împărțirii polinomului \( P(X) = 5X^3 - X^2 - 12X + 10 \) la binomul \( X + 2 \).

Fie numărul \( z = 3i^7 + (2-i)^2 - 7 \). Determinați suma dintre partea reală și partea imaginară a numărului complex \( z \).

Fie \( \displaystyle z=\left|\begin{array}{cc}2-i & 2+3 i \\ i & 1+2 i\end{array}\right| \). Determinați conjugatul numărului complex \( \displaystyle z \).

Determinați valorile reale ale lui \(p\), pentru care numărul \( z^2+pz \) este un număr real, unde \(z=2-3i\)

Determinați modulul numărului complex \( z = (1 + i)(-1 + 2i) + 3i \).

\(\displaystyle z=\frac{26}{2-3 i}-6 i, \operatorname{Re} z \cdot \operatorname{Im} z-?\)

Determinați numarul complex \(z\): \(3(z - 1) - 2(z + 2) = 5 - 8i\)

\(\displaystyle z=(1-2i)(1+i)-3i, |z| -?\)

Arătați că numărul \(\displaystyle z=3+i+\frac{2}{1+i} \) este un număr real.

Aflăți restul împărțirii polinomului \( P(X) = 3X^2 - mx + 15 \) la \( X - 4 \), știind că împărțit la \( X - 2 \) dă restul \(-3\).

Determinati \(a \in \mathbb{R}\), daca \(X=1\) este radacina a polinomului \(P(X) = X^2 - aX + 15\).

Fie \(\displaystyle z = \frac{15 + 20i}{2 + i} \). Determinați numărul \(\displaystyle w = \frac{\text{Im } z}{\text{Re } z} \).

Rezolvați în \(\mathbb{C} \) ecuația: \(\displaystyle (1+2i)z=-5-5i \)

Fie \( z = \begin{vmatrix} 2-i & 2+3i \\ i & 1+2i \end{vmatrix} \). Aflați modulul numărului complex \( \bar{z} \).

Determinați restul împărțirii polinomului \(P(X) = X^3 - 2X^2 + 16\) la polinomul \(Q(X) = X^2 - 1\).

Determinați partea reală a numărului complex \( z \), unde \( z = \begin{vmatrix} 2i && 2i-3 \\ 2i+3 && 5 \end{vmatrix} \) și \( i^2 = -1 \).

Fie numărul complex \( z \) pentru care \(\displaystyle \frac{z}{1+i} = \frac{1}{1-i} \). Arătați că numărul \( z \) este pur imaginar.

Determinați numărul complex \(z=a+bi\), pentru care \(\displaystyle (1+i)z=\bar{z}-2 \), unde \(\bar{z}\) este conjugatul numărului complex \(z\).

Restul împărțirii polinomului \( P(X) = X^3 + 2X^2 + aX + 7 \) la binomul \( X + 2 \) este egal cu \( 17 \). Aflați restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( X - 3 \).

\( \displaystyle \text{Determinați conjugatul numărului complex } z = \begin{vmatrix} 2 - i & 2 \\ i & 2 + i \end{vmatrix}, \; \text{unde } i^2 = -1. \)

\(\displaystyle z =1-2 i , w =5 i z+2 \bar{z}, |w|-? \)

Determinați valorile parametrului real \(a\), astfel încât \(\displaystyle P(X)=2 X^{3}-a X^{2}+X-3 \) este divizibil prin \( Q(X)=X-3 \)

\( z = \begin{vmatrix} 2 - i & 2 + 3i \\ i & 1 + 2i \end{vmatrix} \). Determinați numărul complex \(\overline{z}\).

Să se afle numerele reale \( a \) și \( b \) din relația \(\displaystyle \frac{3-4i}{4+3i} = a + bi \).

Determinați numarul complex \(z\): \((1 + i)z = 3 - i\)

Aflăți restul împărțirii \(\displaystyle P(X)=4 X^{4}-3 X^{3}+6 X-2 \) la \( Q(X)=X^{2}+1 \)

Determinați partea reală a numărului complex \(\displaystyle z=\frac{8-9i}{-5+2i} \)

Să se arate că numărul \(\displaystyle z = \left( \frac{1}{1-i} - \frac{1}{1+i} \right)^2 \) este întreg.

Determinați conjugatul numărului complex \(\displaystyle z = \frac{1}{i} + 3i^3 - 3 \).

\(\displaystyle z=\left|\begin{array}{cc}2-i & 2 \\ i^{3} & 2+i\end{array}\right|, \bar{z}-?\)

Să se afle modulul numărului complex \(\displaystyle z = \frac{5+i}{(1+i)(2-3i)} \).

\(\displaystyle z=\frac{1-i}{1+i}, \operatorname{Im} z -?\)

Fie polinomul \(P(X) = X^2 + aX + 5\). Știind că restul impartirii la \(X+11\) este -9, aflați restul impartirii la \(X+2\).

Să se rezolve în mulțimea \( \mathbb{C} \) ecuația \( (3-i)z = 2 + 3i \).

Determinați \( a, b \in \mathbb{R} \), astfel încât să avem egalitatea \( (1 - i\sqrt{3})^3 = a + bi \).

Fie \( z = -1 + 2i \). Determinați modulul numărului complex \( w = 5iz + 2\overline{z} \), unde \( \overline{z} \) este conjugatul numărului complex \( z \).

Fie \( z = 2i^3 + (2 + i)^2 - 5 \). Determinați suma dintre partea reală și partea imaginară a numărului complex \( z \).

Să se afle valorile parametrului real \( m \) pentru care restul împărțirii polinomului \( P(X) = X^3 - 2X^2 + mx - 4 \) la binomul \( X - 4 \) să fie egal cu \( 40 \).

Aflați inversul numărului \(\displaystyle z=(1+i)(3-i)-i^3 \)

Să se calculeze determinantul \(\displaystyle d = \begin{vmatrix} 3 + i\sqrt{5} & 2 + \sqrt{3} \\ 2 - \sqrt{3} & 3 - i\sqrt{5} \end{vmatrix} \)

Polinomul \( P(X) = -X^3 - 3X^2 + (a+3)X + (2a+1) \) este divizibil prin binomul \( X+1 \). Determinaţi restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( Q(X)=X-5 \).

Să se afle modulul numărului complex \( z \), dacă \(\displaystyle \frac{z}{2+i} = \frac{1}{2-i} \).

Să se afle modulul numărului complex \(\displaystyle z = \begin{vmatrix} 2+i & 1-i \\ 3+i & 5-i \end{vmatrix} \).

Determinați valorile reale ale lui \( a \) pentru care \( X = -3 \) este rădăcină a polinomului \( P(X) = X^3 + (a - 1)X^2 - 5X + 3 \).

Se consideră polinomul \( P(X) = X^3 - 3X^2 + aX + b \), unde \( a, b \in \mathbb{R} \). Știind că \( X = -2 \) este rădăcină a polinomului \( P(X) \), iar restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( X-3 \) este egal cu -10, să se afle restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( X-2 \).

Arătați că numărul \(\displaystyle z = \frac{1}{2i}\left(i^7 - \frac{1}{i^7}\right) \) este întreg.

Determinați modulul numărului complex \(\displaystyle z = \frac{25}{(2-i)^2} \)

Fie \( z = 2(1 - 3i)^2 \). Determinați modulul numărului complex \( z \).

\(\displaystyle z=(3-i)(2+5 i)-2 i^{7}, \bar{z}-?\)

Fie \(\displaystyle z=2i^3 +(2+i)^2 -5 \). Determinați suma dintre partea reală și partea imaginară a numărului complex \(z\).

Determinați numarul complex \(z\): \((3 - 4i)z = 1 - i\)

Determinați conjugatul numărului complex \( z \), pentru care \( (3-2i)z = 26i \).

\(\displaystyle z=\frac{5-15 i}{3-4 i}, \operatorname{Re} z \cdot \operatorname{Im} z-?\)

Determinați restul împărțirii polinomului \(P(X)=3X^3-mX^2+15\) la \(X-5\), știind că împărțit la \(X-2\) dă restul \(-3\).

Rezolvați în \(\mathbb{C} \) ecuația \(\displaystyle (2-i)z^2-(3+i)z-2+6i=0 \)

Aflați conjugatul numărului complex \( z = \begin{vmatrix} i^2 & i^3 \\ 2-3i & i \end{vmatrix} \).

Aflăți restul împărțirii \(\displaystyle P(X)=X^{3}-2 X^{2}+3 X-5 \) la \( Q(X)=X-2 \)

Determinați modulul numărului \(\displaystyle z=\frac{5+3i}{1+i}-2i \)

Determinați numărul complex \(\displaystyle z=(i+3)(3i-2)+7i^{15} \)

\(\displaystyle z=\frac{4+2 i}{1-i}, \operatorname{Re} z \cdot \operatorname{Im} z-?\)

Fie numărul complex \( z = -3 + 2i \). Determinați produsul dintre partea reală și partea imaginară a numărului complex \( w = z^2 + 3i - 1 \).

Să se afle numărul complex \( z \) din egalitatea \(\displaystyle \frac{z}{3-i} = \frac{13+4i}{17-9i} \).

\(\displaystyle z=\frac{50}{4+3 i}-8, \operatorname{Re} z \cdot \operatorname{Im} z-?\)

\(\displaystyle z=\frac{9i-8}{2i-5}, \operatorname{Re} z -?\)

100

Se consideră polinomul \( P(X) = 3X^4 + (m-1)X^3 + 2X^2 - 5 \). Dacă restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( Q(X) = X+1 \) este egal cu 7, să se afle restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( R(X) = X-2 \).

101

Să se arate că numărul \( z = (1+i\sqrt{3})^2 + (1-i\sqrt{3})^2 \) este întreg.

102

Determinați modulul numărului complex \( \displaystyle z = (5 - 3i)^2 - 42i^3, \) unde \( i^2 = -1. \)

103

Determinați modulul numărului complex \(\displaystyle z \;=\; (7 + 3i)^2 \;+\; 33\,i^7,\) unde \(i^2 = -1\).

104

Determinați modulul numărului complex \(\displaystyle z = \frac{3 + 4i}{2+i} \), unde \( i^2 = -1.\)

105

Determinați restul împărțirii polinomului \( P(X) = 2X^3 + X^2 - 2 \) la polinomul \( Q(X) = X^2 + 2 \).

106

Arătați că \(\displaystyle z = 3 + i + \frac{2}{1 + i} \) este un număr real.

107

Determinați modulul numărului complex \(\displaystyle z=(1+4i)(-2+i)+15i \)

108

Determinați numărul complex \(\displaystyle z=4i^9+(2i-1)^2 \)

109

\(\displaystyle \bar{z}=\left|\begin{array}{cc}3-2 i & i^{3} \\ 3 & 2+3 i\end{array}\right|, z-?\)

110

Rezolvaţi în \( \mathbb{C} \) ecuaţia \( (3+2i)z = 20-4i \)

111

Fie polinomul \( P(X) = 5X^3 - 2X^2 + X - 4 \). Determinați restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( X + 2 \).

112

Împărţind polinomul \( P(X)=X^{3}+a X^{2}+b X+3 \) la binomul \( X+2 \), se obţine restul 1, iar la binomul \( X+3 \), se obţine restul -3 . Determinați \( a, b \in R \).

113

Restul împărțirii polinomului \( P(X) = X^3 - aX^2 + 6X - 7 \) la binomul \( X-2 \) este egal cu 7. Să se afle restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( X+2 \).

114

\(\displaystyle z=(i-2)(3 i-2)+3 i^{3}, \bar{z}-?\)

115

Determinati valorile reale ale lui \(a\), stiind ca \(X=-2\) este radacina a polinomului \(P(X) = 2X^3 + 4X + a\).

116

Fie polinomul: \( P(X) = -2X^3 + (m^2 - 3) X^2 + (m + 1)X + m \). Determinați: \( m \in \mathbb{Z} \), știind că restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la \( X + 2 \) este \( 7 \).

117

Fie polinomul \( P(X) = 2X^3 + 3X^2 - (a+1)X + 2 \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care polinomul \( P(X) \) este divizibil prin \( Q(X) = X+1 \).

118

Fie polinomul \( P(X)=X^{4}+m X^{3}-3 X^{2}+(m+1) X-m-1 \). Determinaţi valoarea parametrului real \( m \), astfel încât restul împărţirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( X-2 \) să fie 23.

119

Determinați conjugatul numărului complex \(\displaystyle z = \frac{3}{i} + 2i^3 - 5 \).

120

Fie polinomul \( P(X) = aX^4 + X^3 + bX^2 - X + 6 \). Știind că \( P(X) \) se divide cu \( X+1 \) și că restul împărțirii lui \( P(X) \) la \( X-2 \) este egal cu 12, să se afle restul împărțirii lui \( P(X) \) la \( X+3 \).

121

Fie \( \overline{z} = (2 + i)(1 - i) + 2 - 3i \), unde \( \overline{z} \) este conjugatul numărului complex \( z \). Determinați numărul complex \( z \).

122

Rezolvați în \(\mathbb{C} \) ecuația \(\displaystyle z^2-3z+3+i = 0 \)

123

Să se afle valoarea parametrului real \( a \) pentru care \( X = \displaystyle \frac{1}{2} \) este rădăcină a polinomului \( P(X) = 4X^3 - 22X^2 + aX - 14 \).

124

Determinați numarul complex \(z\): \(\overline{z}(3 - i) = 2 - 2i\)

125

Fie polinomul \( P(X)=4 X^{4}+4 m X^{3}+\left(m^{2}+7\right) X^{2}+4 m X+4 \), unde \( m \in R \). Determinați \( m \in R \), știind că \( X=1 \) este o rădăcină a polinomului \( P(X) \).

126

Rezolvați în \(\mathbb{C} \) ecuația: \(\displaystyle z^4-5z^2-36=0 \)

127

Determinați \(P(X) = mX^4 - 3X^3 + nX^2 - X + 1\), dacă \(P(X)\) se divide prin \(X-1\), iar restul împărțirii \(P(X)\) la \(X+2\) este \(51\).

128

Fie \( \bar{z} = (3+5i)(3-5i) + 2 - 7i^3 \), unde \( \bar{z} \) este conjugatul numărului complex \( z \). Determinați numărul complex \( z \).

129

Rezolvați în \( \mathbb{C} \) ecuația: \( \displaystyle (5 - i)z = 13. \)

130

Fie polinomul \( P(X) = 3X^3 + (a+3)X^2 - a^2X - 5 \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), știind că restul împărțirii polinomului la binomul \( Q(X) = X + 2 \) este \( 13 \).

131

Știind că \(\displaystyle \frac{z}{1+i}=\frac{1}{1-i} \), arătați că numărul \(z\) este imaginar.

132

Se consideră polinomul \( P(X) = X^3 + X^2 + aX - 2 \), unde \( a \in \mathbb{R} \). Ştiind că polinomul \( P(X) \) se divide cu \( X-2 \), să se afle restul împărţirii lui \( P(X) \) la binomul \( Q(X) = X+3 \).

133

Fie polinomul \( P(X) = X^3 - 4X^2 - aX - 4 \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care polinomul \( P(X) \) este divizibil prin \( Q(X) = X - 2 \).

134

Determinați valorile parametrului real \(a\), astfel încât \(\displaystyle P(X)=X^{3}-2 X^{2}-a X+2 \) este divizibil prin \( Q(X)=X-2 \)

135

Determinați numarul complex \(z\): \(4z - 5z + 10z = 8z - 2 - 3i\)

136

Calculați determinantul matricei \( A = \begin{pmatrix} 2+5i & -3 \\ i^5 & 2-5i \end{pmatrix} \), unde \( i^2 = -1 \)

137

Determinați numarul complex \(z\): \(3z \cdot i + (5 - 2i)z = 3z + 2 - i\)

138

Determinați restul împărțirii polinomului \( P(X) = X^3 - 6X^2 - 2 \) la polinomul \( Q(X) = X^2 - 3 \)

139

Fie polinomul \( P(X) = X^3 - aX^2 + X + a \). Aflați numărul real \( a \), dacă \( X = 2 \) este rădăcină a polinomului \( P(X) \).

140

Determinați produsul dintre partea reală și partea imaginară a numărului complex:
\(\displaystyle z = \frac{26}{3 - 2i} - 6\), unde \(i^2 = -1\).

141

\(\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}2-3 i & i^{6} \\ 4 & 2+3 i\end{array}\right), \operatorname{det} A-?\)

142

Determinați numarul complex \(z\): \(28z - 3 - 5i = 29z - 2 - 4i\)

143

Fie \(\displaystyle z = \frac{12 + 9i}{3 - 4i} \). Determinați modulul numărului complex \( z \).

144

Fie polinomul \( P(X) = 2X^3 + aX^2 + bX - 6 \), unde \( a, b \in \mathbb{R} \). Știind că \( X = -1 \) și \( X = 2 \) sunt rădăcini ale polinomului \( P(X) \), aflați restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( Q(X) = X-3 \).

145

Fie polinomul \( P(X) = 7X^3 - 6X^2 + bX + 1 \). Știind că restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( X + 1 \) este 3, aflați numărul real \( b \).

146

Aflați restul împărțirii polinomului \( P(X) = 2X^3 + 5X^2 - 3X - 4 \) la binomul \( X + 2 \).

147

Fie numerele complexe \( z_1 = 2-3i \) și \( z_2 = 4+i \). Determinați partea reală a numărului complex \( z = z_1 \cdot z_2 + \overline{z_1 \cdot z_2} \).

148

Aflați restul împărțirii polinomului \( P(X) = 3X^3 + aX^2 - 2aX + 7 \) la binomul \( X - 2 \), știind că \( X = -1 \) este rădăcină a acestui polinom.

149

Împărţind polinomul \( P(X)=X^{3}+a X^{2}+b X+2 \) la \( X+1 \) şi \( X-2 \) se obţin restul 7 și respectiv 4. Aflaţi restul împărţirii polinomului \( P(X) \) la \( X+2 \).

150

Aflăți restul împărțirii \(\displaystyle P(X)=3 X^{3}-4 X^{2}+5 X-1 \) la \( Q(X)=X^{2}-2 \)

151

\(\displaystyle \bar{z}=(2-i)(1+i)-3 i^{3}, z-?\)

152

\(\displaystyle z=(3-7 i)(2+3 i)-(6+i)(1+2 i), \bar{z}-?\)

153

Fie \( \bar{z} = (2+i)(3-i) - 4 + 5i \), unde \( \bar{z} \) este conjugatul numărului complex \( z \). Determinați numărul complex \( z \).

Răspunsuri

Rezolvări

\( \displaystyle \bar{z} = 4i - (3 + 5i - 3i + 5) = 4i - 8 - 2i = -8 + 2i \)

Rezolvare:
\(\displaystyle z = (2-i)^2 - 3(1-i) = 4 - 4i + i^2 - 3 + 3i = 4 - 4i - 1 - 3 + 3i = -i \) Atunci \( \bar{z} = i \). Obținem \( z \cdot \bar{z} = -i \cdot i = -i^2 = 1 \).

Pasul 1: Conform teoremei lui Bézout, restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la \( X+2 \) este \( P(-2) \). Deci, \( P(-2) = 3 \).
Pasul 2: Înlocuim \( X=-2 \) în polinom:
\(\displaystyle P(-2) = (-2)^4 + 2(-2)^3 - m(-2)^2 + (-2) + 5 = 3\)
\(\displaystyle 16 - 16 - 4m - 2 + 5 = 3\)
\(\displaystyle -4m + 3 = 3\)
\(\displaystyle -4m = 0\)
\(\displaystyle m = 0\)
Pasul 3: Acum, \( P(X) = X^4 + 2X^3 + X + 5 \). Calculăm restul împărțirii lui \( P(X) \) la \( X-3 \), adică \( P(3) \).
\(\displaystyle P(3) = (3)^4 + 2(3)^3 + 3 + 5 = 81 + 54 + 3 + 5 = 143\)

\( \displaystyle (1+i)ai = ai - a \)
\( \displaystyle (2-3i)b = 2b - 3bi \)
\( \displaystyle -a + ai + 2b - 3bi = 3 - 2i \)
\( \displaystyle (-a + 2b) + (a - 3b)i = 3 - 2i \)
\( \displaystyle -a + 2b = 3 \)
\( \displaystyle a - 3b = -2 \)
Adunăm ecuațiile:
\( \displaystyle -b = 1 \Rightarrow b = -1 \)
\( \displaystyle -a - 2 = 3 \Rightarrow -a = 5 \Rightarrow a = -5 \)

Pasul 1: Conform teoremei lui Bézout, avem \( P(1) = 5 \) și \( P(-2) = 17 \).
Pasul 2: Înlocuim \( X=1 \) și \( X=-2 \) în polinom:
\(\displaystyle P(1) = (1)^3 + a(1)^2 + b(1) + 3 = 5\)
\(\displaystyle 1 + a + b + 3 = 5\)
\(\displaystyle a + b = 1\)
\(\displaystyle P(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) + 3 = 17\)
\(\displaystyle -8 + 4a - 2b + 3 = 17\)
\(\displaystyle 4a - 2b = 22\)
\(\displaystyle 2a - b = 11\)
Pasul 3: Rezolvăm sistemul de ecuații:
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{c} a + b = 1 \\ 2a - b = 11 \end{array}\right.\)
Adunăm ecuațiile:
\(\displaystyle 3a = 12\)
\(\displaystyle a = 4\)
\(\displaystyle b = 1 - a = 1 - 4 = -3\)
Pasul 4: Deci, \( P(X) = X^3 + 4X^2 - 3X + 3 \). Calculăm restul împărțirii lui \( P(X) \) la \( X-2 \), adică \( P(2) \).
\(\displaystyle P(2) = (2)^3 + 4(2)^2 - 3(2) + 3 = 8 + 16 - 6 + 3 = 21\)

\( \displaystyle z = \frac{4+i}{1+i} = \frac{(4+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4 - 4i + i + 1}{2} = \frac{5 - 3i}{2} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}i \)

\( \displaystyle 3 + i(a - bi) = 3 + ai + b \)
\( \displaystyle 2(a + bi) = 2a + 2bi \)
\( \displaystyle 3 + b + ai = 2a + 2bi \)
\( \displaystyle 3 + b = 2a \)
\( \displaystyle a = 2b \)
\( \displaystyle 3 + b = 4b \Rightarrow 3b = 3 \Rightarrow b = 1 \)
\( \displaystyle a = 2 \)
\( \displaystyle z = 2 + i \)

Rezolvare:
\(\displaystyle z = \frac{25}{4+3i} + \frac{25}{4-3i} = \frac{25(4-3i) + 25(4+3i)}{(4+3i)(4-3i)} = \frac{100-75i+100+75i}{16-9i^2} = \frac{200}{16+9} = \frac{200}{25} = 8 \in \mathbb{Z} \)

\( \displaystyle (1+i)(2+i) = 2 + i + 2i - 1 = 1 + 3i \)
\( \displaystyle \bar{z} = 1 + 3i - 2 - 5i = -1 - 2i \)
\( \displaystyle z = \overline{-1 - 2i} = -1 + 2i \)

\( \displaystyle z = (2-i)(1+2i) - i(2+3i) = 2 + 4i - i + 2 - 2i - 3i^2 = 4 + 3i - 2i + 3 = 7 + i \)
\( \displaystyle \bar{z} = 7 - i \)

\( \displaystyle z^2 = (2-3i)^2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i \)
\( \displaystyle pz = p(2-3i) = 2p - 3pi \)
\( \displaystyle z^2 + pz = -5 - 12i + 2p - 3pi = (-5 + 2p) + (-12 - 3p)i \)
Pentru ca numărul să fie real, partea imaginară trebuie să fie 0:
\( \displaystyle -12 - 3p = 0 \Rightarrow -3p = 12 \Rightarrow p = -4 \)

\( \displaystyle z = \frac{26(2+3i)}{4+9} - 6i = \frac{26(2+3i)}{13} - 6i = 2(2+3i) - 6i = 4 + 6i - 6i = 4 \)
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 4, \operatorname{Im}(z) = 0 \)
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) \cdot \operatorname{Im}(z) = 0 \)

\( \displaystyle z = 1 + i - 2i + 2 - 3i = 3 - 4i \)
\( \displaystyle |z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

\( \displaystyle \frac{2}{1+i} = \frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i \)
\( \displaystyle z = 3 + i + 1 - i = 4 \)

\( \displaystyle z = \frac{-5-5i}{1+2i} = \frac{(-5-5i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{-5 + 10i - 5i - 10}{1 + 4} = \frac{-15 + 5i}{5} = -3 + i \)

\( \displaystyle (1+i)(a+bi) = a + bi + ai - b = (a-b) + (a+b)i \)
\( \displaystyle \bar{z} - 2 = a - bi - 2 = (a-2) - bi \)
\( \displaystyle (a-b) + (a+b)i = (a-2) - bi \)
\( \displaystyle a - b = a - 2 \Rightarrow b = 2 \)
\( \displaystyle a + b = -b \Rightarrow a = -2b = -4 \)
\( \displaystyle z = -4 + 2i \)

\( \displaystyle w = 5i(1-2i) + 2(1+2i) = 5i + 10 + 2 + 4i = 12 + 9i \)
\( \displaystyle |w| = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \)

Pasul 1: Dacă \( P(X) \) este divizibil prin \( Q(X) \), atunci \( P(3) = 0 \).
Pasul 2: Înlocuim \( X=3 \) în polinom:
\(\displaystyle P(3) = 2(3)^3 - a(3)^2 + 3 - 3 = 0\)
\(\displaystyle 2(27) - 9a + 0 = 0\)
\(\displaystyle 54 - 9a = 0\)
\(\displaystyle 9a = 54\)
\(\displaystyle a = 6\)

Rezolvare:
\(\displaystyle \frac{3-4i}{4+3i} = \frac{(3-4i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)} = \frac{12-9i-16i+12i^2}{16-9i^2} = \frac{12-25i-12}{16+9} = -\frac{25i}{25} = -i \) Deci \( a = 0, b = -1 \).

\( \displaystyle z = \frac{8-9i}{-5+2i} = \frac{(8-9i)(-5-2i)}{(-5+2i)(-5-2i)} = \frac{-40 - 16i + 45i - 18}{25 + 4} = \frac{-58 + 29i}{29} = -2 + i \)
\( \operatorname{Re}(z) = -2 \)

\( \displaystyle z = (2-i)(2+i) - 2i^3 = 4 + 1 - 2(-i) = 5 + 2i \)

\( \displaystyle z = \frac{(1-i)(1-i)}{1+1} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = \frac{-2i}{2} = -i \)

\( \displaystyle (1+i)(3-i) = 3 - i + 3i + 1 = 4 + 2i \)
\( \displaystyle -i^3 = i \)
\( \displaystyle z = 4 + 2i + i = 4 + 3i \)
\( \displaystyle \frac{1}{z} = \frac{1}{4+3i} = \frac{4-3i}{(4+3i)(4-3i)} = \frac{4-3i}{16+9} = \frac{4-3i}{25} = \frac{4}{25} - \frac{3}{25}i \)

Rezolvare:
Dacă \( x = -2 \) este rădăcină a polinomului \( P(X) \), rezultă că \( P(-2) = 0 \), adică \( -8 - 12 - 2a + b = 0 \), sau \( -2a + b = 20 \). Dacă prin împărțirea polinomului \( P(X) \) la binomul \( X-3 \) se obține restul -10, atunci \( P(3) = -10 \), sau \( 27 - 27 + 3a + b = -10 \), de unde \( 3a + b = -10 \). Obținem sistemul: \[ \begin{cases} -2a + b = 20 \\ 3a + b = -10 \end{cases} \] Rezolvând sistemul obținem \( a = -6, b = 8 \). Atunci obținem polinomul \( P(X) = X^3 - 3X^2 - 6X + 8 \). Restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la binomul \( X-2 \) este egal cu \( P(2) \), deci \( P(2) = 8 - 12 - 12 + 8 = -8 \).

\( \displaystyle z = 6 + 15i - 2i + 5 - 2(-i) = 11 + 13i + 2i = 11 + 15i \)

\( \displaystyle 2i^3 = -2i \)
\( \displaystyle (2+i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i \)
\( \displaystyle z = -2i + 3 + 4i - 5 = -2 + 2i \)
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z) = -2 + 2 = 0 \)

\( \displaystyle z = \frac{(5-15i)(3+4i)}{9+16} = \frac{15 + 20i - 45i + 60}{25} = \frac{75 - 25i}{25} = 3 - i \)
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 3, \operatorname{Im}(z) = -1 \)

\( \displaystyle \Delta = (3+i)^2 - 4(2-i)(-2+6i) = 9 + 6i - 1 - 4(-4 + 12i + 2i + 6) = 8 + 6i - 4(2 + 14i) = 8 + 6i - 8 - 56i = -50i \)
\( \displaystyle \sqrt{\Delta} = \sqrt{-50i} = a + bi \)
\( \displaystyle (a+bi)^2 = -50i \)
\( \displaystyle a^2 - b^2 + 2abi = -50i \)
\( \displaystyle a^2 - b^2 = 0 \Rightarrow a^2 = b^2 \)
\( \displaystyle 2ab = -50 \Rightarrow ab = -25 \)
\( \displaystyle a = b \) sau \( a = -b \)
Dacă \( a = b \), atunci \( a^2 = -25 \) (imposibil)
Dacă \( a = -b \), atunci \( -a^2 = -25 \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow a = \pm 5 \)
\( \displaystyle a = 5 \Rightarrow b = -5 \)
\( \displaystyle a = -5 \Rightarrow b = 5 \)
\( \displaystyle \sqrt{\Delta} = 5 - 5i \) sau \( -5 + 5i \)
\( \displaystyle z_1 = \frac{3+i + 5 - 5i}{2(2-i)} = \frac{8 - 4i}{4 - 2i} = \frac{2(4 - 2i)}{4 - 2i} = 2 \)
\( \displaystyle z_2 = \frac{3+i - 5 + 5i}{2(2-i)} = \frac{-2 + 6i}{4 - 2i} = \frac{-1 + 3i}{2 - i} = \frac{(-1 + 3i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{-2 - i + 6i - 3}{4 + 1} = \frac{-5 + 5i}{5} = -1 + i \)

\( \displaystyle \frac{5+3i}{1+i} = \frac{(5+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{5 - 5i + 3i + 3}{1 + 1} = \frac{8 - 2i}{2} = 4 - i \)
\( \displaystyle z = 4 - i - 2i = 4 - 3i \)
\( \displaystyle |z| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)

\( \displaystyle (i+3)(3i-2) = 3i^2 - 2i + 9i - 6 = -3 + 7i - 6 = -9 + 7i \)
\( \displaystyle i^{15} = i^{12} \cdot i^3 = -i \)
\( \displaystyle z = -9 + 7i - 7i = -9 \)

\( \displaystyle z = \frac{(4+2i)(1+i)}{1+1} = \frac{4 + 4i + 2i - 2}{2} = \frac{2 + 6i}{2} = 1 + 3i \)
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 1, \operatorname{Im}(z) = 3 \)

\( \displaystyle z = \frac{50(4-3i)}{16+9} - 8 = \frac{50(4-3i)}{25} - 8 = 2(4-3i) - 8 = 8 - 6i - 8 = -6i \)
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 0, \operatorname{Im}(z) = -6 \)
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) \cdot \operatorname{Im}(z) = 0 \)

\( \displaystyle z = \frac{(9i-8)(-2i-5)}{(2i-5)(-2i-5)} = \frac{-18i^2 - 45i + 16i + 40}{4i^2 - 25} = \frac{18 - 29i + 40}{-4 - 25} = \frac{58 - 29i}{-29} = -2 + i \)

101

Rezolvare:
\(\displaystyle z = (1+i\sqrt{3})^2 + (1-i\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3}i + 3i^2 + 1 - 2\sqrt{3}i + 3i^2 = 1-3 + 1-3 = -4 \in \mathbb{Z} \)

107

\( \displaystyle (1+4i)(-2+i) = -2 + i - 8i - 4 = -6 - 7i \)
\( \displaystyle z = -6 - 7i + 15i = -6 + 8i \)
\( \displaystyle |z| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)

108

\( \displaystyle i^9 = i \)
\( \displaystyle (2i - 1)^2 = -4 - 4i + 1 = -3 - 4i \)
\( \displaystyle z = 4i - 3 - 4i = -3 \)

109

\( \displaystyle \bar{z} = (3-2i)(2+3i) - 3i^3 = 6 + 9i - 4i + 6 + 3i = 12 + 8i \)

112

Rezolvare: Conform teoremei lui Bézout, restul împărțirii polinomului \( P(X)=X^{3}+a X^{2}+b X+3 \) la binomul \( X+2 \) este \( P(-2)=1 \), iar la binomul \( X+3 \) este \( P(-3)=-3 \). Astfel, obținem sistemul:
\(\displaystyle \left\{\begin{array} { c } { P ( - 2 ) = - 8 + 4 a - 2 b + 3 = 1 } \\ { P ( - 3 ) = - 2 7 + 9 a - 3 b + 3 = - 3 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { 4 a - 2 b = 6 } \\ { 9 a - 3 b = 2 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { 4 a - 2 b = 6 } \\ { 3 a - b = 7 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { b = 3 a - 7 } \\ { 4 a - 6 a + 1 4 = 6 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=4 \\ b=5 \end{array}\right.\right.\right.\right.\right. \)
\( a=4, b=5 \)

114

\( \displaystyle z = 3i^2 - 2i - 6i + 4 - 3i = -3 - 8i + 4 - 3i = 1 - 11i \)

118

Pasul 1: Conform teoremei lui Bézout, restul împărțirii polinomului \( P(X) \) la \( X-2 \) este \( P(2) \). Deci, \( P(2) = 23 \).
Pasul 2: Înlocuim \( X=2 \) în polinom:
\(\displaystyle P(2) = (2)^4 + m(2)^3 - 3(2)^2 + (m+1)(2) - m - 1 = 23\)
\(\displaystyle 16 + 8m - 12 + 2m + 2 - m - 1 = 23\)
\(\displaystyle 9m + 5 = 23\)
\(\displaystyle 9m = 18\)
\(\displaystyle m = 2\)

122

\( \displaystyle \Delta = (-3)^2 - 4(1)(3+i) = 9 - 12 - 4i = -3 - 4i \)
\( \displaystyle \sqrt{\Delta} = a + bi \)
\( \displaystyle (a+bi)^2 = -3 - 4i \)
\( \displaystyle a^2 - b^2 = -3 \)
\( \displaystyle 2ab = -4 \)
\( \displaystyle a^2 + b^2 = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5 \)
\( \displaystyle 2a^2 = 2 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1 \)
\( \displaystyle a = 1 \Rightarrow b = -2 \)
\( \displaystyle a = -1 \Rightarrow b = 2 \)
\( \displaystyle \sqrt{\Delta} = 1 - 2i \) sau \( -1 + 2i \)
\( \displaystyle z_1 = \frac{3 + 1 - 2i}{2} = \frac{4 - 2i}{2} = 2 - i \)
\( \displaystyle z_2 = \frac{3 - 1 + 2i}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i \)

125

Pasul 1: Dacă \( X=1 \) este o rădăcină a polinomului \( P(X) \), atunci \( P(1) = 0 \).
Pasul 2: Înlocuim \( X=1 \) în polinom:
\(\displaystyle P(1) = 4(1)^4 + 4m(1)^3 + (m^2 + 7)(1)^2 + 4m(1) + 4 = 0\)
\(\displaystyle 4 + 4m + m^2 + 7 + 4m + 4 = 0\)
\(\displaystyle m^2 + 8m + 15 = 0\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:
\(\displaystyle m^2 + 8m + 15 = 0\)
\(\displaystyle (m+3)(m+5) = 0\)
Deci, \( m = -3 \) sau \( m = -5 \).

126

Fie \( \displaystyle y = z^2 \). Ecuația devine:
\( \displaystyle y^2 - 5y - 36 = 0 \)
\( \displaystyle \Delta = (-5)^2 - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169 \)
\( \displaystyle y_1 = \frac{5 + 13}{2} = 9 \)
\( \displaystyle y_2 = \frac{5 - 13}{2} = -4 \)
\( \displaystyle z^2 = 9 \Rightarrow z = \pm 3 \)
\( \displaystyle z^2 = -4 \Rightarrow z = \pm 2i \)

131

\( \displaystyle z = \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i \)

132

Rezolvare:
Pentru ca \( P(X) \) să se dividă cu \( X-2 \), \( P(2) = 0 \implies 8 + 4 + 2a - 2 = 0 \implies 2a = -10 \implies a = -5 \).
Astfel, \( P(X) = X^3 + X^2 - 5X - 2 \). Restul împărţirii lui \( P(X) \) la \( Q(X) = X+3 \) este \( r = P(-3) = -27 + 9 + 15 - 2 = -5 \).

134

Pasul 1: Dacă \( P(X) \) este divizibil prin \( Q(X) \), atunci \( P(2) = 0 \).
Pasul 2: Înlocuim \( X=2 \) în polinom:
\(\displaystyle P(2) = (2)^3 - 2(2)^2 - a(2) + 2 = 0\)
\(\displaystyle 8 - 8 - 2a + 2 = 0\)
\(\displaystyle -2a + 2 = 0\)
\(\displaystyle 2a = 2\)
\(\displaystyle a = 1\)

141

\( \displaystyle \operatorname{det} A = (2-3i)(2+3i) - 4i^6 = 4 + 9 - 4(-1) = 13 + 4 = 17 \)

149

Rezolvare: Conform teoremei lui Bézout, \( R(X)=P(-1)=7 \) și \( R(X)=P(2)=4 \). Astfel, obținem sistemul:
\(\displaystyle \left\{\begin{array} { l } { P ( - 1 ) = 7 } \\ { P ( 2 ) = 4 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { - 1 + a - b + 2 = 7 } \\ { 8 + 4 a + 2 b + 2 = 4 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { a - b = 6 } \\ { 2 a + b = - 3 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} a=1 \\ b=-5 \end{array}\right.\right.\right.\right. \)
Deci polinomul \( P(X) \) are forma \( P(X)=X^{3}+X^{2}-5 X+2 \). Conform teoremei lui Bézout, restul împărțirii polinomului \( P(X)=X^{3}+X^{2}-5 X+2 \) la binomul \( X+2 \) este \( R(X)=P(-2)=-8+4+10+2=8 \)

151

\( \displaystyle \bar{z} = 2 + 2i - i + 1 + 3i = 3 + 4i \)

152

\( \displaystyle z = 6 + 9i - 14i + 21 - (6 + 12i + i - 2) = 27 - 5i - (4 + 13i) = 23 - 18i \)

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări