Item 6 - toate variantele posibile
Exerciții
1
Un con circular drept are secțiunea axială un triunghi echilateral cu perimetrul egal cu \( 36 \, \text{cm} \). Aflați volumul conului.
2
Coarda AB a unui cerc are lungimea de \(4\sqrt{3}\) cm și este situată la distanța de 2 cm de centrul O. Determinați măsura unghiului AOB.
3
Se consideră pătratul \(ABCD\) în care \(AC \cap BD = \{O\}\). Dacă \(OC = 3\sqrt{2}~\mathrm{cm}\), să se afle aria pătratului \(ABCD\).
4
Se consideră pătratul \(ABCD\) în care \(AC \cap BD = \{O\}\). Fie \(M\) mijlocul segmentului \([OC]\) şi \(N\) mijlocul segmentului \([OD]\). Dacă \(MN = 5~\mathrm{cm}\), să se afle aria pătratului \(ABCD\).
5
Se consideră triunghiul isoscel \(ABC\) cu \(AB = AC = 10~\mathrm{cm}\), în care \(AM\) este bisectoarea unghiului \(BAC\). Dacă \(BM = 8~\mathrm{cm}\), aflaţi aria triunghiului \(ABC\).
6
Fie triunghiul \(ABC\) în care \([AA_1]\) și \([BB_1]\) sunt mediane, \(A_1 \in (BC)\), \(B_1 \in (AC)\). Dacă \(A_1B_1 = 4,5~\mathrm{cm}\), să se afle \(AB\).
7
Se consideră triunghiul \(ABC\) cu \(AB = 9~\mathrm{cm}\), \(AC = 13~\mathrm{cm}\), în care \(M\) este mijlocul laturii \([AB]\), \(N\) este mijlocul laturii \([BC]\) şi \(NP \parallel AB\), \(P \in (AC)\). Să se afle perimetrul patrulaterului \(AMNP\).
8
Se consideră triunghiul \(ABC\) cu \(m(\angle A) = 90^\circ\), \(AC = 8{,}5~\mathrm{cm}\), \(BC = 17~\mathrm{cm}\). Să se afle raportul măsurilor unghiurilor \(ABC\) şi \(ACB\) ale triunghiului \(ABC\).
9
Perimetrul rombului este de \( 72 \, \text{cm}\), iar una dintre diagonalele sale are lungimea de \( 18 \, \text{cm}\). Determinați măsurile unghiurilor rombului.
10
Fie triunghiul \(ABC\) în care \([BD]\) este înălțime, \(D \in (AC)\) şi \([AM]\) este mediană, \(M \in (BC)\). Dacă \(MP \perp AC\) şi \(MP = 5~\mathrm{cm}\), să se afle \(BD\).
11
În desenul alăturat, triunghiul \( ABC \) cu \( m(\angle ACB) = 60^\circ \) este înscris în cercul de centru \( O \) și rază de \( 6 \, \text{cm} \). Determinați lungimea coardei \( AB \).
12
Un triunghi are perimetrul egal cu \(48~\mathrm{cm}\), iar lungimile laturilor triunghiului sunt direct proporționale cu numerele \(3; 4; 5\). Să se afle lungimea medianei corespunzătoare laturii mai mari a triunghiului.
13
În desenul alăturat, punctele \( A \) și \( B \) aparțin cercului de centru \( O \), astfel încât \( m(\angle AOB) = 100^\circ \), iar dreapta \( BC \) este tangentă la cerc. Calculați măsura în grade a unghiului \( ABC \).
14
Fie triunghiul \( \triangle ABC \), în care \( BC = 10 \, \text{cm}, \, AB = 15 \, \text{cm}, \, AC = 12 \, \text{cm} \), iar \( BD \) este bisectoare. Determinați lungimea segmentului \( CD \).
15
Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \), în care \( m(\angle A) = 90^\circ, BC = 18 \, \text{cm} \) și \( AB = 9 \, \text{cm} \). Determinați măsura în grade a unghiului \( \angle ABC \).