Conul
1. Definiție
Conul este definit prin următoarele elemente:
- O bază circulară de rază \(r\).
- O suprafață laterală curbă.
- Un vârf \(V\), care este punctul comun al tuturor generatoarelor conului.
- Înălțimea \(h\) este segmentul perpendicular tras din vârf pe planul bazei.
- Apoi, \(g\) este generatoarea conului, adică distanța dintre vârf și un punct de pe marginea bazei.
2. Formule importante
2.1. Aria laterală
Aria laterală a conului este dată de produsul dintre \(\pi\), raza bazei \(r\) și generatoarea \(g\):
\[ A_{lat} = \pi r g \]
2.2. Aria totală
Aria totală a conului este suma ariei laterale și a ariei bazei:
\[ A_{tot} = A_{lat} + A_{b} = \pi r g + \pi r^2 \]
2.3. Volumul
Volumul conului este dat de o treime din produsul dintre aria bazei și înălțimea \(h\):
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
2.4. Generatoarea
Apotema \(g\) poate fi calculată folosind teorema lui Pitagora:
\[ g = \sqrt{r^2 + h^2} \]
3. Exemplu de calcul
Exemplu: Fie un con cu baza de rază \(r = 5 \;\text{cm}\) și înălțimea \(h = 12 \;\text{cm}\). Calculați apotema, aria laterală, aria totală și volumul.
3.1. Calculul apotemei
Apotema \(l\) este:
\[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \;\text{cm} \]
3.2. Calculul ariei laterale
Aria laterală este:
\[ A_{lat} = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65 \pi \;\text{cm}^2 \]
3.3. Calculul ariei totale
Aria bazei este:
\[ A_{b} = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25 \pi \;\text{cm}^2 \]
Aria totală este:
\[ A_{tot} = A_{lat} + A_{b} = 65 \pi + 25 \pi = 90 \pi \;\text{cm}^2 \]
3.4. Calculul volumului
Volumul este:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 300 = 100 \pi \;\text{cm}^3 \]
Exerciții
1
Aria totală a unui con circular drept este de \(384\pi \, \text{cm}^2\), iar aria bazei lui – de \(144\pi \, \text{cm}^2\). Să se calculeze volumul conului.
2
Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi dreptunghic isoscel care are o catetă de \(5 \, \text{cm}\). Să se determine:
a) aria totală a conului;
b) volumul conului.
a) aria totală a conului;
b) volumul conului.
3
Aria laterală a unui con circular drept este de două ori mai mare decât aria bazei, iar înălțimea are lungimea de \(6 \, \text{cm}\). Determinați volumul conului.