Item 6 - toate variantele posibile
Exerciții
1
Un con circular drept are secțiunea axială un triunghi echilateral cu perimetrul egal cu \( 36 \, \text{cm} \). Aflați volumul conului.
\(\displaystyle V_{con} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
2
Coarda AB a unui cerc are lungimea de \(4\sqrt{3}\) cm și este situată la distanța de 2 cm de centrul O. Determinați măsura unghiului AOB.
3
Se consideră pătratul \(ABCD\) în care \(AC \cap BD = \{O\}\). Dacă \(OC = 3\sqrt{2}~\mathrm{cm}\), să se afle aria pătratului \(ABCD\).
4
Se consideră pătratul \(ABCD\) în care \(AC \cap BD = \{O\}\). Fie \(M\) mijlocul segmentului \([OC]\) şi \(N\) mijlocul segmentului \([OD]\). Dacă \(MN = 5~\mathrm{cm}\), să se afle aria pătratului \(ABCD\).
5
Se consideră triunghiul isoscel \(ABC\) cu \(AB = AC = 10~\mathrm{cm}\), în care \(AM\) este bisectoarea unghiului \(BAC\). Dacă \(BM = 8~\mathrm{cm}\), aflaţi aria triunghiului \(ABC\).
6
Fie triunghiul \(ABC\) în care \([AA_1]\) și \([BB_1]\) sunt mediane, \(A_1 \in (BC)\), \(B_1 \in (AC)\). Dacă \(A_1B_1 = 4,5~\mathrm{cm}\), să se afle \(AB\).
7
Se consideră triunghiul \(ABC\) cu \(AB = 9~\mathrm{cm}\), \(AC = 13~\mathrm{cm}\), în care \(M\) este mijlocul laturii \([AB]\), \(N\) este mijlocul laturii \([BC]\) şi \(NP \parallel AB\), \(P \in (AC)\). Să se afle perimetrul patrulaterului \(AMNP\).
8
Se consideră triunghiul \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\), \(AC = 8{,}5~\mathrm{cm}\), \(BC = 17~\mathrm{cm}\). Să se afle raportul măsurilor unghiurilor \(ABC\) şi \(ACB\) ale triunghiului \(ABC\).
9
Perimetrul rombului este de \( 72 \, \text{cm}\), iar una dintre diagonalele sale are lungimea de \( 18 \, \text{cm}\). Determinați măsurile unghiurilor rombului.
10
Fie triunghiul \(ABC\) în care \([BD]\) este înălțime, \(D \in (AC)\) şi \([AM]\) este mediană, \(M \in (BC)\). Dacă \(MP \perp AC\) şi \(MP = 5~\mathrm{cm}\), să se afle \(BD\).
11
În desenul alăturat, triunghiul \( ABC \) cu \( m(\angle ACB) = 60^\circ \) este înscris în cercul de centru \( O \) și rază de \( 6 \, \text{cm} \). Determinați lungimea coardei \( AB \).
12
Un triunghi are perimetrul egal cu \(48~\mathrm{cm}\), iar lungimile laturilor triunghiului sunt direct proporționale cu numerele \(3; 4; 5\). Să se afle lungimea medianei corespunzătoare laturii mai mari a triunghiului.
13
În desenul alăturat, punctele \( A \) și \( B \) aparțin cercului de centru \( O \), astfel încât \( m(\angle AOB) = 100^\circ \), iar dreapta \( BC \) este tangentă la cerc. Calculați măsura în grade a unghiului \( ABC \).
14
Fie triunghiul \( \triangle ABC \), în care \( BC = 10 \, \text{cm}, \, AB = 15 \, \text{cm}, \, AC = 12 \, \text{cm} \), iar \( BD \) este bisectoare. Determinați lungimea segmentului \( CD \).
15
Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \), în care \( m(\angle A) = 90^\circ, BC = 18 \, \text{cm} \) și \( AB = 9 \, \text{cm} \). Determinați măsura în grade a unghiului \( \angle ABC \).
16
Diagonala unui dreptunghi are lungimea de \(4\sqrt{10}~\mathrm{cm}\). Să se afle aria discului mărginit de cercul circumscris dreptunghiului.
17
Fie triunghiul \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 60^\circ\) şi \(m(\angle C) = 50^\circ\). Dacă \([BD]\) este bisectoarea unghiului \(B\) al triunghiului, \(D \in (AC)\), să se afle \(m(\angle ABD)\).
18
Determinați perimetrul triunghiului dreptunghic, în care un unghi ascuțit este de \(30^\circ\), iar mediana corespunzătoare ipotenuzei este de \(4\ \text{cm}\).
19
În triunghiul \(ABC\) cu laturile \(AB = 10 \text{ cm},\, BC = 8 \text{ cm},\, AC = 16 \text{ cm}\), \(MN\) este linie mijlocie. Determinați perimetrul triunghiului \(MBN\).
20
Se consideră triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\) şi \(m(\angle C) = 2 \cdot m(\angle B)\). Dacă \(AM = 13,5~\mathrm{cm}\), unde \(M\) este mijlocul lui \([BC]\), să se afle \(AC\).
21
În triunghiul \(ABC\) cu \(m(\angle A)=90^\circ\), măsura unghiului format de înălțimea \(AD\) şi mediana \(AM\) este de \(60^\circ\), \(D, M \in (BC)\). Dacă \(AD=6~\mathrm{cm}\), să se afle \(BC\).
22
Se consideră cercul \(C(O;R)\) în care punctele \(A\) și \(B\) sunt diametral opuse, iar punctul \(C\) se află pe cerc. Dacă raza cercului este \(R=6~\mathrm{cm}\) și \(m(\angle CBA)=60^\circ\), să se afle \(BC\).
23
Se consideră triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\), în care \(AB = 7~\mathrm{cm}\) şi \(BC = 14~\mathrm{cm}\). Fie \([BD]\) bisectoarea unghiului \(ABC\) al triunghiului, \(D \in (AC)\). Să se afle măsura unghiului \(ABD\).
24
Punctele \(A, B, C\) se află pe cercul \(C(O;R)\), astfel încât \(m(\angle ABC) = 90^\circ\) și \(AC = 10~\mathrm{cm}\). Să se afle lungimea cercului.
25
În desenul alăturat, cercul de centru \( O \) este înscris în trapezul \( ABCD \), în care \( AB + CD = 22 \, \text{cm} \). Determinați perimetrul trapezului \( ABCD \).
26
Se consideră triunghiul \(ABC\) în care \([AM]\) este mediană, \(M \in (BC)\). Dacă \([MD]\) este mediană în triunghiul \(AMC\), \(D \in (AC)\), şi aria triunghiului \(DMC\) este egală cu \(18~\mathrm{cm}^2\), să se afle aria triunghiului \(ABC\).
27
Aria totală a cubului din desenul alăturat este de \( 972 \, \text{cm}^2 \). Calculați lungimea diagonalei acestui cub.
28
Fie cercul \(C(O;R)\). Punctele \(A\) și \(B\) se află pe cerc, astfel încât \(m(\angle AOB) = 60^\circ\) și \(AB = 6~\mathrm{cm}\). Să se afle aria discului mărginit de cerc.
29
Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu aria egală cu \( 36 \, \text{cm}^2 \). Determinați aria laterală a cilindrului.
30
Se consideră dreptunghiul \(ABCD\). Pe semidreapta \([BC)\) se consideră punctul \(M\), astfel încât \(AM \cap CD = \{E\}\) și \(CE = DE\). Dacă aria triunghiului \(ABM\) este egală cu \(52~\mathrm{cm}^2\), să se afle aria dreptunghiului \(ABCD\).
31
Se consideră cercul \(C(O;R)\), în care punctele \(A\) şi \(B\) sunt diametral opuse şi punctul \(C\) se află pe cerc. Dacă \(BC = \frac{1}{2} AB\), să se afle măsura unghiului \(ABC\).
32
Punctele \(A, B, C\) se află pe cercul \(C(O; R)\), astfel încât \(m(\angle ABC) = 30^\circ\) şi \(AC = 6~\mathrm{cm}\). Să se afle perimetrul triunghiului \(AOC\).
33
Aflați volumul unei piramide patrulatere regulate cu înălțimea de \( 12 \, \text{cm} \) și muchia laterală de \( 13 \, \text{cm} \).
34
Latura triunghiului echilateral \( ABC \) este de 12 cm. Determinați lungimea razei cercului înscris în triunghiul \( ABC \).
35
În desenul alăturat vârfurile triunghiului ABC aparțin unui cerc, astfel încât m(∠ABC) = 90°. Lungimea medianei BM este egală cu 2 cm. Determinați lungimea cercului.
36
Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral cu aria de \(16\sqrt{3} \, \text{cm}^2\). Determinați volumul conului.
37
Se consideră pătratul \(ABCD\) cu latura de lungime \(8~\mathrm{cm}\), în care \(M\) este mijlocul laturii \([AB]\), \(N\) este mijlocul laturii \([BC]\), iar \(P\) este mijlocul diagonalei \([AC]\). Să se afle aria triunghiului \(MNP\).
38
Triunghiul \(ABC\) este înscris în cercul \(C(O; R)\). Dacă punctele \(B, O, C\) sunt coliniare, să se afle \(m(\angle A)\).
39
Fie pătratul \(ABCD\) cu latura de \(6~\mathrm{cm}\), în care \(AC \cap BD = \{O\}\) şi \(OM \perp AB\), \(M \in (AB)\). Să se afle aria patrulaterului \(MBCO\).
40
O catetă a unui triunghi dreptunghic are lungimea de \( 6 \, \text{cm} \), iar lungimea medianei corespunzătoare acestei catete este de \( 5 \, \text{cm} \). Aflați lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei.
41
Fie triunghiul \(ABC\) dreptunghic în \(A\), iar \(AM\) este mediană și \(AB = AM\). Să se determine măsura în grade a unghiului \(BCA\).
42
Se consideră trapezul \(ABCD\) cu \(BC \parallel AD\). Punctul \(M\) este mijlocul laturii \([AB]\), iar punctul \(N\) este mijlocul laturii \([CD]\). Dacă \(MN = 9~\mathrm{cm}\) şi \(AD = 3 \cdot BC\), să se afle \(BC\) şi \(AD\).
43
În paralelogramul \( ABCD \), reprezentat pe desen, bisectoarea \( [BF] \) împarte latura \( [AD] \) în segmentele cu lungimile \( AF = 5 \, \text{cm} \) și \( FD = 4 \, \text{cm} \). Calculați perimetrul paralelogramului \( ABCD \).
44
Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu diagonala de \( 6\sqrt{6} \, \text{cm} \). Determinați suprafața totală a cilindrului.
45
Din punctul \( A \) exterior cercului \( C(O; r = 8 \, \text{cm}) \) este dusă o tangentă la acest cerc, iar \( M \) este punctul de tangenta. Determinați distanța de la punctul \( A \) la punctul \( M \), dacă \( m(\angle AOM) = 60^\circ \).
46
Fie pătratul \(ABCD\) în care \(AC \cap BD = \{O\}\), \(AC = 8~\mathrm{cm}\) şi \(M\) este mijlocul laturii \([AB]\). Să se afle aria triunghiului \(MAD\).
47
Se consideră cercul \(C(O; R)\) în care punctele \(A\) şi \(B\) sunt diametral opuse, iar punctul \(C\) se află pe cerc, astfel încît \(m(\angle ABC) = 30^\circ\) şi \(AB = 12~\mathrm{cm}\). Să se afle perimetrul triunghiului \(AOC\).
48
Fie triunghiul isoscel \(ABC\) cu \([AB] \equiv [AC]\) în care \(BD \perp AC\), \(D \in (AC)\). Dacă \(m(\angle DBC) = 40^\circ\), să se afle \(m(\angle BAC)\).
49
Se consideră dreptunghiul \(ABCD\) în care punctul \(M\) este mijlocul laturii \([BC]\). Dacă aria triunghiului \(ABM\) este egală cu \(12,5~\mathrm{cm}^2\), să se afle aria dreptunghiului \(ABCD\).
50
Fie triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\) şi \(BC = 12~\mathrm{cm}\). Punctul \(M\) este mijlocul laturii \([AB]\), punctul \(N\) este mijlocul laturii \([AC]\), iar \(E\) este mijlocul segmentului \([MN]\). Să se afle \(AE\).