Combinatorica

Factorialul unui număr

Factorialul unui număr \( n \), notat \( n! \), este produsul tuturor numerelor întregi pozitive de la 1 până la \( n \).

\[ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n \]

Exemple:

\( 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720 \)
\( 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \)

Permutări

Permutările reprezintă aranjamente ale unui set de \( n \) elemente în toate ordonările posibile. Deci, aranjam n obiecte in tot acelasi numar de locuri n.

\[ P_n = n! \]

Exemplu: Pe un raft sunt 6 cărți distincte. În câte moduri putem aranja cărțile pe raft?
\( P_6 = 6! = 720 \)

Combinari

Combinarile reprezintă submulțimi de \( m \) elemente dintr-un set de \( n \) elemente, în care ordinea nu contează.

\[ C_n^m = \frac{n!}{m! \cdot (n-m)! } \]

Exemplu: Într-o clasă sunt 40 de elevi. În câte moduri pot fi aranjați elevii câte 2 în bancă?
\(\displaystyle C_{40}^2 = \frac{40!}{2! \cdot (40-2)! } = \frac{40 \cdot 39}{2} = 780 \) moduri

Aranjamente

Aranjamentele reprezintă submulțimi de \( m \) elemente dintr-un set de \( n \) elemente, în care ordinea contează.

\[ A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!} \]

Exemplu: Câte numere de 3 cifre pot fi alcătuite cu cifrele 1, 3, 5, 7, 8, 9?
\(\displaystyle A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1} = 120 \)

Probleme rezolvate

Problema 1: Câte numere naturale de 5 cifre distincte pot fi formate cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Rezolvare:
\( A_6^5 = \frac{6!}{(6-5)!} = 720 \) moduri

Problema 2: Câte dintre aceste numere sunt divizibile cu 5?

Rezolvare:
Numărul este divizibil cu 5 dacă ultima cifră este 5. Restul de 4 cifre se aleg din {1, 2, 3, 4, 6}.
\( A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = 120 \) numere divizibile cu 5

Exerciții

\(\displaystyle \frac{100!}{99!} - \frac{99!}{98!} = \)

\(\displaystyle \frac{50!}{48!} - \frac{30!}{28!} = \)

\(\displaystyle \frac{6!}{8!} + \frac{5!}{6!} = \)

\(\displaystyle \frac{A_{20}^6 + A_{20}^5}{A_{20}^4} = \)

\(\displaystyle \frac{A_5^2}{P_5} + \frac{A_{10}^5}{7P_5} = \)

\(\displaystyle \frac{C_{10}^7 \cdot P_7}{A_{10}^4} = \)

\(\displaystyle \frac{C_{20}^{14} \cdot P_{14}}{7A_{20}^{11}} = \)

\(\displaystyle \frac{C_{21}^{4}}{C_{19}^{3} + C_{19}^{4} + C_{20}^3} = \)

\(\displaystyle \frac{1}{3} \cdot C_6^2 - \frac{1}{28} \cdot C_8^3 = \)

Calculați câte numere de 6 cifre sunt divizibile cu \(25\).

Determinați câte numere de 4 cifre au toate cifrele distincte.

La o adunare sunt prezente 30 persoane. În câte moduri se poate alege președintele, vicepreședintele și secretarul?

În câte moduri poate fi formată o delegație de 3 elevi din cei 20 de elevi ai unei clase?

În câte moduri pot fi alese 2 cărți din cele 40 propuse?

În câte moduri pot fi alese 3 ciocolate dintr-o cutie care conține 16 ciocolate?

Într-o cutie sunt 4 bile negre și 16 bile albe. În câte moduri se pot alege 3 bile, astfel încât cel puțin 2 bile să fie albe?

O cutie conține 6 bile albe și 8 bile roșii. În câte moduri se pot alege 2 bile de aceeași culoare?

Într-o clasă sunt 12 băieți și 18 fete. În câte moduri poate fi formată o echipă de 3 elevi, în care sunt cel puțin 2 băieți?

Într-o vază sunt 10 trandafiri roșii și 7 trandafiri albi. În câte moduri se pot alege 3 trandafiri, astfel încât să aibă culori diferite?

Răspunsuri

\( 1 \)

\(1580\)

\(\displaystyle \frac{31}{168}\)

\(256\)

\(\displaystyle \frac{217}{6}\)

\( 120 \)

\(72\)

\(1\)

\(3\)

\(36000\)

\(4536\)

\(24360\)

\(1140\)

\(780\)

\(560\)

\(1040\)

\(43\)

\(1408\)

\(525\)

Rezolvări

\(\displaystyle \frac{100!}{99!} - \frac{99!}{98!} = \frac{100 \cdot 99!}{99!} - \frac{99 \cdot 98!}{98!} = 100 - 99 = 1\)

\(\displaystyle \frac{50!}{48!} - \frac{30!}{28!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48!}{48!} - \frac{30 \cdot 29 \cdot 28!}{28!} = 50 \cdot 49 - 30 \cdot 29 = 2450 - 870 = 1580\)

\(\displaystyle \frac{6!}{8!} + \frac{5!}{6!} = \frac{720}{40320} + \frac{120}{720} = \frac{1}{56} + \frac{1}{6} = \frac{31}{168} \)

\(\displaystyle \frac{A_{20}^6 + A_{20}^5}{A_{20}^4} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 + 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{13953600 + 697680}{116280} = \frac{14651280}{573840} = 256\)

\(\displaystyle \frac{A_5^2}{P_5} + \frac{A_{10}^5}{7P_5} = \frac{5 \cdot 4}{120} + \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{7 \cdot 120} = \frac{20}{120} + \frac{30240}{840} = \frac{1}{6} + \frac{126}{5} = \frac{217}{6} \)

\(\displaystyle \frac{C_{10}^7 \cdot P_7}{A_{10}^4} = \frac{120 \cdot 5040}{5040} = 120\)

\(\displaystyle \frac{C_{20}^{14} \cdot P_{14}}{7 \cdot A_{20}^{11}} = \frac{38760 \cdot 14!}{7 \cdot 20 \cdot 19 \cdot \ldots \cdot 10} = 72\)

\(\displaystyle \frac{C_{21}^4}{C_{19}^3 + C_{19}^4 + C_{20}^3} = \frac{5985}{969 + 3876 + 1140} = \frac{5985}{6030} = 1 \)

\(\displaystyle \frac{1}{3} \cdot C_6^2 - \frac{1}{28} \cdot C_8^3 = \frac{1}{3} \cdot 15 - \frac{1}{28} \cdot 56 = 5 - 2 = 3 \)

Un număr este divizibil cu 25 dacă ultimele două cifre sunt 00, 25, 50 sau 75.
Pentru un număr de 6 cifre (de la 100000 la 999999), primele 4 cifre se aleg astfel: Prima cifră: 9 opțiuni (1–9) și celelalte 3: 10 opțiuni fiecare:
\(9 \cdot 10^3 = 9000\)
Există 4 posibilități pentru ultimele 2 cifre.
Deci, numărul total este: 4 × 9000 = 36000

Prima cifră: 9 opțiuni (1–9), a doua: 9 opțiuni (0–9, exclus prima), a treia: 8 opțiuni, a patra: 7 opțiuni
Total: 9 × 9 × 8 × 7 = 4536

30 × 29 × 28 = 24360

\(\displaystyle C_{20}^3 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = 1140\)

Alegerea a 2 cărți din 40
Numărul de moduri este: \(\displaystyle C_{40}^2 = \frac{40\cdot 39}{2} = 780\)

Alegerea a 3 ciocolate din 16
Numărul de moduri este: \(\displaystyle C_{16}^3 = \frac{16\cdot15\cdot14}{6} = 560\)

Alegerea a 3 bile din 4 negre și 16 albe, astfel încât cel puțin 2 să fie albe
   Caz 1: Exact 2 albe și 1 neagră: \(\displaystyle C_{16}^2 \cdot C_4^1 = \frac{16\cdot15}{2}\cdot4 = 120\cdot4 = 480\)
   Caz 2: Exact 3 albe: \(\displaystyle C_{16}^3 = \frac{16\cdot15\cdot14}{6} = 560\)
   Total: 480 + 560 = 1040

Alegerea a 2 bile de aceeași culoare dintr-o cutie cu 6 bile albe și 8 bile roșii
   Caz alb: \(\displaystyle C_6^2 = \frac{6\cdot5}{2} = 15\)
   Caz roșu: \(\displaystyle C_8^2 = \frac{8\cdot7}{2} = 28\)
   Total: 15 + 28 = 43

Formarea unei echipe de 3 elevi din 12 băieți și 18 fete, cu cel puțin 2 băieți
   Caz 1: 2 băieți și 1 fată: \(\displaystyle C_{12}^2 × C_{18}^1 = \frac{12\cdot11}{2}\cdot18 = 66\cdot18 = 1188\)
   Caz 2: 3 băieți: \(\displaystyle C_{12}^3 = \frac{12\cdot11\cdot10}{6} = 220\)
   Total: 1188 + 220 = 1408

Alegerea a 3 trandafiri din 10 roșii și 7 albi, astfel încât să fie culori diferite
   Avem doar 2 culori, deci pentru a avea ambele culori în selecție se pot alege:
   Caz 1: 2 roșii și 1 alb: \(\displaystyle C_{10}^2 × C_7^1 = \frac{10\cdot9}{2}\cdot7 = 45\cdot7 = 315\)
   Caz 2: 2 albi și 1 roșu: \(\displaystyle C_7^2 × C_{10}^1 = \frac{7\cdot6}{2}\cdot10 = 21\cdot10 = 210\)
   Total: 315 + 210 = 525

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări