Item 1 - exercitii de exersare

Exerciții

Calculați: \(\displaystyle \left(\frac{8}{3}\right)^{2} \cdot\left(-\frac{3}{16}\right)\)

Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle \frac{\sqrt[5]{625}}{25^{-\frac{1}{10}}}\).

Calculați valoarea expresiei: \( 25^{\log_5 3 \sqrt{5} - \log_5 \sqrt{3}} \)

Calculati: \(\displaystyle \sqrt[3]{16^{\frac{3}{4}} + 9^{\log_3 \sqrt{19}}}\)

Arătați că numărul \( a \) este întreg: \( a = 2 \log_3 5 + \log_{\frac{1}{3}} 75 \)

Calculati: \(\displaystyle \log_3 36 - 2 \log_3 2\)

Calculați: \(\log_{\frac{1}{8}} \sqrt[4]{32} + \displaystyle \frac{5}{12}\)

Calculați: \(\displaystyle \frac{2^{\log_2 15}}{25^{0.5 \log_5 10}}\)

Calculați: \(\displaystyle \frac{1}{3}\left(\log _{2} 16+\log _{2} 4\right)\)

Calculați: \(\displaystyle \sqrt[3]{-128 \cdot 0,125^{\frac{1}{3}}}\)

Calculați: \(\displaystyle \sqrt{9^{1,5} - 2}\)

Calculati: \(\displaystyle \left( \frac{14}{3} \right)^{\frac{3}{2}} \cdot \left( \frac{7}{6} \right)^{-1,5}\)

Calculați: \(\displaystyle \log_3 18 + \log_9 \frac{1}{4} \)

Calculați valoarea expresiei: \( \log_3 27 + \log_8 2 + \log_{\sqrt{5}} \frac{1}{5} + \log_{\frac{1}{7}} \sqrt[3]{7} \)

Calculati: \( \sqrt[3]{81}^{\frac{3}{2}} + \sqrt[3]{4}^{\frac{9}{2}} \)

Calculati: \(\displaystyle (0,027)^{\frac{1}{3}} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{10} \right)^{-2}\)

Calculați: \(\displaystyle -\frac{3}{4}-32^{-\frac{2}{5}}\)

Să se afle valoarea expresiei: \( \log_3 27 - \sqrt{6 \frac{1}{4}} + 3^{\log_{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{2}}{2}} \)

Calculați: \(\displaystyle \log _{\sqrt{2}} 4+\log _{5} 1\)

Calculați: \(\displaystyle 2^{2+\log _{4} 25}-2^{\frac{3}{\log _{5} 2}}\)

Calculați valoarea expresiei: \( \frac{4}{5} \cdot \left[ 1 + \left( \frac{1}{4} \right)^{-3} \right]^{\log_{65} 5} \)

Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle 81^{\frac{3}{4}} - \left( \frac{1}{\log_3 27} \right)^{-3} \)

Calculati: \(\displaystyle 9 ^ {\log_3 6 - 1,5 }\)

Calculați valoarea expresiei: \( \log_3 54 - \log_3 2 + \log_3 81 \)

Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle -\frac{7}{8} - 16^{-\frac{3}{4}} \)

Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle \sqrt{81^{\frac{3}{4}} + \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} } \).

Calculati: \(\displaystyle \big(\log_7 \sqrt{7} + \log_3 48 - \log_3 16\big) \cdot 15^{2 \log_{15} 2}\)

Determinați valoarea expresiei \( \sqrt[3]{2^{(\sqrt{2}-1)^2} \cdot 4^{\sqrt{2}}} \).

Calculați valoarea expresiei: \( \sqrt{64^{\frac{1}{3}} + \log_3 \frac{1}{27} }\)

Calculati: \(\displaystyle \left(4^{\log_2 3}\right)^{\frac{3}{2}} - \log_4 64\)

Calculați valoarea expresiei: \( \left( \frac{8}{27} \right)^{-\frac{1}{3}} + \log_3 36 - \log_3 4 \)

Să se afle media aritmetică a numerelor: \( a = \sqrt{81} + \sqrt[3]{-64} + 16^{\frac{3}{4}} \) si \( b = \log_3 27 - \sqrt{6 \frac{1}{4}} + 3^{\log_3 \frac{1}{2}} \)

Calculați: \(\displaystyle \log _{16} 8+2^{-2}\)

Calculați: \( 2^{\log_2 \sin 30^\circ} \).

Determinați valoarea expresiei \( 3^{\log_{\sqrt{3}} tg 60^\circ} \).

Calculati: \(\displaystyle \frac{2 \cdot 5^{10} - 9 \cdot 5^9}{5^8} + \left(1\frac{1}{2}\right)^{-2}\)

Calculați: \(\displaystyle 2^{-2}+\sqrt[3]{\frac{3}{64}-2}\)

Calculați: \(\displaystyle \sqrt{100^{1-\lg 2}}\).

Calculați: \(\displaystyle \left(-\frac{1}{3}\right)^{-2}+9^{\frac{3}{2}}\)

Calculați: \(\displaystyle \log _{12} 3+\log _{12} 4+12^{\log _{144} 4}+\log _{\frac{1}{2}} 8\).

Calculați: \(81^{\displaystyle \frac{1}{\log_5 9}}\).

Calculati: \(\displaystyle \log_{81} 27 + 4^{-1}\)

Calculati: \(\displaystyle 4^{3 - \log_2 \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Calculați: \(\displaystyle \sqrt[3]{5^{\log _{25} 4}-5^{0}}\)

Calculati: \(\displaystyle 125^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} - \frac{1,8^3}{0,9^3}\)

Calculați valoarea expresiei: \( \log_{12} 3 + \log_{12} 4 + 12^{\log_{144} 4} + \log_{\frac{1}{2}} 8 \)

Calculati: \(\displaystyle 3^{\log_{27} 8} - \sqrt[3]{0,027}\)

Calculati: \(\displaystyle (0,4)^{-2} \cdot \left( \frac{125}{8} \right)^{-\frac{2}{3}}\)

Calculați: \(\displaystyle \left[\sqrt[3]{\frac{8}{27}}-3^{-1}\right]^{-1}\)

Calculati: \(\displaystyle \log_3 \frac{2}{3} + \log_3 18 - \log_{\sqrt{3}} 2 \)

Calculați: \(\displaystyle \left(2 \log _{25} \frac{8}{5}-\log _{5} 8+3\right) \cdot 6^{2 \log _{6} 3}\).

Calculati: \(\displaystyle \left[ \left( 1 \frac{1}{2} \right)^{-1} - 3^{-1} \right]^{-2}\)

Calculați: \(\displaystyle \frac{\log _{\sqrt{3}} 27}{\log _{3} 27} \)

Calculați valoarea expresiei: \( \log_{\frac{1}{4}} \left( \log_2 3 \cdot \log_3 4 \right) \)

Calculati: \(\displaystyle 2^{\log_2 7 + \log_3 \frac{1}{9}}\)

Calculați: \(\displaystyle 2^{3+\log _{2} 5}+3^{\log _{9} 16}\).

Determinați valoarea expresiei: \(\displaystyle \sqrt{\left(\frac{1}{13}\right)^{-2} - 125^{\tfrac{2}{3}}} \)

Calculați: \(\displaystyle 2 \cdot \lg 5+\frac{1}{2} \cdot \lg 16\).

Calculați: \(\displaystyle \left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}}-3^{2} \cdot 2^{-2}\)

Arătați că numărul \( a = \log_{16} 64 + 8^{-\frac{1}{3}} \) este întreg.

Determinați valoarea expresiei \( \sqrt{\left(\sqrt{3} - 1\right)^2} - \sqrt{27} + 1 \).

Calculati: \(\displaystyle 9^{-1} \cdot 2 + \left( \frac{3}{4} \right)^{-2} + \left( \frac{5}{3} \right)^{4,5} \cdot 0,6^{4,5}\)

Determinați valoarea expresiei \( 8^{\frac{1}{\log_5 4} + 1} \).

Calculati: \(\displaystyle 2\log_9 4 + \log_{\frac{1}{9}} 48\)

Calculați valoarea expresiei: \( a = \log_3 \left( 5 - \sqrt{7} \right) + \log_3 \left( 5 + \sqrt{7} \right) - \log_3 2 \)

Calculati: \(\displaystyle 32^{\frac{3}{5}} - 8\)

Determinați valoarea expresiei \( \displaystyle 9^{\log_3 7} + \log_{\tfrac{1}{5}} 125. \)

Calculați: \(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{81}}{9^{\frac{1}{6}}}\)

Arătați că valoarea expresiei \( 25^{1+\log_5 2} \) este un pătrat perfect.

Calculati: \(\displaystyle \log_5 50 + \log_{\frac{1}{5}} 2\)

Calculați valoarea expresiei: \( 2 \log_3 5 + \log_{\frac{1}{3}} 75 \)

Calculati: \(\displaystyle \left[7^{\log_{49} 25} + \left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{4}}\right]^{\frac{2}{3}}\)

Calculați valoarea expresiei: \( a = 27^{1 - \log_3 2} \)

Calculați: \(\displaystyle 125^{\frac{1}{3}}-(0.8)^{0}\)

Calculați valoarea expresiei: \( \sqrt[4]{3^{(\sqrt{3}-1)^2} \cdot 9^{\sqrt{3}} } \)

Calculați valoarea expresiei: \( 9^{\log_3 5} - \log_5 25 \)

Calculați: \(\displaystyle 3^{-3}+\frac{13}{27} \log _{5} 25\)

Calculați: \(\displaystyle \sqrt{\left(\frac{1}{\log _{3} 27}\right)^{-3}}-81^{\frac{3}{8}}\)

Calculați: \(\displaystyle \log _{\frac{1}{2}} \frac{4}{25}-\log _{\sqrt{2}} 5\)

Calculati: \(\displaystyle \sqrt{\log_2\left(\sqrt{23} - \sqrt{7}\right) + \log_2\left(\sqrt{23} + \sqrt{7}\right)} \)

Calculați: \(\displaystyle \sqrt{49} + \sqrt[3]{-1000} + \sqrt[3]{-0,008}\)

Calculati: \(\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{4}} + 9^{\frac{1}{2}} + 2022^0\)

Calculati: \(\displaystyle \log_3 54 - \log_{\frac{1}{3}} 0,5 \)

Calculați: \(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{16}}{4^{1 / 6}}\)

Calculați: \(\displaystyle \left[\sqrt[3]{\frac{27}{64}}-2^{-2}\right]^{-3}\)

Determinați valoarea expresiei: \(\displaystyle \log_{9} \sqrt{27} - 0,75. \)

Calculati: \(\displaystyle 1,5 + \log_2 \sqrt{8}\)

Determinați valoarea expresiei: \( \displaystyle \sqrt{\left( \frac{1}{10} \right)^{-2} + \left( 16^{\tfrac{3}{4}} \right)^2 \cdot 81^{\tfrac{1}{2}}}. \)

Determinați valoarea expresiei \( \displaystyle \sqrt{64^{\tfrac{1}{3}} + \log_2 \frac{1}{16}} \).

Determinați valoarea expresiei: \(\displaystyle \left(-\frac{1}{5}\right)^{-2} - 125^{\frac{2}{3}}.\)

Calculați valoarea expresiei \( 6^{\log_{36} 49} + \log_3 27 \).

Calculati: \(\displaystyle \left[ \left( 1 \frac{1}{3} \right)^{-1} - 2^{-2} \right]^{-3}\)

Calculați valoarea expresiei: \( 2 \log_3 6 - \log_3 4 \)

Calculați: \(\displaystyle 6 \cdot \lg \sqrt{5} + \frac{9}{2} \cdot \lg \sqrt[3]{4} \)

Determinați valoarea expresiei: \(\displaystyle \log_{36} 216^{-\tfrac{1}{2}} - 2^{-2} \)

Calculați valoarea expresiei: \( a = \log_2 \left( 16^{\frac{1}{2}} \right) - \log_3 \left( \frac{1}{9} \right)^{\frac{1}{2}} \)

Calculați valoarea expresiei: \( 36^{\log_6 5} + 10^{1-\lg 2} - 3^{\log_9 36} \)

Calculati: \(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{5} - \log_2 5\)

Calculați: \(\displaystyle 4^{\log _{2} 3}+\log _{5} 25\).

100

Calculați valoarea expresiei: \( \frac{1}{2} \lg 36 + \log_{0,1} 60 \)

101

Calculați: \(\displaystyle 2^{2+\log _{8} 125}-2^{\frac{2}{\log _{7} 2}}\).

102

Calculați: \(\displaystyle \sqrt{\left(\frac{27}{64}\right)^{-\frac{2}{3}} - \left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^{-2}}\)

103

Determinaţi valoarea expresiei: \( \log _{\sqrt{3}} 9 - 9 \)

104

Să se arate că numărul \( a \) este un pătrat perfect: \( a = 4^{\log_2 \sqrt{7}} + \log_5 75 - \log_5 3 \)

105

Calculați valoarea expresiei: \( a = 49^{1 - \log_7 2} + 5^{-\log_5 4} \)

106

Calculati: \(\displaystyle 9^{\log_3 7} - \log_4 64\)

107

Arătați că valoarea expresiei \( E \) este un pătrat perfect: \( 9^{1 + \log_3 2} \)

108

Calculați: \( - \left[ \sqrt[3]{\frac{8}{27}} - \sqrt[3]{\frac{125}{27}} \right] \)

109

Calculați valoarea expresiei: \( 25^{\log_5 7} + \log_3 27 \)

110

Calculați: \(\displaystyle 81^{\frac{1}{\log _{5} 9}}-2^{\log _{8} 125}\)

111

Calculați media aritmetică a numerelor \( a = \log_2(6 - 2\sqrt{5}) \) și \( b = \log_2(6 + 2\sqrt{5}) \).

112

Calculați valoarea expresiei: \( \left(\sqrt[3]{16}\right)^{ \frac{9}{2}} + \left(\sqrt[3]{9}\right)^{ \frac{9}{2}} \).

113

Calculati: \(\displaystyle \log_{\sqrt{2}} 4 - 4\)

114

Calculați: \(\displaystyle \frac{\sqrt[5]{125}}{25^{-\frac{1}{5}}}\)

115

Calculați: \(\displaystyle 16^{\frac{3}{4}}-27^{\frac{1}{3}}+512^{0}\)

116

Calculati: \(\displaystyle 36^{\frac{1}{\log_5 6}} - 32^{\frac{2}{5}}\)

117

Calculați: \(\displaystyle \log _{3} 45-2 \log _{3} \sqrt{5}\)

118

Calculati: \(\displaystyle \left( \frac{9}{4} \right)^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot 2^{-3}\)

119

Calculati: \(\displaystyle \log_6 60 - \log_6 5 + \log_6 3\)

Răspunsuri

Rezolvări

Pasul 1: Calculăm pătratul:
\(\displaystyle \left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{8^2}{3^2} = \frac{64}{9}\)
Pasul 2: Înmulțim:
\(\displaystyle \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{16}\right) = -\frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 16} = -\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = -\frac{4}{3}\)

Pasul 1: Calculăm \(\displaystyle \log_2 16\). Deoarece \(\displaystyle 16 = 2^4\), avem:
\(\displaystyle \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4\)
Pasul 2: Calculăm \(\displaystyle \log_2 4\). Deoarece \(\displaystyle 4 = 2^2\), avem:
\(\displaystyle \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2\)
Pasul 3: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle \frac{1}{3}(4 + 2) = \frac{1}{3}(6) = 2\)

Pasul 1: Aplicăm proprietățile logaritmilor:
\(\displaystyle \log_3 18 + \log_9 \frac{1}{4} = \log_3 18 + \frac{\log_3 \frac{1}{4}}{\log_3 9} = \log_3 18 + \frac{\log_3 2^{-2}}{2} = \log_3 18 - \log_3 2\)
\(\displaystyle = \log_3 \frac{18}{2} = \log_3 9\)
Pasul 2: Calculăm \(\displaystyle \log_3 9\). Deoarece \(\displaystyle 9 = 3^2\), avem:
\(\displaystyle \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2\)

Pasul 1: Simplificăm exponentul:
\(\displaystyle 32^{-\frac{2}{5}} = (2^5)^{-\frac{2}{5}} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{4}{4} = -1\)

Pasul 1: Calculăm \(\displaystyle \log_{\sqrt{2}} 4\). Observăm că \(\displaystyle 4 = 2^2\) și \(\displaystyle \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\), deci:
\(\displaystyle \log_{\sqrt{2}} 4 = \log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^2 = \frac{2}{\frac{1}{2}} \log_2 2 = 4 \cdot 1 = 4\)
Pasul 2: Calculăm \(\displaystyle \log_5 1\). Știm că \(\displaystyle \log_a 1 = 0\) pentru orice \(\displaystyle a > 0\), \(\displaystyle a \neq 1\), deci:
\(\displaystyle \log_5 1 = 0\)
Pasul 3: Adunăm rezultatele:
\(\displaystyle 4 + 0 = 4\)

Pasul 1: Aplicăm proprietățile exponenților și logaritmilor:
\(\displaystyle 2^{2+\log_4 25} = 2^2 \cdot 2^{\log_4 25} = 4 \cdot 2^{\log_{2^2} 5^2} = 4 \cdot 2^{\log_2 5} = 4 \cdot 5 = 20\)
\(\displaystyle 2^{\frac{3}{\log_5 2}} = 2^{3\log_2 5} = (2^{\log_2 5})^3 = 5^3 = 125\)
Pasul 2: Calculăm diferența:
\(\displaystyle 20 - 125 = -105\)

Pasul 1: Calculăm \(\displaystyle \log_{16} 8\). Observăm că \(\displaystyle 16 = 2^4\) și \(\displaystyle 8 = 2^3\), deci:
\(\displaystyle \log_{16} 8 = \log_{2^4} 2^3 = \frac{3}{4} \log_2 2 = \frac{3}{4}\)
Pasul 2: Calculăm \(\displaystyle 2^{-2}\):
\(\displaystyle 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)
Pasul 3: Adunăm rezultatele:
\(\displaystyle \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

Pasul 1: Simplificăm exponentul și radicalul:
\(\displaystyle 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)
\(\displaystyle \frac{3}{64} - 2 = \frac{3 - 128}{64} = -\frac{125}{64}\)
\(\displaystyle \sqrt[3]{-\frac{125}{64}} = -\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}} = -\frac{5}{4}\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle \frac{1}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{4}{4} = -1\)

Pasul 1: Aplicăm proprietățile exponenților și logaritmilor:
\(\displaystyle \sqrt{100^{1-\lg 2}} = \sqrt{100^1 \cdot 100^{-\lg 2}} = \sqrt{100 \cdot (10^2)^{-\lg 2}} = \sqrt{100 \cdot 10^{-2\lg 2}} = \sqrt{100 \cdot 10^{\lg 2^{-2}}} = \sqrt{100 \cdot 2^{-2}} = \sqrt{100 \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{25} = 5\)

Pasul 1: Simplificăm exponenții:
\(\displaystyle \left(-\frac{1}{3}\right)^{-2} = (-3)^2 = 9\)
\(\displaystyle 9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle 9 + 27 = 36\)

Pasul 1: Aplicăm proprietățile logaritmilor:
\(\displaystyle \log_{12} 3 + \log_{12} 4 = \log_{12} (3 \cdot 4) = \log_{12} 12 = 1\)
\(\displaystyle 12^{\log_{144} 4} = 12^{\log_{12^2} 2^2} = 12^{\log_{12} 2} = 2\)
\(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{2^{-1}} 2^3 = \frac{3}{-1} \log_2 2 = -3\)
Pasul 2: Adunăm rezultatele:
\(\displaystyle 1 + 2 - 3 = 0\)

Pasul 1: Simplificăm exponentul \(\displaystyle \log_{25} 4\). Observăm că \(\displaystyle 25 = 5^2\) și \(\displaystyle 4 = 2^2\), deci putem scrie:
\(\displaystyle \log_{25} 4 = \log_{5^2} 2^2 = \frac{2}{2} \log_5 2 = \log_5 2\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle \sqrt[3]{5^{\log_5 2} - 5^0}\)
Pasul 3: Folosim proprietatea \(\displaystyle a^{\log_a b} = b\):
\(\displaystyle \sqrt[3]{2 - 1}\)
Pasul 4: Simplificăm:
\(\displaystyle \sqrt[3]{1} = 1\)

Pasul 1: Simplificăm radicalul și exponentul:
\(\displaystyle \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}\)
\(\displaystyle 3^{-1} = \frac{1}{3}\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle \left[\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\right]^{-1} = \left[\frac{1}{3}\right]^{-1} = 3^1 = 3\)

Pasul 1: Aplicăm proprietățile logaritmilor:
\(\displaystyle 2\log_{25} \frac{8}{5} = 2\log_{5^2} \frac{8}{5} = \log_5 \frac{8}{5}\)
\(\displaystyle \log_5 \frac{8}{5} - \log_5 8 + 3 = \log_5 \frac{\frac{8}{5}}{8} + 3 = \log_5 \frac{1}{5} + 3 = -1 + 3 = 2\)
\(\displaystyle 6^{2\log_6 3} = 6^{\log_6 3^2} = 6^{\log_6 9} = 9\)
Pasul 2: Înmulțim rezultatele:
\(\displaystyle 2 \cdot 9 = 18\)

Pasul 1: Calculăm \(\displaystyle \log_{\sqrt{3}} 27\). Observăm că \(\displaystyle 27 = 3^3\) și \(\displaystyle \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\), deci:
\(\displaystyle \log_{\sqrt{3}} 27 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^3 = \frac{3}{\frac{1}{2}} \log_3 3 = 6 \cdot 1 = 6\)
Pasul 2: Calculăm \(\displaystyle \log_3 27\). Deoarece \(\displaystyle 27 = 3^3\), avem:
\(\displaystyle \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3\)
Pasul 3: Împărțim rezultatele:
\(\displaystyle \frac{6}{3} = 2\)

Pasul 1: Aplicăm proprietățile exponenților și logaritmilor:
\(\displaystyle 2^{3+\log_2 5} = 2^3 \cdot 2^{\log_2 5} = 8 \cdot 5 = 40\)
\(\displaystyle 3^{\log_9 16} = 3^{\log_9 2^4} = 3^{4\log_9 2} = 3^{\log_3 2} = 2\)
Pasul 2: Adunăm rezultatele:
\(\displaystyle 40 + 4 = 44\)

Pasul 1: Aplicăm proprietățile logaritmilor:
\(\displaystyle 2\lg 5 + \frac{1}{2} \lg 16 = 2\lg 5 + \frac{1}{2} \lg 2^4 = 2\lg 5 + 2\lg 2 = 2(\lg 5 + \lg 2) = 2\lg(5 \cdot 2) = 2\lg 10 = 2 \cdot 1 = 2\)

Pasul 1: Simplificăm exponenții:
\(\displaystyle \left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{3^3}{2^3}\right)^{\frac{2}{3}} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}\)
\(\displaystyle 3^2 \cdot 2^{-2} = 9 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = 0\)

Pasul 1: Simplificăm exponenții:
\(\displaystyle 125^{\frac{1}{3}} = (5^3)^{\frac{1}{3}} = 5\)
\(\displaystyle (0.8)^0 = 1\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle 5 - 1 = 4\)

Pasul 1: Calculăm \(\displaystyle 3^{-3}\):
\(\displaystyle 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}\)
Pasul 2: Calculăm \(\displaystyle \log_5 25\). Deoarece \(\displaystyle 25 = 5^2\), avem:
\(\displaystyle \log_5 25 = \log_5 5^2 = 2\)
Pasul 3: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle \frac{1}{27} + \frac{13}{27} \cdot 2 = \frac{1}{27} + \frac{26}{27} = \frac{27}{27} = 1\)

Pasul 1: Calculăm \(\displaystyle \log_3 27\). Deoarece \(\displaystyle 27 = 3^3\), avem:
\(\displaystyle \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}} - 81^{\frac{3}{8}}\)
Pasul 3: Simplificăm \(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}\):
\(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3 = 27\)
Pasul 4: Simplificăm \(\displaystyle 81^{\frac{3}{8}}\). Observăm că \(\displaystyle 81 = 3^4\), deci:
\(\displaystyle 81^{\frac{3}{8}} = (3^4)^{\frac{3}{8}} = 3^{\frac{12}{8}} = 3^{\frac{3}{2}} = (3^3)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{27}\)
Pasul 5: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle \sqrt{27} - \sqrt{27} = 0\)

Pasul 1: Calculăm \(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{25}\). Folosim proprietățile logaritmilor:
\(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{25} = \log_{\frac{1}{2}} 4 - \log_{\frac{1}{2}} 25 = \log_{2^{-1}} 2^2 - \log_{2^{-1}} 5^2 = -2\log_2 2 - (-2\log_2 5) = -2 + 2\log_2 5\)
Pasul 2: Calculăm \(\displaystyle \log_{\sqrt{2}} 5\). Observăm că \(\displaystyle \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\), deci:
\(\displaystyle \log_{\sqrt{2}} 5 = \log_{2^{\frac{1}{2}}} 5 = \frac{\log_2 5}{\frac{1}{2}} = 2\log_2 5\)
Pasul 3: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle -2 + 2\log_2 5 - 2\log_2 5 = -2\)

Pasul 1: Exprimăm totul în puteri ale lui 2:
\(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{16}}{4^{\frac{1}{6}}} = \frac{(2^4)^{\frac{1}{3}}}{(2^2)^{\frac{1}{6}}} = \frac{2^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{2}{6}}} = \frac{2^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}\)
Pasul 2: Aplicăm proprietățile exponenților:
\(\displaystyle 2^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 = 2\)

Pasul 1: Simplificăm radicalul și exponentul:
\(\displaystyle \sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{3}{4}\)
\(\displaystyle 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle \left[\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right]^{-3} = \left[\frac{2}{4}\right]^{-3} = \left[\frac{1}{2}\right]^{-3} = 2^3 = 8\)

Pasul 1: Aplicăm proprietățile logaritmilor:
\(\displaystyle 6 \cdot \lg \sqrt{5} + \frac{9}{2} \cdot \lg \sqrt[3]{4} = 6 \cdot \lg 5^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2} \cdot \lg 4^{\frac{1}{3}} = 3\lg 5 + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} \lg 4 = 3\lg 5 + \frac{3}{2} \lg 4 = 3\lg 5 + \frac{3}{2} \lg 2^2 = 3\lg 5 + 3\lg 2 = 3(\lg 5 + \lg 2) = 3\lg (5 \cdot 2) = 3\lg 10 = 3 \cdot 1 = 3\)

Pasul 1: Aplicăm proprietățile exponenților și logaritmilor:
\(\displaystyle 4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2\log_2 3} = 2^{\log_2 3^2} = 2^{\log_2 9} = 9\)
\(\displaystyle \log_5 25 = \log_5 5^2 = 2\)
Pasul 2: Adunăm rezultatele:
\(\displaystyle 9 + 2 = 11\)

101

Pasul 1: Aplicăm proprietățile exponenților și logaritmilor:
\(\displaystyle 2^{2+\log_8 125} = 2^2 \cdot 2^{\log_8 125} = 4 \cdot 2^{\log_{2^3} 5^3} = 4 \cdot 2^{\log_2 5} = 4 \cdot 5 = 20\)
\(\displaystyle 2^{\frac{2}{\log_7 2}} = 2^{2\log_2 7} = (2^{\log_2 7})^2 = 7^2 = 49\)
Pasul 2: Calculăm diferența:
\(\displaystyle 20 - 49 = -29\)

110

Pasul 1: Aplicăm proprietățile exponenților și logaritmilor:
\(\displaystyle 81^{\frac{1}{\log_5 9}} = 81^{\log_9 5} = (9^2)^{\log_9 5} = 9^{2\log_9 5} = 9^{\log_9 5^2} = 9^{\log_9 25} = 25\)
\(\displaystyle 2^{\log_8 125} = 2^{\log_{2^3} 5^3} = 2^{\log_2 5} = 5\)
Pasul 2: Calculăm diferența:
\(\displaystyle 25 - 5 = 20\)

114

Pasul 1: Exprimăm totul în puteri ale lui 5:
\(\displaystyle \frac{\sqrt[5]{125}}{25^{-\frac{1}{5}}} = \frac{(5^3)^{\frac{1}{5}}}{(5^2)^{-\frac{1}{5}}} = \frac{5^{\frac{3}{5}}}{5^{-\frac{2}{5}}}\)
Pasul 2: Aplicăm proprietățile exponenților:
\(\displaystyle 5^{\frac{3}{5} - (-\frac{2}{5})} = 5^{\frac{3}{5} + \frac{2}{5}} = 5^{\frac{5}{5}} = 5^1 = 5\)

115

Pasul 1: Simplificăm exponenții:
\(\displaystyle 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8\)
\(\displaystyle 27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3\)
\(\displaystyle 512^0 = 1\)
Pasul 2: Înlocuim în expresia inițială:
\(\displaystyle 8 - 3 + 1 = 6\)

117

Pasul 1: Aplicăm proprietățile logaritmilor:
\(\displaystyle \log_3 45 - 2\log_3 \sqrt{5} = \log_3 45 - \log_3 (\sqrt{5})^2 = \log_3 45 - \log_3 5 = \log_3 \frac{45}{5} = \log_3 9\)
Pasul 2: Calculăm \(\displaystyle \log_3 9\). Deoarece \(\displaystyle 9 = 3^2\), avem:
\(\displaystyle \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2\)

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări