Monotonia Funcției
Definiție
Monotonia unei funcții descrie comportamentul său de creștere sau descreștere pe un interval.
Funcția exponențială
Considerăm funcția exponențială de forma:
\[ f(x) = a^x, \] unde \(a > 0\) și \(a \neq 1\).Criterii de monotonie
- Dacă \(a > 1\), atunci funcția \(f(x)\) este crescătoare.
- Dacă \(0 < a < 1\), atunci funcția \(f(x)\) este descrescătoare.
Exemple
1. Determinarea monotoniei pentru \(f(x) = 2^x\)
Aici \(a = 2 > 1\). Conform criteriilor, funcția este crescătoare.
2. Determinarea monotoniei pentru \(f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\)
Aici \(a = \frac{1}{2} < 1\). Conform criteriilor, funcția este descrescătoare.
Concluzie
Monotonia funcției exponențiale depinde de valoarea bazei \(a\):
- \(a > 1\) → funcția este crescătoare.
- \(0 < a < 1\) → funcția este descrescătoare.
Exerciții
1
Fie funcția \(\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left(\frac{e}{3}\right)^x \). Stabiliți monotonia funcției \( f \).
2
Fie funcția \(\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^x \). Stabiliți monotonia funcției \( f \).
3
Fie funcția \(\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \left(\frac{\pi}{3}\right)^x \). Stabiliți monotonia funcției \( f \).