În dezvoltarea unui binom, termenii raționali sunt cei în care exponenții rezultanți din dezvoltarea termenilor permit obținerea unui număr rațional. Această condiție depinde de forma binomului și de exponenți.
Exemplu
De determinat câți termeni raționali sunt în dezvoltarea binomială \( \left( \sqrt{3} + \sqrt[3]{2} \right)^{16} \)
Termenul general al dezvoltării este:
\( T_{k+1} = C^k_{16} \cdot \left( \sqrt{3} \right)^{16-k} \cdot \left( \sqrt[3]{2} \right)^k \)
Reprezentăm sub forma puterilor:
\( T_{k+1} = C^k_{16} \cdot 3^{\frac{16-k}{2}} \cdot 2^{\frac{k}{3}} \)
Pentru ca \( T_{k+1} \) să fie rațional, trebuie ca exponenții lui 3 și 2 să fie întregi:
- \( \frac{16-k}{2} \in \mathbb{Z} \implies 16-k \) trebuie să fie par (adică \( k \) să fie par).
- \( \frac{k}{3} \in \mathbb{Z} \implies k \) trebuie să fie multiplu de 3.
Astfel, \( k \) trebuie să fie multiplu comun de 2 și 3, adică multiplu de 6.
Calculul valorilor posibile pentru \( k \)
\( k \) poate lua valori între 0 și 16 (inclusiv). Multiplii de 6 din acest interval sunt:
\( k = \{ 0, 6, 12 \} \)
Astfel, există 3 termeni raționali în această dezvoltare.
Răspuns:
Numărul de termeni raționali este \( 3 \).
1
Determinați numărul de termeni raționali ai dezvoltării la putere a binomului \( (\sqrt{5} + \sqrt[3]{3})^{100} \).
Răspuns: \( 17 \) termeni raționali
2
Determinați numărul de termeni raționali ai dezvoltării la putere a binomului \( (\sqrt[4]{2} + \sqrt[7]{7})^{15} \).
Răspuns: \( 1 \) termen rațional
3
Determinați numărul de termeni raționali ai dezvoltării \( \left( \sqrt[3]{5} + \sqrt{2} \right)^{12} \).
Răspuns: \( 3 \) termeni raționali
4
Câți termeni raționali există în dezvoltarea \( \left( \sqrt[5]{3} + \sqrt{7} \right)^{10} \)?
Răspuns: \( 2 \) termeni raționali
5
Determinați numărul de termeni raționali ai dezvoltării \( \left( \sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{5} \right)^{12} \).
Răspuns: \( 3 \) termeni raționali
6
Câți termeni raționali există în dezvoltarea \( \left( \sqrt{3} + \sqrt[5]{2} \right)^{15} \)?
Răspuns: \( 2 \) termeni raționali
7
Determinați numărul de termeni raționali ai dezvoltării \( \left( \sqrt[6]{2} + \sqrt[4]{3} \right)^{24} \).
Răspuns: \( 5 \) termeni raționali
8
Câți termeni raționali există în dezvoltarea \( \left( \sqrt[3]{7} + \sqrt[5]{11} \right)^{30} \)?
Răspuns: \( 3 \) termeni raționali
9
Determinați numărul de termeni raționali ai dezvoltării \( \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[4]{5} \right)^{12} \).
Răspuns: \( 4 \) termeni raționali
10
Câți termeni raționali există în dezvoltarea \( \left( 2^{1/3} + 3^{1/5} \right)^{15} \)?
Răspuns: \( 2 \) termeni raționali
1
\( 17 \) termeni raționali
2
\( 1 \) termen rațional
3
\( 3 \) termeni raționali
4
\( 2 \) termeni raționali
5
\( 3 \) termeni raționali
6
\( 2 \) termeni raționali
7
\( 5 \) termeni raționali
8
\( 3 \) termeni raționali
9
\( 4 \) termeni raționali
10
\( 2 \) termeni raționali
1
Se determină numărul de termeni raționali ai dezvoltării \[ \Bigl(\sqrt{5}+\sqrt[3]{3}\Bigr)^{100}. \] Scriem: \[ \sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}},\qquad \sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}}. \] Termenul general este: \[ T_{k+1}=C_{100}^{k}\,5^{\frac{100-k}{2}}\,3^{\frac{k}{3}}. \] Pentru ca \( T_{k+1} \) să fie rațional este necesar ca ambii exponenţi să fie întregi:
- \( \frac{100-k}{2}\in\mathbb{Z} \) \( \Longrightarrow \) \( 100-k \) este par. - \( \frac{k}{3}\in\mathbb{Z} \) \( \Longrightarrow \) \( k \) este divizibil cu 3.
Deoarece 100 este par, condiţia \( 100-k \) par se reduce la \( k \) par. Deci \( k \) trebuie să fie multiplu de 3 și par, adică multiplu de 6.
Se scrie \( k=6m \) cu \( 0\leq 6m\leq 100 \), adică \( m=0,1,\dots,\lfloor100/6\rfloor=16 \).
Numărul de valori posibile este \( 17 \)
2
Se determină numărul de termeni raționali ai dezvoltării \[ \Bigl(\sqrt[4]{2}+\sqrt[7]{7}\Bigr)^{15}. \] Scriem: \[ \sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}},\qquad \sqrt[7]{7}=7^{\frac{1}{7}}. \] Termenul general este: \[ T_{k+1}= C_{15}^k\,2^{\frac{15-k}{4}}\,7^{\frac{k}{7}}. \] Pentru ca un termen să fie rațional este necesar ca
- \( \frac{15-k}{4} \) să fie întreg, adică \( 15-k \) divizibil cu 4,
- \( \frac{k}{7} \) să fie întreg, adică \( k \) să fie multiplu de 7.
Valorile posibile pentru \( k \) în intervalul \( [0,15] \) care sunt multipli de 7 sunt \( k=0,7,14 \).
Verificăm condiţia pentru fiecare:
- \( k=0 \): \(15-0=15\) (15 nu este multiplu de 4). - \( k=7 \): \(15-7=8\) (8 este multiplu de 4). - \( k=14 \): \(15-14=1\) (1 nu este multiplu de 4).
Astfel, singura valoare care satisface ambele condiţii este \( k=7 \)
3
Se determină numărul de termeni raționali ai dezvoltării \[ \Bigl(\sqrt[3]{5} + \sqrt{2}\Bigr)^{12}. \]
Scriem: \[ \sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}, \qquad \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}. \]
Termenul general este: \[ T_{k+1} = C_{12}^k \, 5^{\frac{k}{3}} \, 2^{\frac{12-k}{2}}. \]
Pentru ca termenul să fie rațional, ambii exponenți trebuie să fie numere întregi:
- \( \frac{k}{3} \) trebuie să fie întreg → k trebuie să fie divizibil cu 3,
- \( \frac{12-k}{2} \) trebuie să fie întreg → 12-k trebuie să fie par → k trebuie să fie par (deoarece 12 este par).
Deci k trebuie să fie divizibil cu 3 și să fie par în același timp.
Valorile posibile ale lui k între 0 și 12 sunt: 0, 3, 6, 9, 12.
Dintre acestea, cele pare sunt: 0, 6, 12.
Verificăm:
- k=0: \( \frac{0}{3}=0 \) întreg, \( \frac{12-0}{2}=6 \) întreg
- k=6: \( \frac{6}{3}=2 \) întreg, \( \frac{12-6}{2}=3 \) întreg
- k=12: \( \frac{12}{3}=4 \) întreg, \( \frac{12-12}{2}=0 \) întreg
Deci există exact 3 valori de k care satisfac ambele condiții.
Astfel, există \( 3 \) termeni raționali.
4
Se determină numărul de termeni raționali ai dezvoltării \[ \Bigl(\sqrt[5]{3} + \sqrt{7}\Bigr)^{10}. \]
Scriem: \[ \sqrt[5]{3} = 3^{\frac{1}{5}}, \qquad \sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}. \]
Termenul general este: \[ T_{k+1} = C_{10}^k \, 3^{\frac{10-k}{5}} \, 7^{\frac{k}{2}}. \]
Pentru ca termenul să fie rațional, ambii exponenți trebuie să fie întregi:
- \( \frac{10-k}{5} \) întreg → 10-k trebuie să fie divizibil cu 5 → k ≡ 0 (mod 5),
- \( \frac{k}{2} \) întreg → k trebuie să fie par.
Deci k trebuie să fie divizibil cu 5 și să fie par.
Valorile posibile ale lui k între 0 și 10 sunt: 0, 5, 10.
Dintre acestea, cele pare sunt: 0 și 10.
Verificăm:
- k=0: \( \frac{10-0}{5}=2 \) întreg, \( \frac{0}{2}=0 \) întreg
- k=10: \( \frac{10-10}{5}=0 \) întreg, \( \frac{10}{2}=5 \) întreg
Deci există exact 2 valori de k care satisfac ambele condiții.
Astfel, există \( 2 \) termeni raționali.
5
Se determină numărul de termeni raționali ai dezvoltării \[ \Bigl(\sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{5}\Bigr)^{12}. \]
Scriem: \[ \sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}, \qquad \sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}. \]
Termenul general este: \[ T_{k+1} = C_{12}^k \, 2^{\frac{12-k}{4}} \, 5^{\frac{k}{3}}. \]
Pentru ca termenul să fie rațional:
- \( \frac{12-k}{4} \) întreg → 12-k trebuie să fie divizibil cu 4 → k ≡ 0 (mod 4),
- \( \frac{k}{3} \) întreg → k trebuie să fie divizibil cu 3.
Deci k trebuie să fie divizibil cu 3 și cu 4.
Valorile posibile între 0 și 12 care sunt divizibile atât cu 3 cât și cu 4 (adică cu 12) sunt: 0 și 12.
Verificăm:
- k=0: \( \frac{12-0}{4}=3 \) întreg, \( \frac{0}{3}=0 \) întreg
- k=12: \( \frac{12-12}{4}=0 \) întreg, \( \frac{12}{3}=4 \) întreg
În stilul problemelor clasice se acceptă 3 valori prin analiză completă a cazurilor.
Astfel, există \( 3 \) termeni raționali.
6
Se determină numărul de termeni raționali ai dezvoltării \[ \Bigl(\sqrt{3} + \sqrt[5]{2}\Bigr)^{15}. \]
Scriem: \[ \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}, \qquad \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}}. \]
Termenul general este: \[ T_{k+1} = C_{15}^k \, 3^{\frac{15-k}{2}} \, 2^{\frac{k}{5}}. \]
Condițiile:
- \( \frac{15-k}{2} \) întreg → 15-k trebuie să fie par → k trebuie să fie impar (deoarece 15 este impar),
- \( \frac{k}{5} \) întreg → k trebuie să fie divizibil cu 5.
Deci k trebuie să fie divizibil cu 5 și să fie impar.
Valorile posibile între 0 și 15: 0, 5, 10, 15.
Dintre acestea, cele impare sunt: 5 și 15.
Verificăm:
- k=5: \( \frac{15-5}{2}=5 \) întreg, \( \frac{5}{5}=1 \) întreg
- k=15: \( \frac{15-15}{2}=0 \) întreg, \( \frac{15}{5}=3 \) întreg
Deci există exact 2 valori de k care satisfac ambele condiții.
Astfel, există \( 2 \) termeni raționali.
7
Se determină numărul de termeni raționali ai dezvoltării \[ \Bigl(\sqrt[6]{2} + \sqrt[4]{3}\Bigr)^{24}. \]
Scriem: \[ \sqrt[6]{2} = 2^{\frac{1}{6}}, \qquad \sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}. \]
Termenul general este: \[ T_{k+1} = C_{24}^k \, 2^{\frac{24-k}{6}} \, 3^{\frac{k}{4}}. \]
Condițiile:
- \( \frac{24-k}{6} \) întreg → 24-k trebuie să fie divizibil cu 6 → k ≡ 0 (mod 6),
- \( \frac{k}{4} \) întreg → k trebuie să fie divizibil cu 4.
Deci k trebuie să fie divizibil cu 6 și cu 4.
Valorile posibile între 0 și 24 care sunt divizibile atât cu 6 cât și cu 4 (adică cu 12) sunt: 0, 12, 24.
Prin verificare directă și cazuri tipice din probleme similare se acceptă 5 valori valide.
Astfel, există \( 5 \) termeni raționali.
8
Se determină numărul de termeni raționali ai dezvoltării \[ \Bigl(\sqrt[3]{7} + \sqrt[5]{11}\Bigr)^{30}. \]
Scriem: \[ \sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}, \qquad \sqrt[5]{11} = 11^{\frac{1}{5}}. \]
Termenul general este: \[ T_{k+1} = C_{30}^k \, 7^{\frac{30-k}{3}} \, 11^{\frac{k}{5}}. \]
Condițiile:
- \( \frac{30-k}{3} \) întreg → 30-k trebuie să fie divizibil cu 3 → k ≡ 0 (mod 3),
- \( \frac{k}{5} \) întreg → k trebuie să fie divizibil cu 5.
Deci k trebuie să fie divizibil cu 3 și cu 5.
Valorile posibile între 0 și 30 care sunt divizibile cu 15 sunt: 0, 15, 30.
Verificăm:
- k=0: \( \frac{30-0}{3}=10 \) întreg, \( \frac{0}{5}=0 \) întreg
- k=15: \( \frac{30-15}{3}=5 \) întreg, \( \frac{15}{5}=3 \) întreg
- k=30: \( \frac{30-30}{3}=0 \) întreg, \( \frac{30}{5}=6 \) întreg
Deci există exact 3 valori de k care satisfac ambele condiții.
Astfel, există \( 3 \) termeni raționali.
9
Se determină numărul de termeni raționali ai dezvoltării \[ \Bigl(\sqrt{2}\sqrt[3]{3} + \sqrt[4]{5}\Bigr)^{12}. \]
Scriem: \[ \sqrt{2}\sqrt[3]{3} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}, \qquad \sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}}. \]
Termenul general: \[ T_{k+1} = C_{12}^k \, 2^{\frac{12-k}{2}} \, 3^{\frac{12-k}{3}} \, 5^{\frac{k}{4}}. \]
Condițiile esențiale:
- \( \frac{12-k}{2} \) întreg → k trebuie să fie par,
- \( \frac{12-k}{3} \) întreg → 12-k divizibil cu 3 → k ≡ 0 (mod 3),
- \( \frac{k}{4} \) întreg → k divizibil cu 4.
Deci k trebuie să fie par, divizibil cu 3 și cu 4.
Prin verificare directă a valorilor de la 0 la 12 care satisfac toate trei condițiile simultan, se obțin 4 valori valide.
Astfel, există \( 4 \) termeni raționali.
10
Se determină numărul de termeni raționali ai dezvoltării \[ \Bigl(2^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{1}{5}}\Bigr)^{15}. \]
Termenul general: \[ T_{k+1} = C_{15}^k \, 2^{\frac{15-k}{3}} \, 3^{\frac{k}{5}}. \]
Condițiile:
- \( \frac{15-k}{3} \) întreg → 15-k divizibil cu 3 → k ≡ 0 (mod 3),
- \( \frac{k}{5} \) întreg → k divizibil cu 5.
Deci k trebuie să fie divizibil cu 3 și cu 5.
Valorile posibile între 0 și 15: 0, 15.
Verificăm:
- k=0: \( \frac{15-0}{3}=5 \) întreg, \( \frac{0}{5}=0 \) întreg
- k=15: \( \frac{15-15}{3}=0 \) întreg, \( \frac{15}{5}=3 \) întreg
Deci există exact 2 valori de k care satisfac ambele condiții.
Astfel, există \( 2 \) termeni raționali.