În dezvoltarea unui binom, termenii raționali sunt cei în care exponenții rezultanți din dezvoltarea termenilor permit obținerea unui număr rațional. Această condiție depinde de forma binomului și de exponenți.
Exemplu
De determinat câți termeni raționali sunt în dezvoltarea binomială \( \left( \sqrt{3} + \sqrt[3]{2} \right)^{16} \)
Pentru ca \( T_{k+1} \) să fie rațional, trebuie ca exponenții lui 3 și 2 să fie întregi:
\( \frac{16-k}{2} \in \mathbb{Z} \implies 16-k \) trebuie să fie par (adică \( k \) să fie par).
\( \frac{k}{3} \in \mathbb{Z} \implies k \) trebuie să fie multiplu de 3.
Astfel, \( k \) trebuie să fie multiplu comun de 2 și 3, adică multiplu de 6.
Calculul valorilor posibile pentru \( k \)
\( k \) poate lua valori între 0 și 16 (inclusiv). Multiplii de 6 din acest interval sunt:
\( k = \{ 0, 6, 12 \} \)
Astfel, există 3 termeni raționali în această dezvoltare.
Răspuns:
Numărul de termeni raționali este \( 3 \).
Exerciții
1
Determinați numărul de termeni raționali ai dezvoltării la putere a binomului \( (\sqrt{5} + \sqrt[3]{3})^{100} \).
Răspuns: \( 17 \) termeni raționali
2
Determinați numărul de termeni raționali ai dezvoltării la putere a binomului \( (\sqrt[4]{2} + \sqrt[7]{7})^{15} \).
Răspuns: \( 1 \) termen rațional
Răspunsuri
1
\( 17 \) termeni raționali
2
\( 1 \) termen rațional
Rezolvări
1
Se determină numărul de termeni raționali ai dezvoltării \[ \Bigl(\sqrt{5}+\sqrt[3]{3}\Bigr)^{100}. \] Scriem: \[ \sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}},\qquad \sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}}. \] Termenul general este: \[ T_{k+1}=C_{100}^{k}\,5^{\frac{100-k}{2}}\,3^{\frac{k}{3}}. \] Pentru ca \( T_{k+1} \) să fie rațional este necesar ca ambii exponenţi să fie întregi: - \( \frac{100-k}{2}\in\mathbb{Z} \) \( \Longrightarrow \) \( 100-k \) este par. - \( \frac{k}{3}\in\mathbb{Z} \) \( \Longrightarrow \) \( k \) este divizibil cu 3.
Deoarece 100 este par, condiţia \( 100-k \) par se reduce la \( k \) par. Deci \( k \) trebuie să fie multiplu de 3 și par, adică multiplu de 6. Se scrie \( k=6m \) cu \( 0\leq 6m\leq 100 \), adică \( m=0,1,\dots,\lfloor100/6\rfloor=16 \). Numărul de valori posibile este \( 17 \)
2
Se determină numărul de termeni raționali ai dezvoltării \[ \Bigl(\sqrt[4]{2}+\sqrt[7]{7}\Bigr)^{15}. \] Scriem: \[ \sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}},\qquad \sqrt[7]{7}=7^{\frac{1}{7}}. \] Termenul general este: \[ T_{k+1}= C_{15}^k\,2^{\frac{15-k}{4}}\,7^{\frac{k}{7}}. \] Pentru ca un termen să fie rațional este necesar ca - \( \frac{15-k}{4} \) să fie întreg, adică \( 15-k \) divizibil cu 4, - \( \frac{k}{7} \) să fie întreg, adică \( k \) să fie multiplu de 7. Valorile posibile pentru \( k \) în intervalul \( [0,15] \) care sunt multipli de 7 sunt \( k=0,7,14 \). Verificăm condiţia pentru fiecare: - \( k=0 \): \(15-0=15\) (15 nu este multiplu de 4). - \( k=7 \): \(15-7=8\) (8 este multiplu de 4). - \( k=14 \): \(15-14=1\) (1 nu este multiplu de 4). Astfel, singura valoare care satisface ambele condiţii este \( k=7 \)