Item 11 - toate variantele posibile

Exerciții

La o loterie sunt puse în joc 100 de bilete, printre care 10 bilete cu câștig a câte 200 de lei, 20 de bilete cu câștig a câte 100 de lei, restul biletelor fiind fără câștig. Determinați probabilitatea câștigului sumei totale de 200 de lei, dacă se cumpără 2 bilete.

Se aruncă un zar de 5 ori. Care este probabilitatea ca la 5 aruncări exact de 2 ori să apară fața cu 2 puncte?

Cu cifrele $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ se formează în mod aleatoriu un cod din $6$ cifre care nu se repetă. Determinați probabilitatea ca în acest cod să se conțină secvența $794$.

Într-o lădiță se află mosorele cu ață. $ 40 \% $ din ele sunt cu ață albă, $ 20 \% $ - cu ață roșie, $ 25 \% $ - cu ață albastră şi $ 15 \% $ cu ață verde. Să se afle probabilitatea că un mosorel luat la întîmplare, va fi cu ață roşie sau verde.

Din 10 persoane (6 bărbaţi şi 4 femei) se formează o echipă din 4 persoane. Să se afle probabilitatea ca echipa să conțină și femei.

Într-un centru de tehnologii informaționale activează 4 programatori, 5 ingineri și 3 testeri. În luna iulie 8 angajați ai centrului, luați aleator, vor beneficia de concediu. Determinați probabilitatea că în luna iulie în centru va rămâne să activeze cel puțin câte un specialist de fiecare profil.

La un concurs de talente, dintre $ 6 $ actori, $ 5 $ cântăreți și un dansator, urmează să fie aleasă o echipă din $ 5 $ jurați. Care este probabilitatea ca în echipa formată să fie cel puțin un actor, un cântăreț și un dansator?

Se aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca produsul numerelor de pe fețe să fie 6?

O uzină are în posesie 3 depozite pentru păstrarea utilajului produs. Probabilitatea că un utilaj din primul depozit este cu defect este egală cu $\displaystyle \frac{1}{10}$, probabilitatea că un utilaj din al doilea depozit este cu defect este de $\displaystyle \frac{1}{15}$, și probabilitatea că un utilaj din al treilea depozit este cu defect este de $\displaystyle \frac{3}{40}$. Se scoate din evidență câte un utilaj din fiecare depozit. Calculați probabilitatea că două dintre aceste utilaje vor fi cu defect.

Pentru a ajunge în etapa finală a unui concurs de muzică, un candidat are de susținut cel puțin 2 probe din trei propuse. Probabilitatea susținerii unei probe este de $ 0.6 $. Care este probabilitatea ca respectivul candidat să treacă în etapa finală a concursului?

Într-o urnă sunt 10 bile albe, 8 bile roșii și 6 bile galbene. Să se afle probabilitatea ca extrăgînd la întîmplare două bile din urnă, ambele să fie de culoare roşie.

Într-o urnă sunt 10 bile identice, 3 bile albe și 7 bile roșii. Se extrag 2 bile. Care este probabilitatea ca ambele să fie albe?

Cu cifrele $ 1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 9 $ se formează toate numerele naturale distincte de cîte 6 cifre distincte. Să se afle probabilitatea ca alegînd la întîmplare un număr din cele formate, acesta să aibă primele două cifre împare, iar celelalte cifre pare.

Din 6 bilete, 4 sunt pe rândul întâi. Care este probabilitatea ca alegând 3 bilete, exact 2 să fie de pe rândul întâi?

9 cărți sunt repartizate în 3 sertare de trei culori diferite. Care este probabilitatea ca în sertarul roșu să fie 4 cărți, în sertarul galben să fie 3 cărți și în sertarul albastru să fie 2 cărți?

Răspunsuri

$\displaystyle \displaystyle \frac{89}{495}$

$\displaystyle \displaystyle \frac{625}{3888} $

$\displaystyle \displaystyle \frac{1}{180} $

$ \displaystyle \frac{7}{20} $

$ \displaystyle \frac{13}{14} $

$\displaystyle \displaystyle \frac{6}{11} $

$\displaystyle \frac{155}{396}$

$ \displaystyle \frac{1}{9} $

$\displaystyle \displaystyle \frac{53}{3000} $

$ 0,648 $

$ \displaystyle \frac{7}{69} $

$ \displaystyle \frac{1}{15} $

$ p=\displaystyle \frac{1}{126} $.

$ \displaystyle \frac{3}{5} $

$\displaystyle \displaystyle \frac{140}{2187} $

Rezolvări

La loterie sunt 100 de bilete, dintre care 10 cu câștig de 200 lei, 20 cu câștig de 100 lei, iar restul (70) fără câștig. Se cumpără 2 bilete.
Numărul total de moduri de a alege 2 bilete este $$ C_{100}^2 = \displaystyle \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950. $$
Pentru a obține o sumă totală de 200 lei se pot avea două situații:
– Un bilet de 200 lei și un bilet fără câștig.
Moduri: 10 bilete de 200 lei * 70 bilete fără câștig = 700.
– Două bilete de 100 lei (două câte 100 lei = 200 lei).
Moduri: $$ C_{20}^2 = \displaystyle \frac{20 \cdot 19}{2} = 190. $$
Numărul total favorabil este: 700 + 190 = 890.
Probabilitatea este: $$ P = \displaystyle \frac{890}{4950} = \displaystyle \frac{89}{495}. $$

Se aruncă un zar de 6 fețe de 5 ori. Se dorește ca fața cu 2 puncte să apară exact de 2 ori.
Probabilitatea unui succes (2 puncte): $$p = \displaystyle \frac{1}{6}$$, iar a nu apărea: $$1-p = \displaystyle \frac{5}{6}$$
Utilizăm formula binomială:
$$P = C_5^2 \cdot \left(\displaystyle \frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)^3$$
Notăm că: $$C_5^2 = \displaystyle \frac{5!}{2!\cdot3!} = 10$$
Astfel, $$P = 10 \cdot \displaystyle \frac{1}{36} \cdot \displaystyle \frac{125}{216} = \displaystyle \frac{1250}{7776}$$
Se simplifică: $$P = \displaystyle \frac{625}{3888}$$

Se formează un cod din 6 cifre (fără repetare) folosind cifrele 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Totalul codurilor posibile este
$$ P(10,6)=10\times9\times8\times7\times6\times5=151200 $$
Se cere ca în cod să apară secvența "794" (ca bloc consecutiv).
Blocul "794" poate fi plasat în 4 poziţii (într-un cod de 6 cifre, un bloc de 3 poate ocupa poziţiile 1–3, 2–4, 3–5 sau 4–6).
Celelalte 3 cifre se aleg din cele rămase (10-3=7 cifre), în ordine (fără repetare), deci se formează
$$ P(7,3)=7\times6\times5=210 $$ moduri.
Numărul favorabil este
$$ 4 \times 210 = 840 $$
Probabilitatea este
$$ P = \displaystyle \frac{840}{151200} = \displaystyle \frac{1}{180} $$

P(roșie sau verde) = P(roșie) + P(verde) = 20% + 15% = 35%
$P = \displaystyle \frac{35}{100} = \frac{7}{20} $
Explicație: Probabilitatea de a alege un mosorel cu ață roșie sau verde este suma probabilităților individuale.

Este mai ușor să calculăm probabilitatea complementară: ca echipa să nu conțină femei, adică să fie formată doar din bărbați.
P(doar bărbați) = $ \displaystyle \frac{C_6^4}{C_{10}^4} = \frac{15}{210} = \frac{1}{14} $
P(cel puțin o femeie) = 1 - P(doar bărbați) = $ \displaystyle 1 - \frac{1}{14} = \frac{13}{14} $
Explicație: Probabilitatea ca echipa să conțină și femei este 1 minus probabilitatea ca echipa să fie formată doar din bărbați.

Într-un centru sunt 4 programatori, 5 ingineri și 3 testeri (total 12 angajați).
Se aleg aleator 8 angajați pentru concediu, deci rămân 4 angajați care activează.
Dorim ca în rândul celor 4 să fie cel puțin un programator, un inginer și un tester.
Calculăm numărul total de grupuri de 4 angajați: $$ C_{12}^4 $$
Posibile distribuții care satisfac condiția (număr de specialiști: (1,1,2), (1,2,1) sau (2,1,1)):
(a) 1 programator, 1 inginer, 2 testeri:
$$ C_{4}^1 \cdot C_{5}^1 \cdot C_{3}^2 = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60 $$
(b) 1 programator, 2 ingineri, 1 tester:
$$ C_{4}^1 \cdot C_{5}^2 \cdot C_{3}^1 = 4 \cdot 10 \cdot 3 = 120 $$
(c) 2 programatori, 1 inginer, 1 tester:
$$ C_{4}^2 \cdot C_{5}^1 \cdot C_{3}^1 = 6 \cdot 5 \cdot 3 = 90 $$
Numărul total favorabil este:
$$ 60 + 120 + 90 = 270 $$
Numărul total de grupuri de 4 este:
$$ C_{12}^4 = 495 $$
Probabilitatea este:
$$ P = \displaystyle \frac{270}{495} = \displaystyle \frac{6}{11} $$

Avem: 6 actori, 5 cântăreți, 1 dansator.
Formăm o echipă de 5 jurați. Vrem cel puțin un actor, un cântăreț și un dansator în echipă.

Total combinații posibile:
$$ n = C_{12}^5 = 792 $$

Cazuri nefavorabile:
– Cazuri fără dansator: alegem 5 persoane din cei 11 (fără dansator):
$$ C_{11}^5 = 462 $$
– Cazuri fără actori: alegem 5 din cei 6 rămași (5 cântăreți + 1 dansator):
$$ C_6^5 = 6 $$
– Cazuri fără cântăreți: alegem 5 din cei 7 (6 actori + 1 dansator):
$$ C_7^5 = 21 $$
– Cazuri fără dansator și fără actori: doar cântăreți (5 din 5):
$$ C_5^5 = 1 $$
– Cazuri fără dansator și fără cântăreți: doar actori (5 din 6):
$$ C_6^5 = 6 $$
– Cazuri fără dansator și fără cântăreți și fără actori: imposibil → 0

Aplicăm principiul incluziunii-excluziunii:
$$ m = 792 - [462 + 6 + 21 - 1 - 6] = 792 - (489 - 7) = 792 - 482 = 310 $$

Probabilitatea este:
$$ P = \displaystyle \frac{310}{792} = \displaystyle \frac{155}{396} $$

n = 36
m = 4 (perechile: (1,6), (6,1), (2,3), (3,2))
$P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} $
Explicație: Se determină toate perechile (x, y) pentru care x $\cdot$ y = 6, apoi se împarte la totalul de 36 de perechi posibile.

Se ia câte un utilaj din fiecare depozit. Probabilitățile de defect sunt:
$$ p_1=\displaystyle \frac{1}{10},\quad p_2=\displaystyle \frac{1}{15},\quad p_3=\displaystyle \frac{3}{40} $$
Se dorește ca exact 2 din cele 3 utilaje să fie cu defect.
Calculăm pentru fiecare caz:

(a) Utilajele din depozitul 1 şi 2 cu defect, iar cel din depozitul 3 fără defect:
$$ P_{12} = p_1 \cdot p_2 \cdot (1-p_3) = \displaystyle \frac{1}{10}\cdot\displaystyle \frac{1}{15}\cdot\displaystyle \frac{37}{40} = \displaystyle \frac{37}{6000} $$

(b) Utilajele din depozitul 1 şi 3 cu defect, iar cel din depozitul 2 fără defect:
$$ P_{13} = p_1 \cdot p_3 \cdot (1-p_2) = \displaystyle \frac{1}{10}\cdot\displaystyle \frac{3}{40}\cdot\displaystyle \frac{14}{15} = \displaystyle \frac{42}{6000} $$

(c) Utilajele din depozitul 2 şi 3 cu defect, iar cel din depozitul 1 fără defect:
$$ P_{23} = (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3 = \displaystyle \frac{9}{10}\cdot\displaystyle \frac{1}{15}\cdot\displaystyle \frac{3}{40} = \displaystyle \frac{27}{6000} $$

Probabilitatea totală este suma celor trei cazuri:
$$ P = \displaystyle \frac{37+42+27}{6000} = \displaystyle \frac{106}{6000} = \displaystyle \frac{53}{3000} $$

Pentru a ajunge în etapa finală a unui concurs de muzică, un candidat trebuie să susțină cel puțin 2 probe din 3, fiecare având probabilitatea de 0,6.
Fie X numărul de probe susținute: X urmează o lege binomială cu n = 3 și p = 0,6.
Cerința: $$P(X\ge2) = P(X=2)+P(X=3)$$
Calculăm:
$$P(X=2)= C_3^2 \cdot 0,6^2 \cdot 0,4 = 3 \cdot 0,36 \cdot 0,4 = 0,432$$
$$P(X=3)= C_3^3 \cdot 0,6^3 \cdot 0,4^0 = 1 \cdot 0,216 = 0,216$$
Deci, $$P(X\ge2)= 0,432 + 0,216 = 0,648$$

Numărul total de bile este 10 + 8 + 6 = 24.
n = $ C_{24}^2 = \frac{24 \cdot 23}{2} = 276 $
m = $ C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28 $
$P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{28}{276} = \frac{7}{69} $
Explicație: Calculăm numărul total de moduri de a alege 2 bile și numărul de moduri de a alege 2 bile roșii.

n = $ C_{10}^2 = 45 $
m = $ C_3^2 = 3 $
$P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15} $
Explicație: Alegem 2 bile din cele 10 colorate (identicele nu contează). Cazurile favorabile sunt cele cu 2 albe din cele 3 existente.

Avem $ n=A_{9}^{6}, m=A_{5}^{2} \cdot A_{4}^{4} $. Atunci probabilitatea va fi $ p=\displaystyle \frac{m}{n}=\displaystyle \frac{A_{5}^{2} \cdot A_{4}^{4}}{A_{9}^{6}}=\displaystyle \frac{1}{126} $.
Explicație: Numărul total de numere de 6 cifre cu cifre distincte formate din cele 9 cifre date este $A_9^6$. Pentru a calcula numărul de numere care au primele două cifre impare și următoarele 4 cifre pare, calculăm numărul de moduri de a alege și aranja 2 cifre impare din cele 5 cifre impare (adică, $A_5^2$) și apoi calculăm numărul de moduri de a alege și aranja 4 cifre pare din cele 4 cifre pare (adică, $A_4^4$). Înmulțim aceste numere pentru a obține numărul total de numere cu această proprietate. Apoi împărțim acest număr la numărul total de numere de 6 cifre pentru a obține probabilitatea.

n = $ C_6^3 = 20 $
m = $ C_4^2 \cdot C_2^1 = 6 \cdot 2 = 12 $
Probabilitatea este: $P = \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} $
Explicație: Se aleg 2 bilete de pe rândul întâi și 1 bilet din celelalte 2 rămase. Cazurile favorabile sunt produsul acestor două alegeri.

9 cărți sunt repartizate aleator în 3 sertare de culori diferite: roșu, galben și albastru.
Se cere ca în sertarul roșu să fie 4 cărți, în galben 3 și în albastru 2.
Totalul modurilor de distribuire (fiecare carte are 3 opțiuni): $$3^9$$
Numărul favorabil este dat de alegerea a 4 cărți din 9 pentru sertarul roșu și apoi a 3 din cele 5 rămase pentru sertarul galben; ultimele 2 merg în albastru:
$$ m = C_9^4 \cdot C_5^3 $$
Calculăm:
$$C_9^4 = \displaystyle \frac{9!}{4!\cdot5!} = 126, \quad C_5^3 = \displaystyle \frac{5!}{3!\cdot2!} = 10$$
Deci, numărul favorabil: $$126\cdot10 = 1260$$
Probabilitatea este:
$$ P = \displaystyle \frac{1260}{3^9} = \displaystyle \frac{1260}{19683}$$
Se simplifică împărțind cu 9:
$$ P = \displaystyle \frac{140}{2187}$$

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări