Item 11 - toate variantele posibile

Exerciții

La o loterie sunt puse în joc 100 de bilete, printre care 10 bilete cu câștig a câte 200 de lei, 20 de bilete cu câștig a câte 100 de lei, restul biletelor fiind fără câștig. Determinați probabilitatea câștigului sumei totale de 200 de lei, dacă se cumpără 2 bilete.

Într-o urnă sunt 4 bile roșii, 4 bile verzi și o bilă albă. Din urnă se extrag la întâmplare concomitent 3 bile. Determinați probabilitatea ca bilele extrase să fie de două culori diferite.

Într-o clasă sunt 15 fete și 10 băieţi. Pentru a efectua o lucrare se formează o echipă de 5 elevi. Să se afle probabilitatea că echipa va fi formată din 3 fete și 2 băieți.

Din 6 bilete, 4 sunt pe rândul întâi. Care este probabilitatea ca alegând 3 bilete, exact 2 să fie de pe rândul întâi?

Într-o cutie se află 6 creioane de culoare roşie și 4 creioane de culoare verde. Se extrag la întămplare 3 creioane. Să se afle probabilitatea ca dintre cele trei creioane scoase 2 vor fi de culoare roşie şi unul de culoare verde.

Se aruncă un zar până la apariția feței cu 2 puncte de 3 ori consecutiv. Determinați probabilitatea că zarul se va arunca de 5 ori.

Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca produsul numerelor de pe fețe să fie 6?

Se aruncă 2 zaruri. Determinați probabilitatea că suma punctelor obținute va fi egală cu 7.

Se aruncă simultan 4 zaruri. Determinați probabilitatea că produsul numerelor de puncte apărute este egal cu 15.

Se aruncă concomitent patru zaruri. Determinați probabilitatea ca fața cu 5 puncte să apară pe cel puțin un zar.

Folosind cifrele $ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 $ se formează toate numerele naturale distincte de trei cifre cu cifre distincte. Să se afle probabilitatea ca alegînd la întîmplare un număr din cele formate, el să se dividă cu 4 .

Cu cifrele $ 1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 9 $ se formează toate numerele naturale distincte de cîte 6 cifre distincte. Să se afle probabilitatea ca alegînd la întîmplare un număr din cele formate, acesta să aibă primele două cifre împare, iar celelalte cifre pare.

Pe 8 fișe sunt scrise literele $ B, O, M, B, O, A, N, E$. Fișele se amestecă, apoi se extrag consecutiv 3 fișe. Care este probabilitatea ca să se va forma cuvântul BAN?

Cu cifrele $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ se formează în mod aleatoriu un cod din $6$ cifre care nu se repetă. Determinați probabilitatea ca în acest cod să se conțină secvența $794$.

Din cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5 se formează toate numerele naturale de șase cifre distincte. Care este probabilitatea ca un număr ales aleator să înceapă cu cifra 3?

Răspunsuri

$\displaystyle \displaystyle \frac{89}{495}$

$\displaystyle \displaystyle \frac{5}{7}$

$ p=\displaystyle \frac{195}{506} $.

$ \displaystyle \frac{3}{5} $

$ P=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2} $.

$\displaystyle \displaystyle \frac{5}{1296} $

$ \displaystyle \frac{1}{9} $

$\displaystyle \displaystyle \frac{1}{6}$

$\displaystyle \displaystyle \frac{1}{108} $

$\displaystyle \frac{671}{1296}$

$ p=\displaystyle \frac{1}{5} $.

$ p=\displaystyle \frac{1}{126} $.

$\displaystyle \displaystyle \frac{1}{168} $

$\displaystyle \displaystyle \frac{1}{180} $

$ \displaystyle \frac{1}{5} $

Rezolvări

La loterie sunt 100 de bilete, dintre care 10 cu câștig de 200 lei, 20 cu câștig de 100 lei, iar restul (70) fără câștig. Se cumpără 2 bilete.
Numărul total de moduri de a alege 2 bilete este $$ C_{100}^2 = \displaystyle \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950. $$
Pentru a obține o sumă totală de 200 lei se pot avea două situații:
– Un bilet de 200 lei și un bilet fără câștig.
Moduri: 10 bilete de 200 lei * 70 bilete fără câștig = 700.
– Două bilete de 100 lei (două câte 100 lei = 200 lei).
Moduri: $$ C_{20}^2 = \displaystyle \frac{20 \cdot 19}{2} = 190. $$
Numărul total favorabil este: 700 + 190 = 890.
Probabilitatea este: $$ P = \displaystyle \frac{890}{4950} = \displaystyle \frac{89}{495}. $$

Într-o urnă sunt 4 bile roșii, 4 bile verzi și 1 bilă albă (total 9 bile). Se extrag 3 bile. Numărul total de extrageri este
$$ C_9^3 = \displaystyle \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84. $$
Dorim extragerea a 3 bile de două culori diferite (adică exact două culori apar în selecție).
- Cazul 1: Bile roșii și verzi. Se pot alege din 4 roșii și 4 verzi, astfel ca distribuția să fie 1 roșie și 2 verzi sau 2 roșii și 1 verde.
Pentru 1 roșie și 2 verzi: $$ C_4^1 \cdot C_4^2 = 4 \cdot 6 = 24. $$
Pentru 2 roșii și 1 verde: $$ C_4^2 \cdot C_4^1 = 6 \cdot 4 = 24. $$
Total caz 1 = 24 + 24 = 48.
- Cazul 2: Bile roșii și albastre. Pentru a avea ambele culori, trebuie să avem bilă albă (numărul de moduri: 1) și 2 din cele 4 roșii:
$$ C_4^2 \cdot C_1^1 = 6 \cdot 1 = 6. $$
- Cazul 3: Bile verzi și albastre. Similar, $$ C_4^2 \cdot C_1^1 = 6. $$
Numărul total favorabil este $$ 48 + 6 + 6 = 60. $$
Probabilitatea este: $$ P = \displaystyle \frac{60}{84} = \displaystyle \frac{5}{7}. $$

$ n=C_{25}^{5}, m=C_{15}^{3} \cdot C_{10}^{2} $, atunci $ P=\displaystyle \frac{m}{n}=\displaystyle \frac{C_{15}^{3} \cdot C_{10}^{2}}{C_{25}^{5}}=\displaystyle \frac{195}{506} $.
Explicație: Numărul total de moduri de a alege 5 elevi din 25 este $C_{25}^5$. Pentru a calcula numărul de moduri în care sunt 3 fete și 2 băieți, trebuie să alegem 3 fete din cele 15 (adică, $C_{15}^3$) și apoi 2 băieți din cei 10 (adică, $C_{10}^2$). Înmulțim aceste numere pentru a obține numărul total de moduri în care sunt 3 fete și 2 băieți. Apoi împărțim acest număr la numărul total de moduri de a alege 5 elevi pentru a obține probabilitatea.

n = $ C_6^3 = 20 $
m = $ C_4^2 \cdot C_2^1 = 6 \cdot 2 = 12 $
Probabilitatea este: $P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} $
Explicație: Se aleg 2 bilete de pe rândul întâi și 1 bilet din celelalte 2 rămase. Cazurile favorabile sunt produsul acestor două alegeri.

Numărul cazurilor posibile este $ n=C_{10}^{3}=120 $. Numărul cazurilor favorabile este $ m=C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{1}=60 $. Atunci probabilitatea este $ P=\displaystyle \displaystyle \frac{m}{n}=\displaystyle \displaystyle \frac{60}{120}=\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2} $.
Explicație: Numărul total de moduri de a alege 3 creioane din 10 este $C_{10}^3$. Pentru a calcula numărul de moduri în care 2 creioane sunt roșii și 1 este verde, trebuie să alegem 2 creioane din cele 6 roșii (adică, $C_6^2$) și apoi 1 creion din cele 4 verzi (adică, $C_4^1$). Înmulțim aceste numere pentru a obține numărul total de moduri în care 2 creioane sunt roșii și 1 este verde. Apoi împărțim acest număr la numărul total de moduri de a alege 3 creioane pentru a obține probabilitatea.

Se aruncă un zar până când apare faţa cu 2 puncte de 3 ori consecutiv. Se cere probabilitatea ca zarul să se arunce exact de 5 ori.
Pentru a se întruni condiţia la a 5-a aruncare, trebuie ca ultimele 3 aruncări (a treia, a patra şi a cincea) să fie 2, iar în primele 2 aruncări nu se formează o serie de trei 2 consecutive.
Observăm că, pentru a evita apariţia seriei cu 3 două consecutive înainte de a se ajunge la aruncarea a 5-a, se impune ca a doua aruncare să fie diferită de 2 (deoarece dacă prima şi a doua aruncare ar fi 2, atunci al treilea fiind 2 ar produce seria).
Astfel, considerăm că:
- Aruncarea 3, 4 şi 5 trebuie să fie 2.
- Aruncarea 2 nu poate fi 2.
- Aruncarea 1 poate fi orice.
Numărul situațiilor favorabile este:
$$ 6 \;(\text{pentru 1}) \times 5 \;(\text{pentru 2, orice altceva decât 2}) = 30 $$
Totalul situaţiilor posibile pentru 5 aruncări este
$$ 6^5 = 7776 $$
Probabilitatea este
$$ P = \displaystyle \frac{30}{7776} = \displaystyle \frac{5}{1296} $$

n = 36
m = 4 (perechile: (1,6), (6,1), (2,3), (3,2))
$P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} $
Explicație: Se determină toate perechile (x, y) pentru care x $\cdot$ y = 6, apoi se împarte la totalul de 36 de perechi posibile.

Se aruncă 2 zaruri. Numărul total de rezultate este: $$ 6^2 = 36 $$
Favorable, suma egală cu 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 cazuri.
Deci, probabilitatea este:
$$ P = \displaystyle \frac{6}{36} = \displaystyle \frac{1}{6} $$

Se aruncă simultan 4 zaruri. Pentru ca produsul numerelor să fie 15, este necesar ca în cele 4 aruncări să apară exact două 1, o 3 și o 5, deoarece:
$$ 15 = 1 \times 1 \times 3 \times 5 $$
Numărul de aranjamente ale multimei (1,1,3,5) este:
$$ \displaystyle \frac{4!}{2!} = 12 $$
Numărul total de rezultate posibile este: $$ 6^4 = 1296 $$
Astfel, probabilitatea este:
$$ P = \displaystyle \frac{12}{1296} = \displaystyle \frac{1}{108} $$

Se aruncă concomitent 4 zaruri. Se cere probabilitatea ca faţa cu 5 puncte să apară pe cel puțin un zar.
Totalul rezultatelor este
$$ 6^4 = 1296 $$
Probabilitatea complementară (nicio apariţie a numărului 5) este
$$ \left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)^4 = \displaystyle \frac{625}{1296} $$
Astfel, probabilitatea că 5 să apară pe cel puțin un zar este
$$ P = 1 - \displaystyle \frac{625}{1296} = \displaystyle \frac{1296-625}{1296} = \displaystyle \frac{671}{1296} $$

Numărul cazurilor posibile este $ A_{5}^{3}=\displaystyle \frac{5!}{(5-3)!}=\displaystyle \frac{2!\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{2!}=60 $. Numerele naturale de trei cifre distincte formate cu cifrele date şi divizibile cu 4 sunt: $ 312 ; 412 ; 512 ; 124 ; 324 ; 524 ; 132 ; 432 ; 532 ; 152 ; 352 ; 452 $, adică $ n=12 $. Atunci $ p=\displaystyle \frac{m}{n}=\displaystyle \frac{12}{60}=\displaystyle \frac{1}{5} $.
Explicație: Numărul total de numere de trei cifre cu cifre distincte formate din cele 5 cifre date este $A_5^3$. Calculăm numărul de numere din această listă care sunt divizibile cu 4. Apoi împărțim acest număr la numărul total de numere de trei cifre pentru a obține probabilitatea.

Avem $ n=A_{9}^{6}, m=A_{5}^{2} \cdot A_{4}^{4} $. Atunci probabilitatea va fi $ p=\displaystyle \frac{m}{n}=\displaystyle \frac{A_{5}^{2} \cdot A_{4}^{4}}{A_{9}^{6}}=\displaystyle \frac{1}{126} $.
Explicație: Numărul total de numere de 6 cifre cu cifre distincte formate din cele 9 cifre date este $A_9^6$. Pentru a calcula numărul de numere care au primele două cifre impare și următoarele 4 cifre pare, calculăm numărul de moduri de a alege și aranja 2 cifre impare din cele 5 cifre impare (adică, $A_5^2$) și apoi calculăm numărul de moduri de a alege și aranja 4 cifre pare din cele 4 cifre pare (adică, $A_4^4$). Înmulțim aceste numere pentru a obține numărul total de numere cu această proprietate. Apoi împărțim acest număr la numărul total de numere de 6 cifre pentru a obține probabilitatea.

Pe 8 fișe sunt scrise literele: B, O, M, B, O, A, N, E.
Se extrag consecutiv 3 fișe, iar se dorește formarea cuvântului BAN.
Totalul de aranjamente (cu ordinea de extragere) este: $$P(8,3)=8\cdot7\cdot6=336$$
Pentru a forma cuvântul BAN, prima fișă trebuie să fie B, a doua A, a treia N.
Observăm că litera B apare de 2 ori, iar A și N sunt unice.
Numărul de aranjamente favorabile este: $$2\cdot 1\cdot 1 = 2$$
Deci, probabilitatea este: $$P = \displaystyle \frac{2}{336} = \displaystyle \frac{1}{168}$$

Se formează un cod din 6 cifre (fără repetare) folosind cifrele 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Totalul codurilor posibile este
$$ P(10,6)=10\times9\times8\times7\times6\times5=151200 $$
Se cere ca în cod să apară secvența "794" (ca bloc consecutiv).
Blocul "794" poate fi plasat în 4 poziţii (într-un cod de 6 cifre, un bloc de 3 poate ocupa poziţiile 1–3, 2–4, 3–5 sau 4–6).
Celelalte 3 cifre se aleg din cele rămase (10-3=7 cifre), în ordine (fără repetare), deci se formează
$$ P(7,3)=7\times6\times5=210 $$ moduri.
Numărul favorabil este
$$ 4 \times 210 = 840 $$
Probabilitatea este
$$ P = \displaystyle \frac{840}{151200} = \displaystyle \frac{1}{180} $$

n = $5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 600$
m = $5! = 120$
Probabilitatea este: $P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{120}{600} = \frac{1}{5} $
Explicație: Numărul total de numere este determinat luând în considerare că prima cifră nu poate fi 0 și că cifrele nu se repetă. Pentru ca un număr să înceapă cu 3, fixăm prima cifră și permutăm restul de 5 cifre distincte din cele rămase.

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări